练习：不变子空间

1. ∀u∈U , Tu=0，因为U是V的子空间，所以0∈U，所以Tu∈U，所以U在T下不变
2. ∀uinU，Tu∈rangeT。因为rangeT⊂U，所以Tu∈U ，即U在T下不变。

∀u∈nullS，则对ST=TS两边作用于u，有STu=TSu=T(0)=0，显然有Tu∈nullS。

设v∈rangeS，则∃u，使得Su=v，所以STu=TSu=Tv，即Tv∈rangeS

假设∀u∈U1+…+Um，则∃u1∈U1,…,um∈Um，有u=u1+…+um。Tu=T(u1+…um)=Tu1+…+Tum。

因为Tu1∈U1,…,Tum∈Um，所以Tu1+…+Tum∈Tu

假设U1,…,Um是T下的一组不变子空间，则对于U=U1∩…∩Um，假设u∈U,则u∈U1,…,u∈Um，所以Tu∈U1,…,Tu∈Um，即Tu∈U1∩…∩Um

我们用反证法证明这个命题是真命题。假设U是V的子空间，U≠0且U≠V，那么存在T∈L(V)满足U在T下不是不变的。

假设U是V的子空间，U≠0且U≠V，对于u∈U且u≠0和w∈V,w∉U，扩展u为V的一个基(u,v1,…,vn),定义：T(au+b1v1+…+vnvn)=aw 因此Tu=w。因为u∈U但是w∉U，这表明U在T下不是不变的。

回忆一下本征值的定义。称数λ∈F为T的本征值，若存在v∈V使得v≠0且Tv=λv

我们假设λ是本征值，则有(−3y,x)=λ(x,y)，所以：

所以:

所以λ2=−3，这是不可能的。因为T∈L(R2)。

根据本征值的定义。

所以λ=±1。当λ=1时，特征向量是(w,w)；当λ=−1时，特征向量是(w,−w)

根据本征值的定义。λ(z1,z2,z3)=(2z2,0,5z3)

所以当λ≠0我们可以得到:

z3是个自由变量，所以特征值是5，特征向量是(0,0,z3)

当λ=0，我们可以得到：

z1是个自由变量，所以特征值0对应的特征向量是(z1,0,0)

1. 根据特征值的定义有：

当λ=0时，有(x1,…,xn)=(0,…,0)，所以0不是T的特征值。当λ=1时，我们有(x1≠0,0,0,…,0)是T的特征向量，当λ=2时，我们有(0,x2≠0,0,0,…,0)是T的特征向量，依次类推,λ=n时，有(0,0,…,xn≠0)是T的特征向量。

1. 关于T的不变子空间，我们有n个特征向量对应的一维子空间肯定是T的不变子空间。

本征值是对于T∈L(V)，存在λ，对于非零的v，有Tv=λv。这个λ是本征值,v是对应的本证向量。

L(R)是实数域上的多项式，则根据本征值的定义有λ∈R，且p∈L(R)使得：

这个式子说明本证向量是P(R)上的多项式，且满足其导数等于其本身的λ倍。指数函数具有这个性质，但是指数函数不是实数多项式。头疼，到底有没有本征值和本证多项式呢？如果λ=0呢？ λp=0，又因为所有的常数导数都是零。所以λ=0，常数多项式是一对本征值和本证多项式。

一般情况下 degp′<degp，如果λ≠0，有degλq>degq′，矛盾。

设有本征值为λ，则有：

我们知道p′(x)比p(x)要低一个幂级，然后xp′(x)又把幂提高一级，所以λ可以不是零。

对于p(x)=xn，p′(x)=nxn−1，所以xp′(x)=nxn.

定义q=anxn+…+a1x+a0,an≠0，所以：λq=Tq=xq′即，

因为an≠0，如果只考虑第一项，我们有λ=n,然后a0=a1=…=an−1=0，因此q=anxn 所以T的特征值是0,1,…，各自对应的特征向量是αxn,α∈R

接触到这个题目，我拥有什么信息？ λ不一定是特征值。这个题目有点奇怪。假设：

又因为V至多有dimV个特征值。多以在式 (20)中一定有一个i使得αi不是T的特征值。

没有看出来这个题目有什么玄机。

根据本征值定义，λ(u+w)=u 所以有：(λ−1)u+λw=0 因为V=U⊕W所以必须有(λ−1)u=λw=0

1. 当u≠0时，λ=1,w=0，对应的特征向量是u∈U,u≠0.
2. 当w≠0时，λ=0,，此时u=0。对应的特征向量是w∈W

对于第一个问题。假设T有特征值λ且λ对应的特征向量是v。因为S是可逆的，所以∃u∈V，使得Su=v。

所以Tv=λv，可以变成T(Su)=λ(Su) 即S−1TSu=λu 我们看到S−1TS和T具有相同的特征值，但是特征向量不同。

对于第二个问题：我们在做第一个问题的时候就发现Su=v，T的特征向量v和S−1TS的特征向量u之间存在Su=v的关系。

不晓得我哪个知识点又欠缺了？这个问题不能顺利解决。

尽管这个命题在无穷维向量空间下也是真的。这里我们暂且只考虑有限维的情景。假设T相对于基e1,…,en的矩阵中所有元素都是实数，那么： Tej=n∑i=1Ai,kei其中，Ai,j∈R，现在假设v∈V且可以表示为： v=k1e1+…+knen 是T的一个特征向量，对应的特征值是λ。 Tv=λv 展开得到： λn∑i=1kiei=n∑i=1kiTei=n∑i=1n∑j=1kiAj,iej 对上式取共轭： ˉλn∑i=1¯kiei=n∑i=1¯kiTei=n∑i=1n∑j=1¯kiAj,iej 上式意味着： T(¯k1e1+…+¯knen)=ˉλ∑ni=1¯kiei 即λ也是T的特征值。

注意上面证明过程中有个共轭的操作。

我们在例5.8中有一个T∈L(R2)上没有实本征值的算子T(w,z)=(−z,w)，扩展该算子，有： T∈L(R4),T(x1,x2,x3,x4)=(−x2,x1,−x4,x3)

这个问题的关键在于根据Tu=λu，找到一个λ2是负数的方程。还是要根据定义来。

根据本征值的定义，假设有本征值λ： λ(0,z1,z2,…)=(z1,z2,…,)

显然有：

无论λ是否为零，都有0=z1=z2=…

而特征向量不能为零。因此不存在特征值λ。

利用特征值的定义， λ(x1,…,xn)=(x1+…+xn,…,x1+…+xn)，则有：

把上面n个式子相加，则有λ=n，此时x1=x2=…=xn。所以特征值为λ=n，特征向量是(x,…,x),x∈F

当λ=0时，所有满足x1+…+xn=0的(x1,…,xn)都是0对应的特征向量。

根据特征值定义：

因此任何λ∈F都是T的特征值，其对应的特征向量是{(w,λw,λ2w,…):w∈F}

我们看到这个映射T对应的特征值有无穷多个，每个特征值对应的特征向量有无穷多个。

1. 据本征值的定义，假设λ是T的本征值，v是对应的特征向量，则Tv=λv对两边乘以T−1，则:v=λT−1v 进而有：T−1v=1λ 值得注意的是λ不可能是零，因为λ=0则λv=0，则Tv=0，因为T是可逆的，所以v=0，特征向量不能为零，矛盾。
2. 该命题的证明已经包含于命题1. 这个命题十个非常重要的结论。在以后会经常用到。

因为：

两式相加：T(v+w)=3(w+v) 两式相减：T(v−w)=3(w−v)=−3(v−w) 当v=w时，3是T的特征值，对应的特征向量为2v。 当v=−w时，−3是T的特征值，对应的特征向量是−2w。 当v≠w,v≠−w时，3和−3都是T的特征值，对应的特征向量是v+w和v−w

假设α是ST的特征值，对应的特征向量是u;我们要证明λ是TS的特征值。

当Tu≠0时，Tu就是TS的特征值。

当Tu=0，那么λ=0 (因为STu=λu)，所以T不是可逆的，继而TS也不是可逆的。TS不是可逆的，就有u∈V使得TSu=0=0u，即0是TS的特征值。

我们有不管Tu是否为零，λ都是其TS特征值。

因为Tx=Ax；

注意到当x1=x2=…=xn=1n时，有：

即1是T的本征值。我们可以看到针对特征值1，T有特征向量{(x1,x2,…,xn:x1=x2=…=xn≠0)}

对于第二个问题：我们有：

显然T−I的值域不是Fn，因此T−I不是双射，即T−I不是单射，所以存在u∈null(T−I),u≠0，使得：(T−I)u=0

根据5.10，不同本征值的特征向量是线性无关的，很容易可以证明。

如果∀v∈V,∃av∈F,s.t.Tv=avv。因为T0=0，我们可以选a0为任意的数。对于v∈V∖{0} 我们证明av由Tv=avv唯一确定。

为了证明T是恒等算子的标量倍，我们必须证明对于所有的v∈V∖{0}，av不变的。特别的，假设v,w∈V∖{0}，我们证明av=aw首先考虑v,w线性相关，那么∃ b,s.t.w=bv，所以：

所以av=aw

另外考虑v,w是线性独立的，则：

这意味着：(av+w−av)v+(av+w−aw)w=0

即av=aw.

综上，命题得证。

利用上题的结论，假设T不是恒等算子的标量倍，则一定存在u不是T的特征向量，则Tu和u是线性独立的。我们把u,Tu扩展为V的一个基，(u,Tu,v1,…,vn)，令 U=span(u,u1,…,un) 显然,dimU=dimV−1。我们可以看到U在T下不是不变的因为Tu∉U。矛盾。因此T一定是恒等算子的标量倍。

dimV=dimnullT+dimrangeT 假设nullT≠{0}，∃u∈nullT,u≠0,s.t.Tu=0,则0是T的一个特征值.

假设T有m个互不相同的特征值,λ1,…,λm，并且v1,…,vm是这些特征值对应的特征向量。则有如果λi≠0，则：

因为λj中最多有一个为0，这个零是我们之前做的假设导致的。那么也就是说λj中至少有m−1个向量在range(T)中。这些向量是线性无关的，则：

因此m≤k+1，证闭。

已知,dimR3=3，且T有三个互不相同的特征值，则其对应的特征向量是线性无关的。这说明9肯定不是T的特征值。因此T−9I是满射。因此∃x∈R3,s.t.(T−9I)x=(4,5,√7)，即Tx−9x=(4,5,√7)

首先，我们知道假设v1,…,vm是T∈L(V)的相应于不同特征值的特征向量，则v1,…,vm是线性无关的。

然后我们证明另外一个方面。假设v1,…,vm是线性无关的，则v1,…,vm可以扩展为V的一组基v1,…,vm,vm+1,…,vn，定义T∈L(V)为：

因此,v1,…,vn是T的对应于1,…,n的特征向量。

定义：Tf=f′则有： Teλix=λieλix 因此λi是T的对应于eλix的特征值。因为λi各不相同，所以eλix,∀i是线性独立的。