对偶空间与对偶映射

在线性代数中，映射到标量域F的线性映射具有非常重要的作用。

V上的线性泛函是从V到F的线性映射。也就是说线性泛函是L(V,F) 中的元素。

  1. 定义ϕ:R3→R为ϕ(x,y,z)=4x−5y+2z，则ϕ是R3上的线性泛函。
  2. 取定(c1,…,cn)∈Fn，定义ϕ:Fn→F为：ϕ(x1,…,xn)=c1xx+…cnxn，则ϕ是Fn上的线性泛函。
  3. 定义ϕ:P(R)→R为ϕ(p)=2p″(5)+7p(4)，则ϕ是P(R)上的线性泛函。
  4. 定义ϕ:P(R)→R为ϕ(p)=∫10p(x)dx，则ϕ是P(R)上的线性泛函。

V上的所有线性泛函构成的向量空间称为V的对偶空间，记为V′。也就是说，V′=L(V,F)

dimV′=dimV

我们之前 3.61 证明过：dim(L(V,W))=(dimV)(dimW)。

对于这个命题因为V′=L(V,F) ，所以dim(V′)=dim(V)dim(F)，又因为dimF=1 .

这里V′是线性泛函的集合，(线性泛函都是从V到F的映射。)

设v1,…,vn是V的基，则v1,…,vn的对偶基是V′中的元素组φ1,…,φn，其中每个φj都是V上的线性泛函，满足：

φj(vk)={1,k=j0,k≠j

求Fn的标准基e1,…,en的对偶基。

对于1≤j≤n，定义φj是Fn上的线性泛函，满足∀(x1,…,xn)∈Fn:

φj(x1,…,xn)=xj

显然：

φj(vk)={1,k=j0,k≠j

于是φ1,…,φn是Fn的标准基e1,…,en的对偶基。

从对偶基的定义可以看出对偶基与V的基紧密相关，由于对偶基是V′中满足特定条件的线性映射，根据定义，对偶基是把V的基的各个元素映射称1或者0的线性泛函的集合。注意对偶基是把V中的基映射为F中的1而不是其他元素，所以可以想见这个对偶基在以后有很多特殊的应用。

设V是有限维的，则V的一个基的对偶基是V′的基。

还是从定义出发逐一解读这个命题的关键元素。

首先V是有限维的，说明V的维度有限。V的一个基的对偶基是V′中的元素，这些元素是线性泛函，这些线性泛函把V的基映射称F中的1或者0，另外注意：1是F中的乘法单位元，0是F中的加法零元。

所以我们假设v1,…,vn是V的基，则V′的对偶基也有n个元素，假设为φ1,…,φn。我们接下来要证明φ1,…,φn是线性无关且张成V′。

为了证明φ1,…,φn是线性独立的，令:

0=a1φ1+…+anφn

我们只要得到ai,∀i即可。注意上式左端的0是对偶空间中的0元素，是一个线性泛函。

对上式两端我们作用于vi，显然有0vi=0=aiφi(vi) . 根据对偶基的定义，我们有aiφi(vi)=ai,ajφj(vi)=0,∀j≠i.

所以ai=0,∀i

又因为，我们之前有dimV′=dimV。而dimspan(φ1,…,φn)=n，所以dimV′=n。

所以φ1,…,φn是V′的一组基（若V′是有限维的，则V′中每个长度为dimV′ 的线性无关向量组都是V′的基）。

若T∈L(V,W)，则T的对偶映射是线性映射T′∈L(W′,V′)：对于φ∈W′， T′(φ)=φ∘T

注意这里的W′,V′分别是W,V上的所有线性泛函构成的向量空间，即W,V的对偶空间。φ∈W′表明φ是从W到F的线性映射。

如果T∈L(V,W)， φ∈W′，那么T′(φ)被定义为线性映射φ与T的复合。于是，由于T是从V到W的线性映射，而φ是从W到F的线性泛函。所以φ∘T是从V到F的线性泛函，即 T′(φ)的确是V到F的线性映射。也就是说，T′(φ)∈V′

验证T′是W′到V′的线性映射：

  1. 若φ,ϕ∈W′，则T′(ϕ+φ)=(ϕ+φ)∘T=ϕ∘T+φ∘T=T′(ϕ)+T′(φ)
  2. 若λ∈F,φ∈W′，则T′(λφ)=(λφ)∘T=λ(φ∘T)=λT′(φ)

在下面的例子中，′有两种毫不相干的意义：D′表示线性映射D的对偶映射，p′则表示多项式p的导数。

定义：D:P(R)→P(R)为Dp=p′

  1. 设φ是P(R)上由φ(p)=p(3)定义的线性泛函。则D′(φ)是P(R)上如下定义的线性泛函：(D′(φ))(p)=(φ∘D)(p)=φ(Dp)=φ(p′)=p′(3)
    即：D′(φ)是P(R)上将p变成p′(3)的线性泛函。
  2. 设φ是P(R)上由φ(p)=∫10p(x)dx定义的线性泛函。则D′(φ)是P(R)上如下定义的线性泛函：(D′(φ)(p))=(φ∘D)(p)=φ(D(p))=φ(p′)=∫10p′(x)dx=p(1)−p(0)
    即：D′(φ)是P(R)上将p变为p(1)−p(0)的线性泛函。

对偶映射的代数性质：

  1. 对所有S,T∈L(V,W)有(S+T)′=S′+T′
  2. 对所有λ∈F和所有T∈L(V,W)，有(λT)′=λT′
  3. 对所有T∈L(U,V)和所有S∈L(V,W)，有(ST)′=T′S′

对于第一条，根据对偶映射的定义 (若T∈L(V,W),则T的对偶映射是线性映射T′∈L(W′,V′):对于φ∈W′,T′(φ)=φ∘T)，对于φ∈W′，有：

(S′+T′)(φ)=φ∘(S+T)=φ∘S+φ∘T=S′)(φ)+T′(φ)=(S′+T′)(φ)

对于第二条，同样根据对偶映射的定义(若T∈L(V,W),则T的对偶映射T′∈L(W′,V′)，对于φ∈W′，有T′(φ)=φ∘T) ，对于φ∈W′，有：

(λT)′(φ)=φ∘(λT)=λ(φ∘T)=λ(T′(φ))

对于第三条：

假设有φ∈W′，则有：

(ST)′(φ)=φ∘ST=(φ∘S)∘T=T′(φ∘S)=T′(S′(φ))=T′S′(φ)

使用对偶映射的定义推导出第一个等号，使用映射的结合性推出第二个等号，使用对偶映射的定义推导出第三个等号，使用对偶映射的结合性对导出第四个等号，使用映射的结合性推出第五个等号。