递归问题：瑞士披萨

用一把披萨刀直直的切 n刀，可以最多获得多少块披萨？(不要求每块披萨形状一样)。更学术一点的表述为：平面上 n条直线所能界定的区域的最大个数 Ln是多少？

按照我们探讨汉诺塔的思路，先从小入手。

可以看出第三条直线对原有的三个区域（ 区域1,3,4）进行了分割，使得区域个数增加了三个，而第三条直线与原来的两条直线有交点。推而广之，第 n条直线可以使得区域个数增加 k个，当前仅当第 n条直线对已有的 k个区域进行了分割；第 n条直线对已有的 k个区域进行分割，当前仅当它与已有的 k−1 条直线有交点。两条直线之多有一个交点，因此这条新的直线与已经存在的 n−1 条直线至多有 n−1 个交点，故必有 k≤n。

通过上节分析，有：

Ln≤Ln−1+n,n>0

另外，很容易分析，上式中的等号可以达到。只需要在纺织第 n 条直线时，使得其不予其他直线中的任何一条平行，且新的直线不经过任何已经存在的交点。于是，披萨递归式演变为：

Ln=Ln−1+n,n>0

对于该递归式，我们需要一个闭式的解（关于什么样的解才是闭式解，请参考《具体数学》第6页的部分论述，此处省略若干字）。通过把披萨递归式展开，我们发现：

Ln=Ln−1+n=Ln−2+(n−1)+n=Ln−3+(n−2)+(n−1)+n⋮⋮=L0+1+2+…+n

显然：

Ln=1+n(n+1)2,n>0

现在考虑切割披萨问题的一个变形。假设我们用折线代替直线，每一条折现包含一个锯齿，就像等腰三角形去掉底一样。如下图所示，平面上由 n 条这样的折线所界定的区域数 Zn 最多是多少？

从上图的小规模实现可以发现，除了两条直线不经过它们的交点延伸出去外，一条折线和两条直线相同：

区域2,3,4对于两条直线来说是不同的区域，但是在一条折线的情况下是单独的一个区域，于是一条折线相对于两条直线减少了两个区域。如果每条折线的顶点都位于它与其他直线交点之外，每一条折线损失两个区域是固定不变的，于是有：

Zn=L2n−2n=2n(2n+1)2+1−2n=2n2−n+1,n≥0

相比较而言，如果 n 足够大，则 Ln和 Zn 有如下关系：

Ln∼12n2Zn∼2n2

即，有 当 n→∞，Zn=4Ln

假设有 n 条Z行曲线所定义的区域最大个数是多少？如图所示。 每条Z行线由两条平行的无线半直线和一条直线段组成。

如图所示，分析知： 一条Z线划分生成的区域相当于三条曲线，只是Z形曲线划分的区域比三条曲线要少了5个，其中四个区域是因为直线的不完整造成的，一个区域是因为Z型曲线的两条平行线造成的。所以:

Zn=L3n−5n=3n(3n+1)2+1−5n=9n22−7n2+1

在一块后奶酪上画出五道直的刀痕，可以得到多少块奶酪？（ 在划奶酪时，奶酪必须保持在它原来的位置上，且每道切痕必定与三维空间中的一个平面相对应。） 求 Pn 的一个递归关系，这里 Pn 表示 n 个不同的平面所能定义的三维区域的最大个数。