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有限维向量空间

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本文是学习有限维向量空间的笔记，主要内容涉及生成空间，线性无关组，基和维数。

1 生成空间

V中一组向量v1,…,vm的所有线性组合构成的集合成为v1,…,vm的生成空间，记为span(v1,…,vm)，即：span(v1,…,vm)={a1v1+…+amvm:a1,…,am∈F}

定理：生成空间是包含这组向量的最小子空间

证明：设v1,…,vm 是V中的一组向量。先证明: span(v1,…,vm)是V的子空间（通过证明0元，加法封闭性，标量乘法封闭性即可证明子空间合理）。加法单位元属于span(v1,…,vm)，因为0=0v1+…+0vm其次，span(v1,…,vm)在加法下封闭，因为：(a1v1+…+amvm)+(c1v1+…+cmvm)=(a1+c1)v1+…+(am+cm)vm第三，span(v1,…,vm)在标量乘法下封闭，因为:λ(a1v1+…+amvm)=λa1v1+…+λamvm

于是：span(v1,…,vm)是V的子空间。

每个vj都是v1,…,vm的线性组合，于是span(v1,…,vm)包含每一个vj。反之，由于子空间对加法和标量乘法都封闭，从而V的包含所有vj的子空间必定span(v1,…,vm)。因此span(v1,…,vm)是V的包含所有v1,…,vm的最小子空间。

如果一个向量空间可以由该空间中的某个向量组生成，则称这个向量空间是有限维的。

对于函数p:F→F，若存在a0,…,am∈F使得对任意的z∈F均有：p(z)=a0+a1z+…+amzm则称p为系数属于F的多项式。

P(F)是系数属于F的全体多项式所组成的集合。

在通常的加法和标量乘法下，P(F)是F上的向量空间，也就是说，P(F)是FF（F到F的全体函数构成的向量空间）的子空间。

如果一个多项式(视为F到F的函数)可用两组系数来表示，将这两个表达式相减得到一个多项式，该多项式作为F上的函数是恒等于零的函数，因此该多项式的系数均为0。一个多现实的系数由该多项式唯一确定。

对于多项式p∈P(F)，若存在标量a0,a1,…,am∈F，其中am≠0使得对任意的z∈F有p(z)=a0+a1z+…+amzm则说p的次数为m，记为deg(p)=m

规定恒等于0的多项式次数为−∞

对于非负整数m，用Pm(F)表示系数在F中且次数不超过m的所有多项式构成的集合。

显然:Pm(F)=span(1,z,…,zm)，对于每个非负整数m,Pm(F)是有限维向量空间。如果一个向量空间不是有限维的，则成为无限维的。比如P(F)就是无限维的。

P(F)是无限维的。

考虑P(F)中任意一组元素，记m是这组多项式的最高次数。则这个组的张成空间中的每个多项式的次数最多为m。因此zm+1不属于这个组的张成空间。从而没有组能够张成P(F).所以P(F)是无限维的。

2 线性无关

设v1,…,vm∈V，且v∈span(v1,…,vm)，则:v=a1v1+…+amvm现在我们来考虑上式中的系数取值是否唯一的问题。假设v还可以表示为：v=c1v1+…+cmvm两式相减得到：0=(a1−c1)v1+…+(am−cm)vm于是我们把0写成了v1,…,vm的线性组合，如果0只能写成每个标量都取零的线性组合，则每个ai−ci都等于零，即ai=ci。则我们称v1,…,vm是线性无关的。

线性无关的一个严格的定义为：

V中的一组向量v1,…,vm是线性无关的，如果a1v1+…+amvm=0的a1,…,am∈F只有a1=…=am=0

显然， a1v1+…+amvm是线性无关的当且仅当span(v1,…,vm)中的每个向量都可以唯一的表示成v1,…,vm的线性组合。

  1. V中一个向量v是线性无关的当且仅当v≠0
  2. V中两个向量构成的向量组线性无关当且仅当每个向量都不可以写成另一个向量组的标量倍。
  3. F4中(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)线性无关
  4. 对每个非负整数m, P(F)中的组1,z,…,zm线性无关

V中一组向量如果不是线性无关的，则称为线性相关的。也就是说V中一组向量v1,…,vm线性相关当且仅当存在不全为零的a1,…,am∈F使得 a1v1+…+amvm=0

设v1,…,vm是V中的一个线性相关的向量组.则有j∈{1,2,…,m}使得：

  1. vj∈span(v1,…,vm)
  2. 若从v1,…,vm中去掉第j想，则剩余组的张成空间等于span(v1,…,vm)

由于向量组v1,…,vm线性相关，存在不全为0的a1,…,am∈F使得 a1v1+…+amvm=0 ,设j是{1,…,m}中使得aj≠0的最大者，则：

vj=−a1ajv1−…−amajvm

接下来，我们证明第二步，设u∈span(v1,…,vm)，则存在c1,…,cm∈F使得：u=c1v1+…+cmvm 带入1，可得u属于从v1,…,vm中去掉第j项所得到的组的张成空间。

接下来我们看一个重要的结论：

在有限维向量空间中，线性无关组中向量的个数不超过向量空间的每个张成组的向量个数。

设u1,…,um在V中是线性无关的，并设w1,…,wn张成V，我们需要证明m≤n。

设B表示V的张成组w1,…,wn.在该组上添加任何向量都会得到一个线性相关组，特别的，组u1,w1,…,wn是线性相关的，那么可以通过去掉某个w使得u1和余下的w构成新的B，这个B同样张成V。

依次类推，假设我们执行了到了第 j步，我们知道经过前j−1步生成的B张成了V，从而再添加任何向量都会构成线性相关组，特别的我们在u1,…,uj−1之后添加uj，u1,…,uj和之前剩下的w构成了n+1个向量组，所以是线性相关的，此时我们需要从n+1个向量组中减去一个，又因为u1,…,uj是线性无关的，所以这个向量一定是某个w，而不是某个u，我们可以从B中去掉这个w,那么新的B仍然张成V

经过m步之后，新的B由u1,…,um和剩下的w一起构成。因此w的个数至少和u的个数一样多。

关于这个结论的直接应用，我们给两个例子。

证明组(1,2,3),(4,5,8),(9,6,7),(−3,2,8)在R3中不是线性无关组。

因为组(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)张成了R3。所以在R3中不可能存在向量个数大于3的线性无关组。

证明组(1,2,3,−5),(4,5,8,3),(9,6,7,−1)不能张成R4

因为(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)在R4中是线性无关的，所以个数为4的组不能张成R4. 线性无关组中向量的个数不超过向量空间的每个张成组的向量个数。

有限维向量空间的子空间都是有限维的

设V是有限维向量空间，U是V的子空间，只需要证明U是有限维的。我们通过以下步骤来证明：

  1. 若U=0,则U是有限维的，得证。若U≠0则取非零向量v1∈U
  2. 若U=span(v1,…,vj−1)，则U是有限维的，得证。若U≠span(v1,…,vj−1) 则取一个向量vj∈U使得vj∉span(v1,…,vj−1) 经过每一步，只要这个程序还在继续，我们都构造了一个向量组，其中每一个新添加的向量都不在它前面的张成空间中，因此每一步我们都构成了一个线性无关组。另外，我们知道这个线性无关组不能比V的任何张成组中的向量个数还大。这个构建过程一定会终止，因此，U是有限维的。

3 基

接下来，我们搞基。

若V中一个向量组既线性无关又张成V，则称这个线性无关组为V的基

  1. 组(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,…,0,1) 是Fn的基，称为Fn的标准基
  2. 组(1,2),(3,5)是F2的基
  3. 组(1,2,−4),(7,−5,6)在F3中线性无关，但不是F3的基，因为不能张成F3
  4. 组(1,2),(3,5),(4,13)张成F2但不是F2的基，因为它不是线性无关的。
  5. 组(1,1,0),(0,0,1)是{(x,x,y)∈F3:x,y∈F}的基。
  6. 组(1,−1,0),(1,0,−1)是{(x,y,z)∈F3:x+y+z=0}的基。
  7. 组1,z,…,zm是Pm(F)的基

V中的向量组v1,…,vn是V的基，当且仅当每个v∈V都能唯一的写成：v=a1v1+…+anvn其中a1,…,an∈F

设v1,…,vn是V的基，并设v∈V，因此v可以写成v=a1v1+…+anvn，假设v还可以写成v=c1v1+…+cnvn两式相减，得： 0=(a1−c1)v1+…+(an−cn)vn由于v1,…,vn是线性无关的，所以每个aj−cj=0，因此a1=c1,…,an=cn,这就证明了唯一性。

接下来假设v∈V可以唯一的写成v=a1v1+…+anvn ，我们来证明v1,…,vn线性无关。设a1,…,an∈F使得0=a1v1+…+anvn，由于表示的唯一性，所以a1=…=an=0，因此v1,…,vn线性无关。由于v1,…,vn线性无关又张成了V所以v1,…,vn是V的基。

向量空间的张成组不一定是基，因为它可能是线性相关的。但是我们总可以去掉其中的某些向量使得这个线性相关组变成线性无关组。

在向量空间中，每个张成组都可以简化为一个基

设v1,…,vn张成V，我们要从v1,…,vn中去掉那些多余的向量来构造基。我们用B来表示v1,…,vn。

  1. 若v1=0，则从B中去掉v1；若v1≠0，则保持B不变。
  2. 若vj∈span(v1,…,vj−1)，则从B中去掉vj；否则保持B不变。

经过n步以后，终止操作，得到一个向量组。因为最初的向量组张成V，而去掉的向量都可以使用剩下的向量表示，所以剩下的向量组也张成V。又因为这个过程确保剩下的向量是线性无关的，所以剩下的向量组构成了V的基。

显然，从有限维向量空间的定义出发，每个有限维向量空间都有基。更进一步，针对有限维向量空间的线性无关的向量组，我们都可以扩展出一组线性无关组使其构成有限维向量空间的基。

设V是有限维的，u1,…,um在V中线性无关，设w1,…,wn是V的一个基。则向量组u1,…,um,w1,…,wn张成V。我们可以把这个向量组通过去掉某些w变成V的一个基，这个基包含了所有的u和某些w。写到这里，是不是想到了之前直和的概念？那些多出来的w是什么？这些u又是什么？

设V是有限维的，U是V的子空间 ，则存在V的子空间W使得V=U⊕W

证明： 因为V是有限维的，所以U也是有限维，并且U有一个基u1,…,um。u1,…,um也是V中的一个线性无关组，从而可以扩充成V的一个基，假设扩充后的向量无关组是u1,…,um,w1,…,wn，令W=span(w1,…,wn). 要证明V=U⊕W， 我们只需要证明V=U+W,{0}=U∩W 首先，我们证明V=U+W.设V中一个向量v，可以表示为v=a1u1+…+amum⏟u+b1w1…+bnwn⏟w 显然u∈U,w∈W,v=u+w，因此v∈U+W,V=U+W.

然后我们证明U∩W={0}，假设v∈U∩W，存在a1,…,am,b1,…,bn∈F使得： v=a1u1+…+amum=b1w1+…+bnwn 因此，有： a1u1+…+amum−b1w1−…−bnwn=0 又因为u1,…,um,w1,…,wn是线性无关组，所以只有v=0，即U∩W={0}

综上，命题得证。

4 维数

至此我们讨论了有限维线性空间的基，讨论了基的构造过程。我们还需要讨论有限维线性空间的另外一个重要概念：维数。如何定义维数？一个合理的定义应该保证Fn的维数是n。因为我们知道Fn标准基中线性无关组向量的个数是n。但是对于一个有限维线性空间，其基的个数不止一个，是不是每个基都有相同个数的线性无关向量组呢？是的，我们这就给出证明。

有限维向量空间的任意两个基中线性无关组向量的个数相同

设V是有限维的,B1,B2是其任意两个基，则B1在V中是线性无关的，并且B2张成V，通过本文之前我们证明过得结论：有限维线性空间中线性无关组中向量个数不超过基中向量个数。我们知道B1中向量个数不超过B2中向量个数。交换B1和B2的位置，我们知道B2中向量个数也不超过B1中向量个数。因此B1和B2中向量个数相同。

有限维向量空间的任意基中线性无关组向量的个数称为这个向量空间的维数；若V是有限维的，则称V的维数为dimV

显然,Fn的维数是n；Pm(F)的维数是m+1

要验证V中的一个向量组是V的基，按照定义我们必须证明这个向量组满足两个性质：

  1. 这个向量组是线性无关的；
  2. 这个向量组张成V

我们把一个向量组中向量的个数称为这个向量组的长度。

若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关组都是V的基。若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成组都是V的基。

接下来我们证明一个非常重要的定理：

如果U1和U2是有限维向量空间的两个子空间，则dim(U1+U2)=dimU1+dimU2−dim(U1∩U2)

设u1,…,um是U1∩U2的基，则dim(U1∩U2)=m, 又因为u1,…,um 是U1中的线性无关组，则u1,…,um可以扩充成U1的一组基，u1,…,um,v1,…,vj，dimU1=m+j；同理u1,…,um也可以扩充成U2的一组基，u1,…,um,w1,…,wk ，dimU2=m+k，倘若我们能够证明u1,…,um,v1,…,vj,w1,…,wk是U1+U2的一组基，则我们可以得到：

dim(U1∩U2)=m+j+k=(m+j)+(m+k)−m=dim(U1)+dim(U2)−dim(U1∩U2)

显然span(u1,…,um,v1,…,vj,w1,…,wk)张成了U1+U2，接下来我们只需要证明u1,…,um,v1,…,vj,w1,…,wk是线性无关的。为此我们假设：

a1u1+…+amum+b1v1+…+bjvj+c1w1+…+ckwk=0

则有：

c1w1+…+ckwk=−a1u1−…−amum−b1v1−…−bjvj

所以c1w1+…+ckwk∈U1，又因为wi∈U2，所以存在d1,…,dm使得:

c1w1+…+ckwk=d1u1+…+dmum

即:

c1w1+…+ckwk−d1u1−…−dmum=0;

又因为 u1,…,um,w1,…,wk是线性无关组，所以c1,…,ck,d1,…,dm都是零。根据3得，所有的a和b都是零。因此根据2，u1,…,um,v1,…,vj,w1,…,wk是线性无关的。至此，命题得证。