规范正交基

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1 规范正交基

如果一个向量组中每个向量的范数都是1且与其他向量正交，则称这个向量组是规范正交的。也就是说，V上的向量组e1,…,en是规范正交的，如果：

⟨ej,ek⟩={1j=k0j≠k
  1. Fn的标准基是规范正交组
  2. (1√3,1√3,1√3) (−1√2,−1√2,0) 是F3的规范正交组
  3. (1√3,1√3,1√3) (−1√2,−1√2,0), (1√6,1√6,−2√6) 是F3的规范正交组.

规范正交线性组合的范数：

若e1,…,em是V中的规范正交向量组，则对所有的a1,…,am∈F均有：

‖a1e1+…+amem‖2=|a1|2+…+|am|2

每个规范正交向量组都是线性无关的

设e1,…,em是一组规范正交向量组，并设a1,…,am∈F，使得：

a1e1+…amem=0

所以有|a1|2+…|am|2=0，所以a1=…=am=0

V的规范正交基是V中的规范正交向量组成的基。V中的每个长度为dimV的规范正交向量组都是V的规范正交基。

一般的，给定V的规范正交基e1,…,en和向量v∈V，存在标量a1,…,an使得： v=a1e1+…+anen

我们可以把向量写成规范正交基的线性组合。设e1,…,en是V的规范正交基，且v∈V，则：

v=⟨v,e1⟩e1+…⟨v,en⟩en

且：

‖v‖2=|⟨v,e1⟩|2+…+|⟨v,en⟩|2

2 格拉姆-施密特过程

规范正交基有这么好的作用，那么如何找到这个规范正交基呢？格拉姆-施密特过程可以把一个线性无关组转化成与原来的组有相同张成空间的规范正交基。

设v1,…,vm是V的线性无关向量组。设e1=v1‖v1‖，对于j=2,…,m定义ej如下：

ej=vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖

则e1,…,em是V中的规范正交组，使得对j=1,…,m都有：

span(v1,…,vj)=span(e1,…,ej)

我们将对j用归纳法来证明结论成立。首先j=1时，由v1是e1的正数倍所以span(v1)=span(e1)

设1<j<m并假设已经有： span(v1,…,vj−1)=span(e1,…,ej−1)

注意vj∉span(v1,…,vj−1)，因为v1,…,vm是线性无关的。于是vj∉span(e1,…,ej−1) 因此有‖ej‖=1。

设1≤k<j则：

⟨ej,ek⟩=⟨vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖,ek⟩=⟨v,ek⟩−⟨v,ek⟩‖vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖=0

因此e1,…,ej是规范正交组。

求P2(R)的一个规范正交基，这里的内积为(p,q)=∫1−1p(x)q(x)dx 我们知道P2(R)的一个基为1,x,x2，现在对这个基执行格拉姆施密特过程。

首先对于v1=1，我们有：

e1=v1‖v1‖=1√∫1−11dx=1√2

对于e2，我们首先计算格拉姆施密特过程的分子部分：

v2−⟨v2,e1⟩e1=x−∫1−1x1√2dx1√2=x

然后计算分子部分：

‖v2−⟨v2,e1⟩e1‖=√∫1−1x2dx=√23

所以:

e2=√32x

对于e3，先求得分子部分：

x2−⟨x2,e1⟩e1−⟨x2,e2⟩e2=x2−∫1−1x2√12dx1√2−∫11x2√32xdx√32x=x2−13

对于分母部分：

‖x2−13‖2=∫1−1(x2−13)2dx=845

所以‖x2−13‖=√845

进而e3=√458(x2−13)

每个有限维内积空间都有规范正交基

设V是有限维的，取V的一个基，对他应用格拉姆施密特过程，则得到一个dimV的规范正交组，这个规范正交组就是V的规范正交基。

不仅规范正交基是存在的，而且任何规范正交组都可以扩展为规范正交基。

设T∈L(V)，如果T关于V的某个基具有上三角矩阵，那么T关于V的某个规范正交基也具有上三角矩阵。

设T关于V的基v1,…,vn具有上三角矩阵，则对每个j=1,…,n均有span(v1,…,vn)

对v1,…,vn应用格拉姆施密特过程，得到V的规范正交基e1,…,en，因为对每个j都有： span(e1,…,ej)=span(v1,…,vj)

所以对每个j=1,…,n均有span(e1,…,ej)在T下不变。因此，T关于规范正交基e1,…,en有上三角矩阵。

舒尔定理 设V是有限维的复向量空间且T∈L(V)，则T关于V的某个规范正交基具有上三角矩阵。

3 内积空间上的线性泛函

V上的线性泛函是从V到F的线性映射。也就是说，线性泛函是L(V,F)中的元素。

如下定义的函数φ:F3→F φ(z1,z2,z3)=2z1−5z2+z3

是F3上的线性泛函。我们可以将这个线性泛函写成如下的形式：对每个z∈F3 φ(z)=⟨z,u⟩
其中u=(2,−5,1)

如下定义的函数φ:P2(R)→R φ(p)=∫1−1p(t)cos(πt)dt

是P2(R)上的线性泛函。这里P2(R)上的内积是[−1,1]上的两个函数相乘后做定积分。存在u∈P2(R)使得对任意p∈P2(R)均有：φ(p)=⟨p,u⟩
我们不能取u(t)=cos(πt)，因为它不是P2(R)中的元素。

如果u∈V那么把v映射成⟨v,u⟩的映射是V上的线性泛函。下述定理表明，V上的每个线性泛函都是这种形式。

里斯表示定理 设V是有限维的且φ是V上的线性泛函，则存在唯一的向量u∈V使得对每个v∈V均有φ(v)=⟨v,u⟩

先证明存在向量u∈V使得对每个v∈U均有φ(v)=⟨v,u⟩, 设e1,…,en是V的规范正交基，则对每个v∈V均有：

φ(v)=φ(⟨v,e1⟩e1+…+⟨v,en⟩en)=⟨v,e1⟩φ(e1)+…+⟨v,en⟩φ(en)=⟨v,¯φ(e1)e1⟩+…+⟨v,¯φ(en)en⟩=⟨v,¯φ(e1)e1+…+¯φ(en)en⟩

令u=¯φ(e1)e1+…+¯φ(en)en，因此，有： ∀v∈V,φ(v)=⟨v,u⟩

现在来证明只有一个向量u∈V满足条件。设u1,u2∈V使得对每个v∈V均有： φ(v)=⟨v,u1⟩=⟨v,u2⟩
则对每个v∈V均有： 0=⟨v,u1⟩−⟨v,u2⟩=⟨v,u1−u2⟩
令v=u1−u2，则有u1−u2=0，即u1=u2这就完成了唯一性证明。

求u∈P2(R)使得对每个p∈P2(R)均有： ∫1−1p(t)(cos(πt))dt=∫1−1p(t)u(t)dt

解 设φ(p)=∫1−1p(t)cos(πt)dt，则：

u(x)=∫1−11√2(cos(πt))dt1√2+∫1−1√32t(cos(πt))dt√32x+∫1−1√458(t2−13)(cos(πt))dt√458(x2−13)

计算可得： u(x)=−452π2(x2−13)

设V是有限维的且φ是V上的线性泛函，则 u=¯φ(e1)e1+…+¯φ(en)en

给出了对所有v∈V均有φ(v)=⟨v,u⟩。看起来右端依赖于规范正交基e1,…,en和φ，然而里斯表示定理告诉我们u是由φ唯一确定的。所以等式右端与V的规范正交基e1,…,en的选取无关。