本征空间

设T∈L(V)且λ∈F，T的相应于λ的本征空间定义为：

E(λ,T)=null(T−λI)

也就是说，E(λ,T)是T的相应于λ的全体本证向量加上0构成的集合。

对于T∈L(V)和λ∈F，本征空间E(λ,T)是V上的子空间，因为线性映射的零空间都是V的子空间。由定义可知，λ是T的特征值当且仅当E(λ,T)≠{0}。

设V是有限维的，T∈L(V)，设λ1,…,λm是T的互异的本征值，则：

E(λ1,T)+…E(λm,T)

是直和，此外：

dimE(λ1,T)+…+dimE(λm,T)≤=dimV

假设

u1+…+um=0

其中每个uj包含于E(λj,T)，因为相应与互异的特征值的特征向量是线性无关的，所以上式中uj=0,∀j。因此E(λ1,T)+…+E(λm,T)是直和。

现在有：

dimE(λ1,T)+…+dimE(λm,T)=dim(E(λ1,T)⊕+…+⊕E(λm,T))≤dimV

算子T∈L(V)称为可对角化的，如果概算自关于V的某个基有对角矩阵。

定义T∈L(R2)为T(x,y)=(41x+7y,−20x+74y).T关于R2的标准基的矩阵为：

[417−2074]

这不是一个对角矩阵，但是T可以对角化，其关于(1,4),(7,5)的矩阵为：

[690046]

设V是有限维的，T∈L(V)，用λ1,…,λm表示T的所有互异的本征值。则下列条件等价：

  1. T可对角化；
  2. V有由T的本证向量构成的基；
  3. V有在T下不变的一维子空间U1,…,Un使得V=U1⊕…⊕Un
  4. V=E(λ1,T)⊕…+E(λm,T)
  5. dimV=dimE(λ1,T)+…+dimE(λm,T)

算子T∈L(V)关于V的基v1,…,vn有对角矩阵：

[λ10⋱0λn]

显然有Tvj=λjvj。即，这些基也是T的本证向量。所以V的这些基由T的本证向量构成。

假设第二步成立，则V有一个T的本证向量构成的基v1,…,vn，对每个j，设Uj=span(vj)，显然每个Uj都是V的一维子空间且在T下不变。因为v1,…,vn是V的基，所以V中每个向量都可以唯一的写成v1,…,vn的线性组合。也就是说V中的每个向量都可以写成u1+…+un的线性组合，其中每个uj∈Uj，于是V=U1⊕…⊕Um。

假设第三步成立，则V有在T下不变的一维子空间U1,…,Un使得V=U1⊕+…+⊕Un。假设∀ j,vj∈Uj,uj≠0，则每个vj都是T的特征向量。因为V中的每个向量都可以唯一地写成u1+…un的形式，所以v1,…,vn是V的基。

现在我们证明了第一步，第二步和第三部是等价的，

现在证明第二步蕴含第四步，第四步蕴含第五步，第五步蕴含第二步。

假设第二步成立，则V有一个由T的本证向量组成的基。于是,V中每个向量都是T的本证向量的线性组合，因此：

V=E(λ1,T)+…+E(λn,T)

又因为λ1,…,λn是互异的特征值，所以:

V=E(λ1,T)⊕…⊕E(λn,T)

第四步成立，则根据2.C.16，第五步成立。

证明由T(w,z)=(z,0)定义的算子T∈L(C2)不可对角化

容易验证0是T的唯一本征值且E(0,T)={(w,0)∈C2:w∈C}，根据以上的证明，T不可对角化。

若T∈L(V)有dimV个互异的本征值，则T可对角化。

设T∈L(V)有dimV个互异的本征值λ1,…,λdimV对每个j，设vj∈V是相应于本征值λj的本证向量。因为相应与互异的特征值的特征向量是线性无关的,所以v1,…,vdimV线性无关。V中dimV个向量组成的线性无关组是V的基。