本征空间
设\(T\in \mathcal{L}(V)\)且\(\lambda \in \mathbf{F}\)，\(T\)的相应于\(\lambda\)的本征空间定义为：
\begin{equation} \label{eq:1} E(\lambda,T) = \mathrm{null}(T-\lambda I) \end{equation}也就是说，\(E(\lambda,T)\)是\(T\)的相应于\(\lambda\)的全体本证向量加上\(0\)构成的集合。
对于\(T\in \mathcal{L}(V)\)和\(\lambda \in \mathbf{F}\)，本征空间\(E(\lambda,T)\)是\(V\)上的子空间，因为线性映射的零空间都是\(V\)的子空间。由定义可知，\(\lambda\)是\(T\)的特征值当且仅当\(E(\lambda,T)\neq \{0\}\)。
设\(V\)是有限维的，\(T\in \mathcal{L}(V)\)，设\(\lambda_{1},\ldots ,\lambda_{m}\)是\(T\)的互异的本征值，则：
\begin{equation} \label{eq:2} E(\lambda_{1},T) + \ldots E(\lambda_{m},T) \end{equation}是直和，此外：
\begin{equation} \label{eq:3} \dim E(\lambda_{1},T) + \ldots + \dim E(\lambda_{m},T) \leq =dim V \end{equation}假设
\begin{equation} \label{eq:4} u_{1} +\ldots + u_{m} = 0 \end{equation}其中每个\(u_{j}\)包含于\(E(\lambda_{j},T)\)，因为相应与互异的特征值的特征向量是线性无关的，所以上式中\(u_{j} = 0,\forall j\)。因此\(E(\lambda_{1},T) + \ldots + E(\lambda_{m},T)\)是直和。
现在有：
\begin{equation} \label{eq:5} \dim E(\lambda_{1},T) + \ldots + \dim E(\lambda_{m},T) = \dim (E(\lambda_{1},T) \oplus + \ldots + \oplus E(\lambda_{m},T)) \leq \dim V \end{equation}算子\(T\in \mathcal{L}(V)\)称为可对角化的，如果概算自关于\(V\)的某个基有对角矩阵。
定义\(T\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^{2})\)为\(T(x,y)=(41x+7y,-20x+74y)\).\(T\)关于\(\mathbf{R}^{2}\)的标准基的矩阵为：
\begin{equation} \label{eq:6} \begin{bmatrix} 41 & 7 \\ -20 & 74 \end{bmatrix} \end{equation}这不是一个对角矩阵，但是\(T\)可以对角化，其关于\((1,4),(7,5)\)的矩阵为：
\begin{equation} \label{eq:7} \begin{bmatrix} 69 & 0 \\ 0 & 46 \end{bmatrix} \end{equation}设\(V\)是有限维的，\(T\in \mathcal{L}(V)\)，用\(\lambda_{1},\ldots ,\lambda_{m}\)表示\(T\)的所有互异的本征值。则下列条件等价：
- \(T\)可对角化；
- \(V\)有由\(T\)的本证向量构成的基；
- \(V\)有在\(T\)下不变的一维子空间\(U_{1},\ldots ,U_{n}\)使得\(V = U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}\)
- \(V=E(\lambda_{1},T) \oplus \ldots + E(\lambda_{m},T)\)
- \(\dim V = \dim E(\lambda_{1},T) + \ldots + \dim E(\lambda_{m},T)\)
算子\(T\in \mathcal{L}(V)\)关于\(V\)的基\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)有对角矩阵：
\begin{equation} \label{eq:8} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & 0 \\ &\ddots & \\ 0&&\lambda_{n} \end{bmatrix} \end{equation}显然有\(Tv_{j} = \lambda_{j}v_{j}\)。即，这些基也是\(T\)的本证向量。所以\(V\)的这些基由\(T\)的本证向量构成。
假设第二步成立，则\(V\)有一个\(T\)的本证向量构成的基\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)，对每个\(j\)，设\(U_{j} = \mathrm{span}(v_{j})\)，显然每个\(U_{j}\)都是\(V\)的一维子空间且在\(T\)下不变。因为\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)是\(V\)的基，所以\(V\)中每个向量都可以唯一的写成\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)的线性组合。也就是说\(V\)中的每个向量都可以写成\(u_{1}+\ldots +u_{n}\)的线性组合，其中每个\(u_{j}\in U_{j}\)，于是\(V= U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{m}\)。
假设第三步成立，则\(V\)有在\(T\)下不变的一维子空间\(U_{1},\ldots ,U_{n}\)使得\(V=U_{1}\oplus + \ldots + \oplus U_{n}\)。假设\(\forall~j,v_{j}\in U_{j},u_{j}\neq 0\)，则每个\(v_{j}\)都是\(T\)的特征向量。因为\(V\)中的每个向量都可以唯一地写成\(u_{1}+ \ldots u_{n}\)的形式，所以\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)是\(V\)的基。
现在我们证明了第一步，第二步和第三部是等价的，
现在证明第二步蕴含第四步，第四步蕴含第五步，第五步蕴含第二步。
假设第二步成立，则\(V\)有一个由\(T\)的本证向量组成的基。于是,\(V\)中每个向量都是\(T\)的本证向量的线性组合，因此：
\begin{equation} \label{eq:9} V= E(\lambda_{1},T) + \ldots + E(\lambda_{n},T) \end{equation}又因为\(\lambda_{1},\ldots ,\lambda_{n}\)是互异的特征值，所以:
\begin{equation} \label{eq:10} V= E(\lambda_{1},T) \oplus \ldots \oplus E(\lambda_{n},T) \end{equation}第四步成立，则根据2.C.16，第五步成立。
证明由\(T(w,z) = (z,0)\)定义的算子\(T\in \mathcal{L}(\mathbf{C}^{2})\)不可对角化
容易验证\(0\)是\(T\)的唯一本征值且\(E(0,T) = \{(w,0)\in \mathbf{C}^{2}:w\in \mathbf{C}\}\)，根据以上的证明，\(T\)不可对角化。
若\(T\in \mathcal{L}(V)\)有\(\dim V\)个互异的本征值，则\(T\)可对角化。
设\(T\in \mathcal{L}(V)\)有\(\dim V\)个互异的本征值\(\lambda_{1},\ldots ,\lambda_{\dim V}\)对每个\(j\)，设\(v_{j}\in V\)是相应于本征值\(\lambda_{j}\)的本证向量。因为相应与互异的特征值的特征向量是线性无关的,所以\(v_{1},\ldots ,v_{\dim V}\)线性无关。\(V\)中\(\dim V\)个向量组成的线性无关组是\(V\)的基。