向量空间

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本文主要复习向量空间的一些基本概念和性质，包括复数的基本性质，Rn和Cn，向量空间，子空间以及子空间的和与直和。整个内容显得有些无聊都是一些形式化的定义，但是这些定义和性质是代数的基础。

代数可以视作在集合上的运算，而在集合上定义不同的运算意味着不同的代数概念。

1 复数的算术性质

一个复数是一个有序实数对 (a,b)，a,b∈R，一般情况下我们把它记为a+bi，所有复数构成的集合记为(C)，即C={a+bi,a,b∈R}.

C上的加法和乘法为：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

复数的算术性质：

  1. 交换性(commutativity): 对所有的α,β∈C 都有α+β=β+α,αβ=βα
  2. 结合性(associativity): 对所有的α,β,γ∈C都有 (α+β)+γ=α+(β+γ),(αβ)γ=α(βγ)
  3. 单位元(identities): 对所有γ∈C都有 γ+0=γ,γ1=γ
  4. 加法逆元(additive inverse): 对每个α∈C都存在唯一的β，使得α+β=0
  5. 乘法逆元(multiplicative inverse)：对每个α∈C都存在唯一的β∈C使得αβ=1
  6. 分配性质(distributive property)：对所有γ,α,β∈C都有γ(α+β)=γα+γβ

定义Fn： Fn是F中元素构成的长度为n的向量的集合：Fn={(x1,x2,…,xn):xj∈F,j=1,…,n}

对于(x1,…,xn)∈Fn以及j∈{1,…,n}称xj是x1,…,xn的第j个坐标。

2 向量空间

向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V，满足如下性质：

  1. 交换性(commutativity): 对所有的u,v∈V 都有u+v=v+u
  2. 结合性(associativity): 对所有的u,v,w∈V,a,b∈F都有 (u+v)+w=u+(v+w),(ab)v=a(bv)
  3. 加法单位元(additive identity): 对所有w∈V都有 0+w=w
  4. 加法逆元(additive inverse): 对每个u∈V都存在唯一的v，使得u+v=0
  5. 乘法单位元(multiplicative identity)：对所有v∈V都有1v=v
  6. 分配性质(distributive property)：对所有u,v∈V;a,b∈F都有a(u+v)=au+av,(a+b)v=av+bv

定义F∞为F中元素的所有无穷序列构成的集合：F∞={(x1,x2,…):xj∈F,j=1,2,…}

F∞中标量加法和乘法的定义也和有穷序列构成的集合一样。

  1. 设S是一个集合，我们用FS表示从S到F上所有函数的集合。
  2. 对于f,g∈FS,规定 f+g∈FS是如下函数：对所有x∈S, (f+g)(x)=f(x)+g(x)
  3. 对于λ∈F和f∈FS规定λf∈FS是如下函数：对所有的x∈S，(λf)(x)=λf(x)

举个例子：如果S是区间[0,1],且F=R，则R[0,1]是定义在区间[0,1]上的所有实值函数集合。

FS是向量空间，且满足如下三条性质：

  1. 若S是非空集合，则FS是F上向量空间。
  2. FS的加法单位元是定义如下的函数0:S→F:，对所有x∈S有0(x)=0
  3. 对于f∈FS，f的加法逆元是如下定义的函数−f:S→F: 对所有x∈S，(−f)(x)=−f(x)

3 子空间

子空间：如果V的子集U(采用与V相同的加法和标量乘法)也是向量空间，则称U是V的子空间。

接下来我们给出判断向量空间的一个子集是否是子空间的最简单的方法：

V的子集U是V的子空间当且仅当U满足以下三个条件：

  1. 加法单位元 0∈U；
  2. 加法封闭性 : u,w∈U→u+w∈U；
  3. 标量乘法封闭性：a∈F,u∈U→au∈U

接下来我们看看几个子空间的例子：

  1. 若b∈F 则(x1,x2,x3,x4)∈F4:x3=5x4+b是F4的子空间当且仅当b=0;
  2. 区间[0,1]上的全体实值连续函数的集合是R[0,1]的子空间；
  3. R上的全体实值可微函数的集合是RR的子空间；
  4. 区间(0,3)上满足条件f′(2)=b的实值可微函数的集合是R(0,3)的子空间当且仅当b=0
  5. 极限为0的复数序列组成的集合是C∞的子空间；

以上某些结论的验证表明，线性结构以微积分为基础。例如，证明第二个结论需要"两个连续函数的和仍为连续函数"。

子集的和：设U1,…,Um都是V的子集，则U1,…,Um的和定义为U1,…,Um中元素所有可能的和构成的集合，记为U1+U2+…+Um，更确切的说：U1+U2+…+Um={u1+…+um:u1∈U1,…,um∈Um}

接下来给一个关于子空间和的例子：假设U,W是F3中的子空间U={(x,0,0)∈F3:x∈F}，W={(0,y,0)∈F3:y∈F}，则U+W={(x,y,0):x,y∈F}

定理：子空间的和是包含这些子空间的最小子空间：设U1,…,Um都是V的子空间，则U1+U2+…+Um是V的包含U1,…,Um的最小子空间。

在向量空间中，子空间的和类似于集合论中子集的并，给定一个向量空间的两个子空间，包含他们的最小子空间是他们的和。类似的，给定一个集合的两个子集，包含他们的最小子集是他们的并集。

4 子空间的直和

设U1,…,Um都是V的子空间:

  1. 和U1+…+Um称为直和，如果U1,…,Um中的每个元素都可以唯一的表示成u1+…+um,其中uj∈Uj
  2. 若U1+…+Um是直和，则用U1⊕…⊕Um来表示U1+…+Um

设U是F3中的子空间，满足U={(x,y,0)∈F3,x,y∈F}， W是F3中的子空间，满足U={(0,0,z)∈F3,z∈F}，则F3=U⊕W

设Uj是Fn中除第j个坐标以外全是0的那些向量组成的子空间，Uj={(0,…,0,x,0,…,0)∈Fn:x∈F}，则Fn=U1⊕…⊕Un

设

U1={(x,y,0)∈F3:x,y∈F}U2={(0,0,z)∈F3:z∈F}U3={(0,y,y)∈F3:y∈F}

证明： U1+U2+U3不是直和

显然F3=U1+U2+U3，因为每个向量(x,y,z)∈F3都可以写成(x,y,z)=u1+u2+u3=(x,y,0)+(0,0,z)+(0,0,0)

其中，ui∈Ui,i=1,2,3

然而F3不是U1,U2,U3的直和，这是因为向量(0,0,0)可以用两种方式写成u1+u2+u3，具体来讲我们有：

(0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,−1,−1)(0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)

直和的定义要求空间中的每个项亮都能唯一的表示成一个适当的和，然而在确定子空间的和是否是直和时，我们没有必要逐一验证。事实上，我们只需要验证0是否可以唯一的写成一个适当的和。

设U1,…,Un都是V的子空间，则U1+…+Un是直和，当且仅当0表示成u1+…+un的唯一方式是每个uj=0,j∈{1,…,n}

首先假设U1+…+Un是直和，那么根据直和定义：如果0=u1+…+un，则必有 uj=0,j∈{1,…,n}

现在假设：如果0=u1+…+un,uj∈Uj,j∈{1,…,n}),则\(uj=0,j∈{1,…,n})。为了证明\(U1+…+Un是直和，设v∈U1+…+Un，我们把v写成：v=u1+…+un

其中uj∈Uj,j∈{1,…,n}，为了证明这个方法唯一，我们采用反证法，假设v还有一种表示v=v1+…+vm
其中vj∈Uj,j∈{1,…,n}，把上面两种表示方式相减，则有：0=(u1−v1)+…+(un−vn)
由于ui−vi∈Ui,i∈{1,…,n}，则有ui−vi=0→ui=vi,i∈{1,…,n}

设U和W都是V的子空间，则U+W是直和当且仅当U∩W={0}

证明：首先假设U∩W={0}，我们来证明U+W是直和。假设u∈U,w∈W则0=u+w意味着u=−w，根据向量空间的定义这说明u∈W.于是u=U∩W，进而u=0,w=0，所以0只能有一种表示方式，因此U∩W={0}时，U+W是直和.

然后我们证明当U+W是直和的时候，U∩W=0. 若v=U∩W，则0=v+(−v)，其中v∈U,−v∈W，由于0可以唯一的表示成U中向量和W中向量的和，我们有v=0,于是U∩W=0;

综上定理得证。