练习：基

答案很简单只有\(\{0\}\)是含有一个基的向量空间。因为若\(v\)是向量空间的一个基，则显然有\(\lambda v,\lambda \neq 0\)也是该向量空间的一个基。

设\(x_{2},x_{4},x^{5}\)是自由变量。我们可以采取很简单的做法，当某个元素为1的时候，其他两个为0.显然有

\begin{eqnarray*} &&(3,1,0,0,0)\\ &&(0,0,7,1,0)\\ &&(0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}

首先令\(U=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\in \mathbf{R}^{5}:x_{1}=3x_{2},x_{3}=7x_{4}\}\)，我们知道这个空间的一个基是：

\begin{eqnarray*} &&(3,1,0,0,0)\\ &&(0,0,7,1,0)\\ &&(0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}

另外根据第二步，我们扩充了：

\begin{eqnarray*} &&(1,0,0,0,0)\\ &&(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}

这两个向量，从而构成了\(\mathbf{R}^{5}\)的一个基。所以可以得知由这两个向量张成的子空间构成了\(W\)，使得\(V = U\oplus W\) 显然我们可以把\(W\)写成： \(W=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\in \mathbf{R}^{5}:x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=0 \quad or\quad x_{1}=x_{2}=x_{4}=x_{5}=0 \}\)

根据2.b.3我们有：

\begin{eqnarray*} &&(6,1,0,0,0)\\ &&(0,0,-2,1,0)\\ &&(0,0,-3,0,1) \end{eqnarray*}

我们只需要再扩展两个向量，和之前的三个向量构成线性无关组即可。

\begin{eqnarray*} &&(1,0,0,0,0)\\ &&(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}

只要把后来扩展的线性无关组张成的空间作为\(W\)即可： \(W= span((1,0,0,0,0),(0,0,0,1))\)

我们知道\(1,x,x^{2},x^{3}\)构成了\(\mathcal{P}_{3}(\mathbf{F})\)的一个基。对于另外一组向量\(1,x,x^{3}-x^{2},x^{3}+x^{2}\),可以得到对于任何\(a_{i}\in \mathbf{F}\)，有

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b1} 0=a_{0} + a_{1} x + a_{2}(x^{3}-x^{2}) + a_{3}(x_{3}+x^{2}) \end{equation}

整理后：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b2} 0=a_{0} + a_{1} x + (a_{3} - a_{2})x^{2} + (a_{3}+a_{2})x^{3} \end{equation}

因为\(1,x,x^{2},x^{3}\)线性无关，则有\(a_{0},\ldots ,a_{3}\)都是零。所以有\(1,x,x^{3}-x^{2},x^{3}+x^{2}\)是线性无关的。又因为\(\mathcal{P}_{3}(\mathbf{F})\)是有限维的。且线性无关组\(1,x,x^{3}-x^{2},x^{3}+x^{2}\)是线性无关的，长度为5，所以\(1,x,x^{3}-x^{2},x^{3}+x^{2}\)是\(\mathcal{P}_{3}(F)\)的一个基。

首先这两个向量组的长度都是4。我们只需要证明\(v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},v_{4}\)也是线性无关的即可。

设有\(a_{i}\in \mathbf{F}\)，使得：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b3} 0= a_{1}(v_{1} +v_{2}) + a_{2}(v_{2} + v_{3}) + a_{3}(v_{3}+v_{4}) + a_{4}v_{4} \end{equation}

则有：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b4} 0 = a_{1}v_{1} + (a_{1}+a_{2})v_{2} + (a_{2}+a_{3})v_{3} + (a_{3} + a_{4})v_{4} \end{equation}

因为\(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\)是\(V\)的基，所以线性无关，所以\(a_{i}=0,i=1,\ldots ,4\)

所以\(v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},v_{4}\)也线性无关。

乍看这个命题是真的。\(V\)可以划分为\(U\oplus W\)，但是这里没有说\(U,W\)的张成组分别有多少个线性无关向量，可能\(U,W\)的张成组都有两个线性无关向量，也可能\(U\)的张成组有三个线性无关向量，而\(W\)的张成组有1个线性无关向量。比如

\begin{eqnarray*} v_{1}&=&(1,0,0,0) \\ v_{2}&=&(0,1,0,0) \\ v_{3}&=&(0,0,1,1) \\ v_{4}&=&(0,0,0,1) \end{eqnarray*}

假设\(U=\{(x,y,z,0)\in \mathbf{R}^{4}:x,y,z\in \mathbf{R}\}\)，满足\(v_{1}\in U,v_{2}\in U\)，\(v_{3}\notin U,v_{4}\notin U\)，但是\(v_{1},v_{2}\)不是\(U\)的基。

我最开始的思考漏掉了什么？

漏掉了\(U\)的基有三个向量无关组的情形。

证明因为\(V=U\oplus W\)，对于\(V\)总的任意一个向量\(v\)都有唯一的一个\(u\in U,w\in W\)使得\(v = u+w,u\in U, w\in W\)。 而对于\(u\in U\)有唯一的一组\(a_{i}\in \mathbf{F}\)使得：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b5} u = a_{1}u_{1}+\ldots a_{m}u_{m} \end{equation}

同理对于\(w\)有：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b6} w = b_{1}w_{1}+\ldots b_{m}w_{m} \end{equation}

所以有：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b7} v = a_{1}u_{1}+\ldots a_{m}u_{m} + b_{1}w_{1}+\ldots b_{n}w_{n} \end{equation}

且这种表示方式是唯一的，所以\(u_{1},\ldots ,u_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}\)张成\(V\)，表示方式是唯一的。

另外假设存在\(a_{i}\in \mathbf{F},b_{i} \in \mathbf{F}\)，使得：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b8} a_{1}u_{1}+\ldots a_{m}u_{m} + b_{1}w_{1}+\ldots b_{n}w_{n} = 0 \end{equation}

则有：

\begin{equation} \label{eq:20170402LADR2b9} a_{1}u_{1}+\ldots a_{m}u_{m} = -( b_{1}w_{1}+\ldots b_{n}w_{n}) \in U\cap W \end{equation}

又因为\(V=U\oplus W\)，则\(\{0\} = U\oplus W \)，则有：

\begin{eqnarray*} a_{1}u_{1}+\ldots a_{m}u_{m} &=&0\\ b_{1}w_{1}+\ldots b_{n}w_{n} &=&0 \end{eqnarray*}

又因为\(u_{1},\ldots ,u_{m}\)是\(U\)的基，\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(W\)的基，则有\(a_{i}=0,b_{i}=0\)，所以\(u_{1},\ldots ,u_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}\) 是线性独立的。

综上\(u_{1},\ldots ,u_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(V\)的基。

证明任何向量组是空间的基要分两步：1）证明张成，2）证明线性无关。