MIMO信道模型的数学表示

考虑 $N_{T}\times N_{R}$ 天线配置的MIMO-OFDM系统，子载波数目为 $K$ ， $T$ 为系统的采样时间间隔， $B=1/T$ 为系统带宽， $N_g$ 为循环前缀的长度，通常 $K\gg N_g$ ，则OFDM符号周期为 $T_s=(K+N_g)T=N_sT$ 。假定理想的时间同步，各天线之间有相同的延时功率谱，多径数目为 $L$ ，同时 $N_g \ge L-1$ 以避免ISI，此时 $T_s \gg LT$ ，表明系统的子载波带宽远远小于信道的相干带宽，则 $n$ 时刻第 $i$ 接收天线上的食欲基带接收信号为：

\begin{equation} \label{eq:rxsignal} r_i(n) = \sum_{j=1}^{N_T}\sum_{l=0}^{L-1} h_{ij}(n,l)u_j(n-l) + \omega_i(n),\quad 1\le i \le N_R, -\infty \le n\le +\infty \end{equation}

其中， $h_{ij}(n,l)$ 表示 $n$ 时刻第 $j$ 发射天线到第 $i$ 接收天线之间第 $l$ 径信道衰落。 $u_j(n)$ 为第 $j$ 条天线上的基带发送信号； $\omega_i(n)$ 为 $n$ 时刻第 $i$ 接收天线上的加性高斯白噪声，方差为 $\sigma_{\omega}^2$ 。多天线发射信号，接收信号和噪声可以写成矢量形式：

\begin{eqnarray} \pmb{u}(n) &=& [u_1(n), u_2(n), \dots, u_{N_T}(n)]^T \nonumber \\ \pmb{r}(n) &=& [r_1(n), r_2(n), \dots, r_{N_R}(n)]^T \nonumber \\ \pmb{\omega}(n) &=& [\omega_1(n), \omega_2(n), \dots, \omega_{N_R}(n)]^T \nonumber \end{eqnarray}

第 $n$ 个OFDM符号时刻的接收信号可以标示为：

\begin{equation} \label{eq:nofdm} \tilde{\pmb{r}}(n) = \tilde{\pmb{H}}\tilde{\pmb{u}}(n) + \tilde{\omega} (n) \end{equation}

其中：

\begin{eqnarray} \tilde{\pmb{r}}(n) &=& \begin{pmatrix} \pmb{r}(nN_s +N_g) \\ \vdots \\ \pmb{r}(nN_s +N_s - 1) \end{pmatrix} \nonumber \\ \tilde{\pmb{u}}(n) &=& \begin{pmatrix} \pmb{u}(nN_s +N_g) \\ \vdots \\ \pmb{u}(nN_s +N_s - 1) \end{pmatrix} \nonumber \\ \tilde{\pmb{\omega}}(n) &=& \begin{pmatrix} \pmb{\omega}(nN_s +N_g) \\ \vdots \\ \pmb{\omega}(nN_s +N_s - 1) \end{pmatrix} \nonumber \\ \tilde{\pmb{u}}(n) &=& (\pmb{F}^{-1} \otimes \pmb{I}_{N_T}) \pmb{x}(n) \nonumber \end{eqnarray}

$\otimes$ 是Kronecker积， $\pmb{x}(n)$ 是 $n$ 时刻的频域多天线发射信号， $\widetilde{\pmb{H}}$ 是 $KN_{R} \times KN_T$ 维的块循环矩阵。

\begin{equation} \label{eq:channelH} \widetilde{\pmb{{H}}} =\\ \begin{bmatrix} \pmb{G}(0) & \pmb{0}_{N_RN_T} & \cdots & \pmb{0}_{N_RN_T} & \pmb{G}(L-1) &\cdots & \pmb{G}(1) \\ \pmb{G}(1) & \pmb{G}(0) & \pmb{0}_{N_RN_T} & \cdots & \pmb{0}_{N_RN_T} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \pmb{0}_{N_RN_T} & \cdots &\pmb{0}_{N_RN_T} & \pmb{G}(L-1) \\ \pmb{G}(L-1) & \cdots &\pmb{G}(1) &\pmb{G}(0) & \pmb{0}_{N_RN_T} & \cdots &\pmb{0}_{N_RN_T}\\ \pmb{0}_{N_RN_T}& \ddots & \cdots & \ddots &\ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots &\ddots & \cdots &\ddots &\pmb{G}(0) &\pmb{0}_{N_RN_T}\\ \pmb{0}_{N_RN_T}& \cdots &\pmb{0}_{N_RN_T} & \pmb{G}(L-1) &\cdots &\pmb{G}(1) & \pmb{G}(0) \end{bmatrix} \end{equation}

$\pmb{ G}(l)$ 为收发天线阵之间第 $l$ 径信道矩阵，其维数为 $N_R\times N_T$ ，

\begin{equation} \label{eq:20120319gl} \pmb{G}(l) = \begin{bmatrix} h_{11}(l) & h_{12}(l) & \cdots & h_{1N_T} \\ h_{21}(l) & H_{22}(l) & \cdots & h_{2N_T} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ h_{N_R1} & \cdots & \cdots & h_{N_RN_T}(l) \end{bmatrix} \end{equation}

则FFT变换后的频域接收信号为：

\begin{eqnarray} \label{eq:20120319yn} \pmb{y}(n) &=& (\pmb{F}\otimes \pmb{(I)}_{N_R}) \tilde{\pmb{r}}(n) \nonumber \\ &=& (\pmb{F}\otimes \pmb{I}_{N_R}) (\tilde{\pmb{H}}\tilde{\pmb{u}}(n) + \tilde{\omega} (n)) \nonumber \\ &=& (\pmb{F}\otimes \pmb{I}_{N_R}) (\tilde{\pmb{H}}(\pmb{F}^{-1} \otimes \pmb{I}_{N_T}) \pmb{x}(n) + \tilde{\pmb{\omega}}(n)) \nonumber \\ &=& (\pmb{F}\otimes \pmb{I}_{N_R}) \tilde{\pmb{H}}(\pmb{F}^{-1} \otimes \pmb{I}_{N_T}) \pmb{x}(n) + \pmb{z}(n) \end{eqnarray}

令 $\pmb{U}_{DFT} = \pmb{F}⊗ \pmb{I}_{N_R}) $ ， $\pmb{U}_{DFT}^{-1}= \pmb{F}^{-1}⊗ \pmb{I}_{N_T}) $ ，则它们都是酉矩阵。 $\pmb{F}$ 为傅里叶变换矩阵，记 $W_{K}^{kl} = e^{-j2\pi kl/K}$ ，则 $\pmb{F}$ 可以标示如下：

\begin{equation} \label{eq:20120319f} \pmb{F} = \begin{bmatrix} 1& 1 & \cdots & 1 \\ 1& W_{K}^1 & \cdots & W_{K}^{K-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& W_{K}^{K-1} & \cdots & W_{K}^{(K-1)(K-1)} \end{bmatrix} \end{equation}

利用分块矩阵的特点以及循环矩阵可以对角化的定理，

\begin{equation} \label{eq:20120319uhu} \pmb{U}_{DFT} \tilde{\pmb{H}} \pmb{U}_{DFT}^{-1} = \pmb{\Lambda} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:20120319diag} diag{\pmb{\Lambda_{k}}} = \sum_{l=0}^{L-1} \pmb{G}(l) e^{-j2\pi kl/K} \end{equation}

这里有一个疑问，式~(\ref{eq:20120319diag})右边最后一个因子 $e^{-j2\pi kl/K}$ 不确定。根据以上可以得到：

\begin{equation} \label{eq:20120319yn2} \pmb{y}(n) = \pmb{\Lambda}\pmb{x}(n) + \pmb{z}(n) \end{equation}

其中， $\pmb{z}(n)$ 为频域噪声矢量，由于DFT是酉变换，不改变噪声的统计特性， $\pmb{z}(n)$ 中个元素仍然满足独立同分布的高斯分布。 $\pmb{\Lambda}$ 为分块对角矩阵。

\begin{equation} \label{eq:20120319lamda} \pmb{\Lambda} = \begin{bmatrix} \pmb{H}(n,0) & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \pmb{H}(n,K-1) \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:20120319hnk} \pmb{H}(n,k) = \begin{bmatrix} H_{11}(n,k) & H_{12}(n,k) & \cdots & H_{1N_T}(n,k) \\ H_{21}(n,k) & H_{22}(n,k) & \cdots & H_{2N_T}(n,k) \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ H_{N_R1}(n,k) & \cdots &\cdots & H_{N_RN_T}(n,k) \end{bmatrix} \end{equation}

则 $n$ 时刻子载波 $k$ 上的接收信号可表示为：

\begin{equation} \label{eq:20120319yink} y_i(n,k) = \sum_{j=1}^{N_T} H_{ij}(n,k)x_j(n,k) + z(n,k) \end{equation}

写成矢量形式为：

\begin{equation} \label{eq:20120319yinkvcetor} \pmb{y}(n,k) =\pmb{H}(n,k)\pmb{x}(n,k) + \pmb{z}(n,k) \end{equation}

其中 $\pmb{H}(n,k)$ 中的元素 $H_{ij}(n,k)$ 为 $n$ 时刻在第 $k$ 子载波上对应的第 $j$ 发送天线到第 $i$ 接收天线频率响应：

\begin{equation} \label{eq:20120319hijnk} H_{ij}(n,k) = \sum_{l=0}^{L-1} h_{ij}(n,l) W_{K}^{kl} \end{equation}

第 $j$ 发送天线到第 $i$ 接收天线对之间的 $L$ 径时域信道响应可写成矢量形式：

\begin{equation} \mathbf{h}_{ij} = [h_{ij}(n,0), h_{ij}(n,1), ..., h_{ij}(n,L-1)]^T \qquad 1 < i < N_R, 1 < j < N_T \end{equation}