练习：维数

证明这类问题，我比较倾向于证明U⊆V并且V⊆U

首先证明U⊆V，这是显然的，因为U是V的子空间，对于每一个u∈U，都有u∈V。

然后证明V⊆U. 对于每个v∈V，都可以写成V的一个基的向量组合。即：v=m∑i=1aivi

假设dimV=m，所以dimU=m所以U的基中向量个数为m，从U的基向V的张成组的扩展是平凡的。所以U的基也构成了V的张成组。所以对于v同样也可以找到U的基的线性组合，即v=m∑i=1biui

即有V⊆U

综上有U=V

我们有R2子空间U的维度只能是0,1,2，若dimU=0，则U={0};若dimU=2则有U=R2；若dimU=1，则有对于任何x∈R2,x≠0，都有：U={kx∈U:k∈R}.

类似于2.C.2，我们有，R3的子空间U的维度为0,1,2,3；

1. 若dimU=0则有, U={0};
2. 若dimU=1则有, U={kx:k∈R};
3. 若dimU=2则有，U={k1x1+k2x2:k1∈R,k2∈R}. 这里要求x1,x2在R3中是线性独立的。
4. 若dimU=3则有，U=R3

因为p(6)=0，所以一个很方便的基为z−6,(z−6)2,(z−6)3,(z−6)4，这个基张成空间U，因此dimU=4。

因为P4(F)的维度是5，而dimU=4，我们只需要在扩展一维即可，一个简单的扩展是a:a∈F

由第二步得知：W={a:a∈F}，P4(F)=U⊕W

一个简单的基为1,z−6,(z−6)2,(z−6)3,(z−6)4

因为dimU=4,dimP4(F)=5，所以U=P4(F).所以从U的基向P4(F)的基扩展是平凡的。即U的基就是P4(F)的基

由第二步得dimW=0，即W={0}

对于f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，利用f(2)=f(5)，我们得到一个关于a,b,c,d,e的线性方程组。这个线性方程组的解的维度是4，也就是说f(x)的系数只需要使用4个实数即可表示。所以U的维度是4.

U的一个简单的基是1,(x−2)(x−5),x(x−2)(x−5),x2(x−2)(x−5)

从上题可得，可以从1,(x−2)(x−5),x(x−2)(x−5),x2(x−2)(x−5)扩展为1,x,(x−2)(x−5),x(x−2)(x−5),x2(x−2)(x−5)

W={cx:c∈F}

根据2.C.6，可以得一个基1,(x−2)(x−5)(x−6),x(x−2)(x−5)(x−6)

可以从1,(x−2)(x−5)(x−6),x(x−2)(x−5)(x−6)，扩展到1,x,x2,(x−2)(x−5)(x−6),x(x−2)(x−5)(x−6)

W={c1x+c2x2:c1∈F,c2∈F}

对于多项式f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，考虑∫1−1f=0，我们得到

a5+d3+e=0

这个关于a,b,c,d,e的线性方程组的解空间有：

(0,1,0,0,0)(−53,0,1,0,0)(0,0,0,1,0)(−5,0,0,0,1)

因为所有系数满足以上解的组合的线性方程组的系数确定的多项式都满足∫1−1f=0，并且并且以上给出的四个解释线性无关的（可以根据线性无关组定义证明）。所以把四个解带入f(x)我们得到了一个U的基x3,−53x4+x2,x,−5x4+1。

对于这个基我们还可以做一些线性组合比如(3)(−53x4+x2)+(−1)(−5x4+1)=3x2−1

显然所以这个基可以变为：x3,3x2−1,x,−5x4+1。

扩展x3,3x2−1,x,−5x4+1到1,x3,3x2−1,x,−5x4+1。

从前文得知，W={c:c∈R}，所以有P4(R)=U⊕W

在这个题目中出现了不等式，我们知道一个线性空间中线性无关组的中向量的个数小于等于张成空间向量组的个数。我们来构建一个维数为m−1的线性无关组。

考虑v2−v1=(v2+w)−(v1+w)，所以v2−v1∈span(v1+w,…,vm+w)，同理对于vi−v1,2≤i≤m都有vi−v1∈span(v1+w,…,vm+w).

接下来证明vi−v1,2≤i≤m是线性无关的。假设:

a1(v2−v1)+…am−1(vm−v1)=0

则有

(−a1−a2−…−am−1)v1+a1v2+…am−1vm=0

因为v1,…,vm是线性无关的，则有ai=0,1≤i≤m

由于每个pj的次数为j，则有:

0=a0p0+…ampm

时只有，aj,0≤j≤m,j∈Z满足要求，因此p0,…,pm是线性无关的，又因为这个线性无关组的向量个数是m+1和Pm(F)的维度相同，所以p0,…,pm是Pm(F)的基。

首先假设u1,u2,u3是U的基，所以u1,u2,u3是V的线性无关组，我们可以把u1,u2,u3扩充成V的一组基，又因为dimV=8,所以只用扩充5个线性无关向量w1,w2,w3,w4,w5即可。

假设这5个线性无关向量全都来自于W，这是可能的因为dimW=5。接下来我们证明U∩W={0}

dimU∩W=dimU+dimW−dim(U+W)

因为U+W=R8，则有dimU∩W=0.

因为U+W=R8，且dimU∩W=0，所以U⊕W=R8.

同2.C.11一样，这里也用到空间维数定理。

dim(U1∩U2=dimU1+dimU2−dim(U1+U2)

因为dim(U1+U2)≤dimR9，所以：

dim(U1∩U2≥dimU1+dimU2−dimR9≥1

所以U1∩U2≠{0}

这个题目2.C.11,2.C.12的变形，必须有：

dim(U∩W≥dimU+dimW−dimR6≥2

因为dim(U∩W≥2，则必有U∩W中至少有两个向量线性无关，根据线性无关的定义这两个向量的其中任何一个都不是另外一个的标量倍，不然就会产生矛盾。

比如u1,u2是属于U∩W的两个线性无关的向量，如果u1=λu2，则有u1−λu2=0，这与线性无关组要求的0的唯一表示方法矛盾。

首先子空间的和是包含这些子空间的最小子空间，所以U1+…+Um是V中包含Ui的最小子空间。所以有dim(U1+…+Um)≤dimV。所以U1+…+Um是有限维的。

另外有，取Ui为Ui的基，我们知道span(U1,…,Um)张成了U1+U2+…+Um，而U1,…,Um可以简化为U1+…+Um的一组基。这组基中的向量个数不会超过U1,…,Um中向量个数之和。

即：

dim(U1+…Um)≤dimU1+…+dimUm

因为dimV=n,所以可以找到n个线性无关向量构成V的基。这n个线性无关向量 用v1,…,vn表示。基中的每个向量都可以张成一个V的子空间，如此张成了n个子空间Ui,i∈{1,…,n}

对于V总的任意向量v，都可以表示成

v=a1v1+…+anvn

因此V=U1+…+Un，由于vi,i∈{1,…,n} 则这个表示是唯一的。根据直和的定义有：

V=U1⊕…⊕Un

这个题目是2.C.14的翻版。

首先子空间的和是包含这些子空间的最小子空间，所以U1⊕…⊕Um是V中包含Ui的最小子空间。所以有dim(U1+…+Um)≤dimV。所以U1⊕…⊕Um是有限维的。

另外有，取Ui为Ui的基，我们知道span(U1,…,Um)张成了U1⊕U2⊕…⊕Um，而U1,…,Um可以简化为U1+…+Um的一组基。这个张成组可以简化为U1⊕U2⊕…⊕Um的一个基，但是在简化过程中，我们会发现，这个简化是平凡的，根据直和的定义，我们不能从这些向量中去掉任何一个向量。基中的向量个数等于U1,…,Um中向量个数之和。

即：

dim(U1⊕…⊕Um)=dimU1+…+dimUm

这个题目放在空间的概念里忽略了一个问题：

一个n维的空间可以有大于n个子空间并且这些子空间互不相交。