练习：矩阵

1 3.C.1

设\(V\)和\(W\)都是有限维的，\(T\in \mathcal{L}(V,W)\),证明对于\(V\)和\(W\)的任意基，\(T\)的矩阵都至少有\(\dim rangeT\)个非零元

首先我们知道\( rangeT\)中一定有\(\dim rangeT\)个线性无关的向量\(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{m}\), \(m = \dim rangeT\)。\(rangeT\)就是由这些向量张成的子空间。

2 3.C.2

设\(D\in \mathcal{L}( \mathcal{P}_{3}( \mathbf{R}),\mathcal{P}_{2}(\mathbf{R}))\)是微分映射\( Dp = p^{'}\)，求\( \mathcal{P}_{3}( \mathbf{R})\)的一个基和\( \mathcal{P}_{2}(R)\)的一个基，使得\(D\) 关于这些基的矩阵为：

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \end{equation*}

这里在重复一下根据线性映射定义矩阵的过程。假设\(V\)的基是\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)，\(W\)的基是\(w_{1},\ldots ,w_{m}\)，有线性映射\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，则\(T\)关于\(V\)和\(W\)的两个基定义的矩阵是\(A\)，则有

\begin{equation} \label{eq:1} Tv_{k} = A_{1,k}w_{1} + \ldots + A_{m,k}w_{m} \end{equation}

对于题目中给定的矩阵。我们有：

\begin{eqnarray} \label{eq:2} Tv_{1}&=& w_{1} \\ Tv_{2}&=& w_{2} \\ Tv_{3}&=& w_{3} \\ Tv_{4}&=& 0 \end{eqnarray}

一个可能的组合是:\(V\)的基为\(\{x,\frac{x^{2}}{2},\frac{x^{3}}{3},1 \}\)，\(W\)的基为\(1,x,x^{2}\) 。

显然有：

\begin{eqnarray*} T(x)&=& 1\\ T(x^{2}/2)&=& x\\ T(x^{3}/3)&=& x^{2}\\ T(1) &=& 0 \end{eqnarray*}

3 3.C.3

设\(V\)和\(W\)都是有限维的，\(T\in \mathcal{L}(V,W)\).证明存在\(V\)的一个基和\(W\)的一个基使得关于这些基，\(\mathcal{M}(T)\)除了第\(j\)行第\(j\)列\(1\leq j \leq \dim range T\)的元素意外，其余元素都为\(0\)

根据线性映射矩阵定义，\(\mathcal{M}(T)\)的行是\(rangeT\)基的大小。我们定义线性映射：

\begin{equation} \label{eq:3} Tv_{k} = w_{k},k =1,\ldots ,\dim range T \end{equation} \begin{equation} \label{eq:4} Tv_{k} = 0, k=\dim range T + 1 ,\ldots ,\dim V \end{equation}

这个映射对应的矩阵就是题目中所描述的矩阵。

在证明过程中，采用的思路和证明线性映射基本定理相同。

4 3.C.4

设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是\(V\)的基，且\(W\)是有限维的。设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)。证明存在\(W\)的一个基\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)使得在\(T\)关于基\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)和\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)的矩阵\(\mathcal{M}(T)\)中，除了第一行第一列的元素可能为1之外，第一列的其余元素均为0.

存在映射：\(T\in (V,W)\)满足：

\begin{eqnarray*} Tv_{1}&=&w_{1} \\ Tv_{2}&=&w_{1} + w_{2} \\ \vdots && \vdots \\ Tv_{n} &=& w_{n-1} + w_{n} \end{eqnarray*}

5 3.C.5

设\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(W\)的一个基，且\(V\)是有限维的。设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)。证明存在\(V\)的一个基\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)使得，在\(T\)关于\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)和\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)的矩阵\(\mathcal{M}(T)\)中，除了第一行第一列的元素可能为1之外，第一行的其余元素均为0。

这个题目的证明和3.C.4类似。略。做这样的题目的时候最好把从线性映射定义矩阵的过程给默想一遍。

6 3.C.6

设\(V\)和\(W\)都是有限维的，\(T\in \mathcal{L}(V,W)\) 证明\(\dim rangeT = 1\)当且仅当\(V\)和\(W\)各有一个基使得关于这些基\(\mathcal{M}(T)\)的所有元素都是1.

我们先从当\(V\)和\(W\)各有一个基使得关于这些基\(\mathcal{M}(T)\)的所有元素都是1导出\(\dim rangeT = 1\)

根据线性映射基本定理的证明过程，我们知道\(V\)的基中存在一个线性无关组\(u_{1},\ldots ,u_{n}\)张成了\(nullT\)，而另外一些线性无关向量\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是基于\(u_{1},\ldots ,u_{n}\)扩展而来的。

假设 \(w_{1},\ldots ,w_{p}\)是\(W\)的一个基，定义线性映射：

\begin{eqnarray*} Tv_{1}&=&w_{1} + \ldots + w_{p} \\ \vdots && \vdots \\ Tv_{n}&=&w_{1} + \ldots + w_{p} \end{eqnarray*}

这个线性映射满足\(\dim range T = 1\)

接下来我们证明另外一方面.因为\(\dim rangeT = 1\)，我们有以上定义的线性映射满足\(\mathcal{M}(T)\)的所有元素都是1。

证明这个命题，主要还是采用线性映射基本定理中的方法。

7 3.C.7

验证 3.36

从线性映射的矩阵定义出发。略。

8 3.C.8

验证3.38

从线性映射的矩阵定义出发。

9 3.C.9

证明3.52

从矩阵乘法定义出发。假设

\begin{equation} \label{eq:5} A = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \ldots & A_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & \ldots & A_{m,n} \end{bmatrix} \end{equation}

则\(Ac\)是一个\(m\times 1\)的列向量。并且有：

\begin{equation} \label{eq:6} Ac = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n}A_{1,i}c_{i} \\ \sum_{i=1}^{n}A_{2,i}c_{i} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n}A_{mi}c_{i} \\ \end{bmatrix} \end{equation}

通过对上式右端展开，得：

\begin{equation*} Ac = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n}A_{1,i}c_{i} \\ \sum_{i=1}^{n}A_{2,i}c_{i} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n}A_{mi}c_{i} \end{bmatrix} = c_{1} \begin{bmatrix} A_{1,1} \\ A_{2,1} \\ \vdots \\A_{m,1} \end{bmatrix} + c_{2} \begin{bmatrix} A_{1,2} \\ A_{2,2} \\ \vdots \\A_{m,2} \end{bmatrix} + \ldots + c_{n} \begin{bmatrix} A_{1,n} \\ A_{2,n} \\ \vdots \\A_{m,n} \end{bmatrix} \end{equation*}

10 3.C.10

设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(C\)是\(n\times p\)矩阵。证明对于\(1\leq j \leq m\) \((AC)_{j,\cdot} = A_{j,\cdot}C\)

也就是说，证明\(AC\)的第\(j\)行等于\(A\)的第\(j\)行乘以\(C\)

略去证明。

在学习MIT Strang教授的线性代数时掌握这种观点。\(AC\)的每一行是\(C\)的行向量的线性组合，线性组合系数是\(A\)对应的行的元素。

11 3.C.11

设\(a=(a_{1} \quad \ldots \quad a_{n})\)是\(1\times n\)矩阵，\(C\)是\(n\times p\)矩阵。证明\[aC = a_{1}C_{1,\cdot} + \ldots + a_{n}C_{n,\cdot}\]

此题是3.C.10 的特例。