练习：张成空间与线性无关
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2.a.1
设v1,v2,v3,v4张成V，证明组v1−v2,v2−v3,v3−v4,v4也张成V
设u∈V，则存在c1,c2,c3,c4使得
u=c1v1+(c2−c1)v2+(c3−c2)v3+(c4−c3)v4=c1(v1−v2)+c2(v2−v3)+c3(v3−v4)+c4v4我们有，能用v1,v2,v3,v4表示的元素，同样可以用v1−v2,v2−v3,v3−v4,v4来表示。命题得证。
2.a.3
求数t使得(3,1,4),(2,−3,5),(5,9,t)在R3中不是线性无关的。
假设有x,y,z使得：
3x+2y=5x−3y=94x+5y=t由前两个十字我们得到 x=3,y=−2,t=2 如此，我们有 3(3,1,4)+(−2)(2,−3,5)=(5,9,2)，因此t=2是我们要找的那个数。
2.a.5
证明：若将C视为R上的向量空间，则1+i,1−i是线性无关的。
假设存在x,y∈R使得：
x(1+i)+y(1−i)=0则有:
x+y=0x−y=0所以x=y=0,即 1+i,1−i是线性无关的。
证明：若将C视为C上的向量空间，则1+i,1−i是线性相关的。
假设存在x,y∈F使得：
x(1+i)+y(1−i)=0我们有x=1-i,y=-(1+i)，使得(1−i)(1+i)−(1+i)(1−i)=0
2.a.6
设v1,v2,v3,v4是线性无关的，证明v1−v2,v2−v3,v3−v4,v4也是线性无关的。
假设存在a1,a2,a3,a4使得
a1(v1−v2)+a2(v2−v3)+a3(v3−v4)+a4v4=0对上式变形有：
a1v1+(a2−a1)v2+(a3−a2)v3+(a4−a3)v4=0又因为v1,v2,v3,v4是线性无关的，所以有：
a1=0a2−a1=0a3−a2=0a4−a3=0显然有a1=a2=a3=a4=9, 即原命题得证。
2.a.7
证明或者给出反例:若v1,v2,…,vm在V中线性无关，则5v1−4v2,v2,v3,…,vm是线性无关的。
这是个真命题，证明过程和2.a.6的过程一样。就不详述了。
2.a.8
证明或者给出反例：设v1,…,vm在V中线性无关，并设λ∈F且λ≠0，则λv1,λv2,…,λvm是线性无关的。
证明过程同2.a.6
2.a.9
证明或者给出反例：若v1,…,vm和w1,…,wm是V中的线性无关组，则v1+w1,…,vm+wm是线性无关的。
反例：有当wi=−vi,i=1,…,m时，vi+wi=0,i=1,…,m，此时m个0向量构成的向量组是线性相关的。
2.a.10
设v1,…,vm在V中线性无关，并设w∈V，证明若v1+w,…,vm+w)线性相关，则有\(w∈span(v1,…,vm
显然若v1+w,…,vm+w线性相关，则存在不全为零的a1,a2,…,am使得：
a1(v1+w)+…+am(vm+w)=0则有
m∑i=1aivi=−m∑i=1aiw若∑miai=0，则有上式右边为零，根据v1,…,vm在V中线性无关，我们有ai=0,i=1,…,m，与假设矛盾（我们假设ai,i=1,…,m不全为零）。因此∑miai≠0
因此：
w=−∑mi=1aivi∑mi=1ai即w∈span(v1,…,vm)
2.a.11
设v1,…,vm在V中线性无关，并设w∈V，证明：v1,…,vm,w线性无关，当且仅当w∉span(v1,…,vm)
证明，我们首先从v1,…,vm,w线性无关，推出w∉span(v1,…,vm)。使用反证法。假设 w∈span(v1,…,vm)，则存在a1,…,am使得：
w=a1v1+…+amvm即:a1v1+…+amvm−w=0,因为w的系数为−1，与v1,…,vm,w线性无关矛盾。
接着我们从w∉span(v1,…,vm)，推出v1,…,vm,w线性无关。同样使用反证法：假设v1,…,vm,w线性相关，则有不全为零的数a1,…,am,b，使得：
bw+a1v1+…+amvm=0此时b一定不等于零，因为若b=0，根据v1,…,vm在V中线性无关，则有ai=0,i=1,…,m，此时v1,…,vm,w线性无关，与假设矛盾。
由于b不等于零，则有：
w=−∑miaivib显然有w∈span(v1,…,vm)，与假设矛盾。
2.a.12
为什么在P4(F)中不存在由6个多项式构成的线性无关组。
因为1,x,x2,x3,x4张成了P4(F)，而一个空间总线性无关组的长度不可能大于张成组的长度。
2.a.13
为什么4个多项式构成的组不能张成P4(F)?
因为1,x,x2,x3,x4,x5这个线性无关组张成了P4(F)，所以4个多项式构成的组不能张成P4(F)。
2.a.14
证明:V是无限维的当且仅当V中存在一个向量序列v1,v2,…使得当m是任意正整数时，都有v1,…,vm都是线性无关的。
假设V是无限维，说明V不能有该空间的任何向量组张成。因此当存在m使得V=span(v1,…,vm)时，与定义矛盾。
假设一个向量序列v1,v2,…使得当m是任意正整数时，都有v1,…,vm都是线性无关的，则说明任意有限个元素的向量组都无法张成V，说明V是无限维的。
2.a.15
证明F∞是无限维的。
假设0,…,0,1,0,…是除了第i个元素以外都为领的向量。显然e1,…,em是线性无关的。根据2.a.14我们有F∞是无穷维的。
2.a.16
证明区间[0,1]上的所有实值连续函数构成的向量空间是无穷维的。
这个题目我一直解不出来，一定有什么tricky的东西。
定义：
fn={x−1/nx≥1/n;0,x∈[0,1/n]那么fn在[0,1]内是连续的。接下来，我们证明fn+1∉span{f1,…,fn}，那么就有明区间[0,1]上的所有实值连续函数构成的向量空间是无穷维的。
如果fn+1∉span{f1,…,fn}，那么有:
fn+1(x)=a1fx+…+anfn(x)注意，我们有f1(1/n)=…=fn(1/n)=0,但是fn+1=1/(n(n+1))≠0。矛盾。命题得证
2.a.17
设p0,…,pm 是Pm(F)中的多项式使得对每个j都有pj(2)=0,证明p0,p1,…,pm在Pm(F)中不是线性无关的。
假设p0,p1,…,pm是线性独立的。我们知道对于一个维度是m的线性子空间，这个空间中的线性无关组向量的个数不可能大于其张成组向量的个数。我们知道1,z,…,zm张成了Pm(z)，又因为假设p0,p1,…,pm是线性独立的，说明其也是Pm(z)的张成向量组。所以存在：
z=a0p0(z)+…ampm(z)又因为每个j都有pj(2)=0，我们有z=2，矛盾。
所以p0,p1,…,pm在Pm(F)中不是线性无关的。