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练习:正交补和极小化问题

目录

1 6.C.1

v1,,vmV,证明{v1,,vm}=(span(v1,,vm))

这个证明依赖于v,u=0,则显然λv,u=0

2 6.C.2

UV的有限维子空间,证明U={0},当且仅当U=V

显然,当U=V时,U={0}

另一方面,当U={0},又因为V=UU,所以U=V

3 6.C.3

UV的子空间,设u1,,umU的基,且u1,,um,w1,,wnV的基。证明若对V的上述基应用格拉姆施密特过程得到组e1,,em,f1,,fn,则e1,,emU的规范正交基,f1,,fnU的规范正交基。

格拉姆施密特过程: 设v1,,vmV中线性无关组,设e1=v1/v1,对于j=2,,m,有:

vj=vjvj,e1e1vj,ej1ej1vjvj,e1e1vj,ej1ej1

e1,,emV的规范正交基,使得对于j=1,,m有:

span(v1,vj)=span(e1,,ej)

根据格拉姆施密特过程,我们有:span(e1,,em)=span(u1,,um)=U。因为e1,,em是蒸饺向量组,且其维度和U的基的维度相同,则e1,,emU的一组基。又因为V=UU。因为e1,,em,f1,,fn是一组正交向量组,所以:

span(f1,,fn)U

因为dimV=dimU+dimU,且dimspan(f1,,fn)=n。所以span(f1,,fn)=U 因此f1,,fnU的一组规范正交基。

4 6.C.4

给定R4的子空间:

U=span((1,2,3,4),(5,4,3,2))

U的一个规范正交基和U的一个规范正交基。

通过对(1,2,3,4),(5,4,3,2)执行格拉姆施密特正交化过程。

  1. u1=(1,2,3,4),则u1=30=5.4772,所以e1=u1/u1=(0.1826,0.3652,0.5477,0.7303)
  2. u2=(5,4,3,2),则e2=u2u2,e1e1u2u2,e1e1=(0.7020,0.5106,0.3556,0.3465)

然后我在e1,e2基础上添加两个向量w1=(0,0,1,0),w2=(0,0,0,1),然后对此进行格拉姆施密特计算:得f1=(0,1976,0.5038,0.7573,0.3655); f2=(0.6594,0.5935,0.0000,0.4615)

这个计算过程相当繁琐,即使使用matlab来完成也显得不怎么简洁,更遑论使用手工计算。要区分哪些是自己能做的,哪些是计算机可以代劳的。

5 6.C.5

V是有限维的且UV的子空间。证明PU=IPU,这里IV上的恒等算子。

证明两个算子相等,一种做法是对于V内的任意元素v,都有PU(v)=(IPU)(v)。我们令v=u+w,其中uU,wU,则有PU(v)=w,又因为PU(v)=u=vw,得证。

6 6.C.6

UW均为V的有限维子空间。证明PUPW=0当且仅当对所有uUwW均有u,w=0

假设对所有uUwW均有u,w=0,则对于v=u+w+x,uU,wW,xVUWPW(v)=w,根据已知wU,所以Puw=0,即PUPWv=0,由于v的任意性,则PUPW=0

放过来,假设PUPW=0,则对于任意的v=u+w+x,uU,wW,xVUW,都有PUPWv=0,显然PWv=w,即有PUw=0,即wU中的投影是0则有对uU都有u,w=0

7 6.C.7

V是有限维的,PL(V),使得P2=P,且nullP中的向量与rangeP中的向量都正交,证明有V的子空间U使得P=PU

vV且可以写成v=Pv+(vPv)。令U=rangeP,则有:PvU,另一方面P(vPv)=PvP2v=0,所以vPvnullP. 又因为nullP中的向量和rangeP中的向量互相垂直,则vPvU。所以Pv=PUv,即P=PU

8 6.C.11

R4中设U=span((1,1,0,0),(1,1,1,2)),求uU使得u(1,2,3,4)最小。

这个问题显然是要求:(1,2,3,4)U的投影。这是一个极小化问题。

我们知道根据V=UU可以把v分解为v=u+w,uU,wU. vU中的投影可以表示为u=v,e1e1++v,emem,其中e1,,emU的规范正交基。

我们首先把(1,1,0,0),(1,1,1,2)进行规范正交化。得到:e1=(0.7071,0.7071,0,0),e2=(0,0,0.4472,0.8944)

然后我们得到v=(1,2,3,4)e1,e2上的投影。v,e1e1=(1.5,1.5,0,0)v,e2e2=(0,0,2.2,2.4)

然后我们得到vU上的投影(1.5,1.5,2.2,2.4)

9 6.C.12

pP3(R)使得p(0)=0,p(0)=0,而且:

10|2+3xp(x)|2dx

最小。

这是个极小化问题。且U=span(x2,x3)v=2+3x,我们要求vU的投影。按照顺序:

  1. x2,x3对内积10f(x)g(x)dx进行规范正交化e1,e2
  2. 2+3x在这个规范正交化基上的投影。v,e1e1v,e2e2
  3. 2+3xU上的投影PUv=v,e1e1+v,e2e2