MIMO信道模型的数学表示
考虑 NT×NR 天线配置的MIMO-OFDM系统，子载波数目为 K ， T 为系统的采样时间间隔， B=1/T 为系统带宽， Ng 为循环前缀的长度，通常 K≫Ng ，则OFDM符号周期为 Ts=(K+Ng)T=NsT 。假定理想的时间同步，各天线之间有相同的延时功率谱，多径数目为 L ，同时 Ng≥L−1 以避免ISI，此时 Ts≫LT ，表明系统的子载波带宽远远小于信道的相干带宽，则 n 时刻第 i 接收天线上的食欲基带接收信号为：
ri(n)=NT∑j=1L−1∑l=0hij(n,l)uj(n−l)+ωi(n),1≤i≤NR,−∞≤n≤+∞其中， hij(n,l) 表示 n 时刻第 j 发射天线到第 i 接收天线之间第 l 径信道衰落。 uj(n) 为第 j 条天线上的基带发送信号； ωi(n) 为 n 时刻第 i 接收天线上的加性高斯白噪声，方差为 σ2ω 。多天线发射信号，接收信号和噪声可以写成矢量形式：
uu(n)=[u1(n),u2(n),…,uNT(n)]Trr(n)=[r1(n),r2(n),…,rNR(n)]Tωω(n)=[ω1(n),ω2(n),…,ωNR(n)]T第 n 个OFDM符号时刻的接收信号可以标示为：
~rr(n)=~HH~uu(n)+˜ω(n)其中：
~rr(n)=(rr(nNs+Ng)⋮rr(nNs+Ns−1))~uu(n)=(uu(nNs+Ng)⋮uu(nNs+Ns−1))~ωω(n)=(ωω(nNs+Ng)⋮ωω(nNs+Ns−1))~uu(n)=(FF−1⊗IINT)xx(n)⊗ 是Kronecker积， xx(n) 是 n 时刻的频域多天线发射信号， ~HH 是 KNR×KNT 维的块循环矩阵。
~HH=[GG(0)00NRNT⋯00NRNTGG(L−1)⋯GG(1)GG(1)GG(0)00NRNT⋯00NRNT⋱⋮⋮⋱⋱00NRNT⋯00NRNTGG(L−1)GG(L−1)⋯GG(1)GG(0)00NRNT⋯00NRNT00NRNT⋱⋯⋱⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋯⋱GG(0)00NRNT00NRNT⋯00NRNTGG(L−1)⋯GG(1)GG(0)]GG(l) 为收发天线阵之间第 l 径信道矩阵，其维数为 NR×NT ，
GG(l)=[h11(l)h12(l)⋯h1NTh21(l)H22(l)⋯h2NT⋮⋮⋱⋮hNR1⋯⋯hNRNT(l)]则FFT变换后的频域接收信号为：
yy(n)=(FF⊗(I)(I)NR)~rr(n)=(FF⊗IINR)(~HH~uu(n)+˜ω(n))=(FF⊗IINR)(~HH(FF−1⊗IINT)xx(n)+~ωω(n))=(FF⊗IINR)~HH(FF−1⊗IINT)xx(n)+zz(n)令 $\pmb{U}_{DFT} = \pmb{F}⊗ \pmb{I}_{N_R}) $ ， $\pmb{U}_{DFT}^{-1}= \pmb{F}^{-1}⊗ \pmb{I}_{N_T}) $ ，则它们都是酉矩阵。 FF 为傅里叶变换矩阵，记 WklK=e−j2πkl/K ，则 FF 可以标示如下：
FF=[11⋯11W1K⋯WK−1K⋮⋮⋱⋮1WK−1K⋯W(K−1)(K−1)K]利用分块矩阵的特点以及循环矩阵可以对角化的定理，
UUDFT~HHUU−1DFT=ΛΛ这里有一个疑问，式~(8)右边最后一个因子 e−j2πkl/K 不确定。根据以上可以得到：
yy(n)=ΛΛxx(n)+zz(n)其中， zz(n) 为频域噪声矢量，由于DFT是酉变换，不改变噪声的统计特性， zz(n) 中个元素仍然满足独立同分布的高斯分布。 ΛΛ 为分块对角矩阵。
ΛΛ=[HH(n,0)⋯0⋮⋱⋮0⋯HH(n,K−1)]则 n 时刻子载波 k 上的接收信号可表示为：
yi(n,k)=NT∑j=1Hij(n,k)xj(n,k)+z(n,k)写成矢量形式为：
yy(n,k)=HH(n,k)xx(n,k)+zz(n,k)其中 HH(n,k) 中的元素 Hij(n,k) 为 n 时刻在第 k 子载波上对应的第 j 发送天线到第 i 接收天线频率响应：
Hij(n,k)=L−1∑l=0hij(n,l)WklK第 j 发送天线到第 i 接收天线对之间的 L 径时域信道响应可写成矢量形式：
hij=[hij(n,0),hij(n,1),...,hij(n,L−1)]T1<i<NR,1<j<NT