可逆性与同构
在学习 Artin的《抽象代数》过程中，我曾接触过重构的概念。但是我觉得《linear algebra done right》从可逆线性映射到重构的过渡更加的自然，更加适合初学者。
1 可逆的线性映射
线性映射T∈L(V,W)称为可逆的，如果存在线性映射S∈L(W,V)使得ST等于V上的恒等映射且TS等于W上的恒等映射。满足ST=I和TS=I的线性映射S∈L(W,V)成为T的逆。
注意ST=I的恒等映射是W上的恒等映射，TS=I的恒等映射是V上的恒等映射。
可逆线性映射的逆是唯一的。
设T∈L(V,W)可逆，且S1和S2都是T的逆，则有: S1=S1I=S1(TS2)=(S1T)S2=IS2=S2
由于T的逆是如此的重要，我们用T−1来表示T的逆，即TT−1=T−1T=I。
一个线性映射是可逆的当且仅当它既是单射又是满射。
这个命题综合了线性映射，可逆，单射，满射的概念。
首先我们从一个可逆的线性映射推出这个映射既是单射又是满射。假设u,v∈V，且Tu=Tv，则有T−1Tu=T−1Tv从而有u=v，即T是单射。假设w∈W，则有T(T−1w)=w，即w∈rangeT，又由于w的任意性，则有rangeT=W，即T是满射。
然后，我们从一个线性映射既是单射又是满射推出这个线性映射是可逆的，即对于每个w∈W，定义Sw是V中唯一使得T(Sw)=w的那个元素，显然T∘S是W上的恒等映射。为了证明S∘T是V上的恒等映射，设v∈V，则T((S∘T)v)=(T∘S)Tv=Tv这个等式表明(S∘T)v=v，因此S∘T是V上的恒等映射。
为了完成证明，我们还需要证明S是线性的。假设w1,w2∈W则有：T(Sw1+Sw2)=TSw1+TSw2=w1+w2 现在我们知道Sw1+Sw2是V中唯一被T映射成w1+w2的元素。因为之前我们定义Sw是V中唯一使得T(Sw)=w的那个元素，则有S(w1+w2)=w1+w2
接下来证明齐次性，如果w∈W,λ∈F，则：T(λSw)=λT(Sw)=λw 由于T是单射所以，λSw是唯一被T映射成λw的元素。又由于S的定义Sw是V中唯一被T映射称w的元素，则有S(λw)=λS(w)
2 向量空间的同构
两个向量空间是同构的。意味着，这两个向量空间除了元素名字之外本质上是相同的。这个概念非常重要，因为很多时候我们在一个向量空间中处理问题显得复杂，但是在另外一个空间中则显得简单，所以我们可以在简单的同构空间中先行处理问题，再把处理的结果转换到原空间中。信号处理的时域和频域之间的相互转换就是利用了时域空间和频域空间同构的本质。
同构就是可逆的线性映射。若两个向量空间之间存在一个同构，则称这个向量空间是同构的。
同构T:V→W把v∈V重新标记为Tv∈W.这个观点解释了为什么两个同构的向量空间具有相同的性质。同构和可逆的线性映射这两个术语的意思相同。同构更强调两个空间本质上的相同。
F上两个有限维向量空间同构当且仅当其维数相同。
设V和W是同构的，则存在从V到W的同构T。因为T是可逆的，所以T既是单射又是满射，单射意味着nullT={0}，满射意味着rangeT=W，所以dimnullT=0, dimrangeT=dimW，根据线性映射基本定理，我们有：dimV=dimnullT+dimrangeT=0+dimW即，dimV=dimW
接下来，我们证明另一个方向，假定V和W是维数相同的向量空间，设v1,…,vn是V的基，w1,…,wn是W的基。则一定存在线性映射T∈L(V,W)定义如下： T(c1v1+…+cnVn)=c1w1+…+cnwn 关于这个定义的合理性我们在前面证明过。由于w1,…,wn张成W，所以T是满的。又因为w1,w2,…,wn是线性无关的，所以nullT={0}，从而T是单的。由于T既是单射又是满射，所以T是一个同构，因此V和W是同构的。
每个有限维空间都同构与Fn，其中n=dimV.如果v1,…,vn是V的基，w1,…,wn是W的基，那么每个T∈L(V,W)都有一个矩阵M(T)∈Fm,n. 也就是说选定了V和W的基，那么M就是从L(V,W)到Fm,n的函数。
既然每个有限维向量空间都同构于某个Fn，那么为什么不只研究Fn而还要研究更一般的向量空间呢？我们注意到Fn的向量空间立刻就会产生不等于Fn的向量空间。例如我们会遇到线性映射的零空间和值域，尽管这些向量空间都分别同构于某个Fn,但是这样考虑问题会增加不少复杂度。
设v1,…,vn是V的基，w1,…,wm是W的基，则M是L(V,W)与Fm,n之间的一个同构。
已知M是线性的，故只需证明M既单又满。先从单性开始，如果T∈L(V,W)并且M(T)=0，则有Tvk=0,k=1,…,n，因为v1,…,vn是V的基，所以T=0。于是M是单的（单射的零空间是{0}）。
接下来证明M是满的，设A∈Fm,n。设T是从V到W的线性映射使得Tvk=n∑j=1Aj,kwj其中k=1,…,n 显然M(T)等于A,所以M(T)的值域是Fm,n
上述定理证明了所有的线性映射都可以映射为Fm,n，所有的Fm,n都映射为一个线性映射。
dimL(V,W)=(dimV)(dimW)
首先我们知道L(V,W)同构于Fm,n，而dimFm,n=mn
然后,dimV=n,dimW=m
所以结论得证。
3 矩阵乘法和线性映射的关系
首先，定义向量对应的矩阵:
设v∈V，并设v1,…,vn是V的基，则规定v关于这个基的矩阵是n×1矩阵。
M(v)=[c1⋮cn]这里c1,…,cn是使得下式成立的标量： v=c1v1+…+cnvn
显然，对于2−7x+5x3关于P3(R)的标准基的矩阵为：
[2−705]向量x∈Fn关于标准基的矩阵就是以x的坐标为元素而得到的n×1矩阵，也即是说，若x=(x1,…,xn)∈Fn，则
M(x)=[x1⋮xn]以上两个例子都实现了V到Fn,1的同构。
设T∈L(V,W), v1,…,vn是V的基，w1,…,wm是W的基。设1≤k≤n，则M(T)的第k列(记为M(T)⋅,k)等于M(Tvk)
设v=c1v1+…+cnvn，其中c1,…,cn∈F，则
Tv=c1Tv1+…+cnTvn=c1M(T)⋅,1+…+cnM(T)⋅,n=M(T)M(v)每个m×n矩阵A诱导一个从Fn,1到Fm,1的线性映射，即将x∈Fn,1变为Ax∈Fm,n的矩阵乘。通过上述命题我们可以知道，利用通过M，我们可以把线性映射当做矩阵乘映射。具体来说，若T∈L(V,W)，并将v∈V等同于M(v)∈Fn,1，则上述命题说，我们可以将Tv等同于M(T)M(v).
4 算子
向量空间到其自身的线性映射称为算子。记L(V)表示V上全体算子所组成的集合。即，L(V)=L(V,V) 在线性代数中，最深刻也最重要的内容就是研究算子。
我们知道对于一个线性映射既单又满则可逆，但是对于一个算子是不是也是这样的呢？或者对于一个算子如果仅仅满足单性或者满性是不是也可以推出可逆呢？对于无限维空间我们知道单单一个不能推出可逆性。
- P(R)上乘以x2的映射是单的，但不是满的。
- F∞上向后移位算子是满的，但不是单的。
但是对于有限维向量空间上的算子，单性和满性中的任何一个都可以推出另一个。通常检验有限维向量空间上的算子是单的更容易，而由单性自然可以得到满性。
设V是有限维的，并设T∈L(V)，则一下陈述等价：
- T是可逆的；
- T是单的；
- T是满的；
显然从 T是可逆的可以推出T是单的。
接下来我们假设T是单的，那么nullT=0，由线性映射基本定理有：rangeT=dimV−dimnullT=dimv，则有dimV=dimrangeT从而T是满的。
最后假设T是满的，由线性映射基本定理有：dimnullT=dimV−dimrangeT=0，对出T是单的，所以T既单又满是可逆的。