练习：基
2.b.1
找出只含一个基的所有向量空间。
答案很简单只有{0}是含有一个基的向量空间。因为若v是向量空间的一个基，则显然有λv,λ≠0也是该向量空间的一个基。
2.b.3
设U是R5的子空间，U={(x1,x2,x3,x4,x5)∈R5:x1=3x2,x3=7x4}求U的一个基
设x2,x4,x5是自由变量。我们可以采取很简单的做法，当某个元素为1的时候，其他两个为0.显然有
(3,1,0,0,0)(0,0,7,1,0)(0,0,0,0,1)将上一步的基扩充成R5的基。我们知道
(3,1,0,0,0)(0,0,7,1,0)(0,0,0,0,1)是线性无关组，且向量个数为3，我们需要再扩充两个向量才能构成R5的基.可以扩充：
(1,0,0,0,0)(0,0,1,0,0)这两个线性无关向量。
找出R5的一个子空间W使得R5=U⊕W
首先令U={(x1,x2,x3,x4,x5)∈R5:x1=3x2,x3=7x4}，我们知道这个空间的一个基是：
(3,1,0,0,0)(0,0,7,1,0)(0,0,0,0,1)另外根据第二步，我们扩充了：
(1,0,0,0,0)(0,0,1,0,0)这两个向量，从而构成了R5的一个基。所以可以得知由这两个向量张成的子空间构成了W，使得V=U⊕W 显然我们可以把W写成： W={(x1,x2,x3,x4,x5)∈R5:x2=x3=x4=x5=0orx1=x2=x4=x5=0}
2.b.4
设U是C5 的子空间，U={(z1,z2,z3,z4,z5)∈C5:6z1=z2,z3+2z4+3z5=0}，求U的一个基。
根据2.b.3我们有：
(6,1,0,0,0)(0,0,−2,1,0)(0,0,−3,0,1)将上题的基扩展成C5的基
我们只需要再扩展两个向量，和之前的三个向量构成线性无关组即可。
(1,0,0,0,0)(0,0,1,0,0)找出C5的一个字空间W使得C5=U⊕W
只要把后来扩展的线性无关组张成的空间作为W即可： W=span((1,0,0,0,0),(0,0,0,1))
2.b.5
证明或反驳：P3(F)有一个基p0,p1,p2,p3使得多项式p0,p1,p2,p3的次数都不等于2.
我们知道1,x,x2,x3构成了P3(F)的一个基。对于另外一组向量1,x,x3−x2,x3+x2,可以得到对于任何ai∈F，有
0=a0+a1x+a2(x3−x2)+a3(x3+x2)整理后：
0=a0+a1x+(a3−a2)x2+(a3+a2)x3因为1,x,x2,x3线性无关，则有a0,…,a3都是零。所以有1,x,x3−x2,x3+x2是线性无关的。又因为P3(F)是有限维的。且线性无关组1,x,x3−x2,x3+x2是线性无关的，长度为5，所以1,x,x3−x2,x3+x2是P3(F)的一个基。
2.b.6
设v1,v2,v3,v4是V的基，证明v1+v2,v2+v3,v3+v4,v4也是V的基。
首先这两个向量组的长度都是4。我们只需要证明v1+v2,v2+v3,v3+v4,v4也是线性无关的即可。
设有ai∈F，使得：
0=a1(v1+v2)+a2(v2+v3)+a3(v3+v4)+a4v4则有：
0=a1v1+(a1+a2)v2+(a2+a3)v3+(a3+a4)v4因为v1,v2,v3,v4是V的基，所以线性无关，所以ai=0,i=1,…,4
所以v1+v2,v2+v3,v3+v4,v4也线性无关。
2.b.7
证明或反驳：若v1,v2,v3,v4是V的基，且U是V的子空间。使得v1,v2∈U,v3,v4∉U，则v1,v2是U的基。
乍看这个命题是真的。V可以划分为U⊕W，但是这里没有说U,W的张成组分别有多少个线性无关向量，可能U,W的张成组都有两个线性无关向量，也可能U的张成组有三个线性无关向量，而W的张成组有1个线性无关向量。比如
v1=(1,0,0,0)v2=(0,1,0,0)v3=(0,0,1,1)v4=(0,0,0,1)假设U={(x,y,z,0)∈R4:x,y,z∈R}，满足v1∈U,v2∈U，v3∉U,v4∉U，但是v1,v2不是U的基。
我最开始的思考漏掉了什么？
漏掉了U的基有三个向量无关组的情形。
2.b.8
设U,W是V的子空间，使得V=U⊕W，并设u1,…,um是U的基，w1,…,wn是W的基，证明u1,…,um,w1,…,wn是V的基。
证明因为V=U⊕W，对于V总的任意一个向量v都有唯一的一个u∈U,w∈W使得v=u+w,u∈U,w∈W。 而对于u∈U有唯一的一组ai∈F使得：
u=a1u1+…amum同理对于w有：
w=b1w1+…bmwm所以有：
v=a1u1+…amum+b1w1+…bnwn且这种表示方式是唯一的，所以u1,…,um,w1,…,wn张成V，表示方式是唯一的。
另外假设存在ai∈F,bi∈F，使得：
a1u1+…amum+b1w1+…bnwn=0则有：
a1u1+…amum=−(b1w1+…bnwn)∈U∩W又因为V=U⊕W，则{0}=U⊕W，则有：
a1u1+…amum=0b1w1+…bnwn=0又因为u1,…,um是U的基，w1,…,wn是W的基，则有ai=0,bi=0，所以u1,…,um,w1,…,wn 是线性独立的。
综上u1,…,um,w1,…,wn是V的基。
证明任何向量组是空间的基要分两步：1）证明张成，2）证明线性无关。