练习：正交基

对于第一步，我们只需要证明这两个向量组是规范正交向量组，然后因为其维度是2，而R2的维度也是2。很容易证明这两个向量组都是R2的规范正交基。

对于第二步我们假设(u,v)是R2规范正交基的一个向量，则必有u2+v2=1，所以令u=cosθ,v=sinθ。则与(cosθ,sinθ)正交的向量有两种写法分别是(sinθ,−cosθ)和(−sinθ,cosθ).

这个问题的证明，首先我们证明当v∈span(e1,…,em)时，‖v‖2=|⟨v,e1⟩|2+…+|⟨v,em⟩|2 . 因为v∈span(e1,…,em)，所以v在e1,…,em张开的空间中，这这个空间里，e1,…,em是规范正交基。所以v可以用e1,…,em和对应的坐标来表示，即：

v=⟨v,e1⟩e1+…+⟨v,em⟩em

对上式使用勾股定理，则有：

‖v‖2=|⟨v,e1⟩|2+…+|⟨v,em⟩|2

接下来我们证明第二步。假设‖v‖2=|⟨v,e1⟩|2+…+|⟨v,em⟩|2，我们要证明v∈span(e1,…,em)。

首先我们令:

ξ=v−⟨v,e1⟩e1+…+⟨v,em⟩em

显然ξ与 ei,i=1,…,m正交，因为⟨ξ,ei⟩=⟨v,ei⟩−⟨v,ei⟩=0 这意味着：

‖v‖2=‖ξ‖2+|⟨v,e1⟩|2+…+|⟨v,em⟩|2

又因为‖v‖2=|⟨v,e1⟩|2+…+|⟨v,em⟩|2，所以ξ=0。因此：v=⟨v,e1⟩e1+…+⟨v,em⟩em，即v∈span(e1,…,em)

根据舒尔定理，我们知道这个规范正交基存在。这个规范正交基通过对已经存在上三角矩阵的基的格拉姆施密特过程保证。因此求解这个规范正交基的过程是对(1,0,0),(1,1,1),(1,1,2) 执行格拉姆施密特正交化的过程。