练习：正交补和极小化问题
1 6.C.1
设v1,…,vm∈V,证明{v1,…,vm}⊥=(span(v1,…,vm))⊥
这个证明依赖于⟨v,u⟩=0，则显然⟨λv,u⟩=0
2 6.C.2
设U是V的有限维子空间，证明U⊥={0}，当且仅当U=V
显然，当U=V时，U⊥={0}。
另一方面，当U⊥={0}，又因为V=U⊕U⊥，所以U=V
3 6.C.3
设U是V的子空间，设u1,…,um是U的基，且u1,…,um,w1,…,wn是V的基。证明若对V的上述基应用格拉姆施密特过程得到组e1,…,em,f1,…,fn，则e1,…,em是U的规范正交基，f1,…,fn是U⊥的规范正交基。
格拉姆施密特过程： 设v1,…,vm是V中线性无关组，设e1=v1/‖v1‖，对于j=2,…,m，有：
vj=vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖vj−⟨vj,e1⟩e1−…−⟨vj,ej−1⟩ej−1‖则e1,…,em是V的规范正交基，使得对于j=1,…,m有：
span(v1…,vj)=span(e1,…,ej)根据格拉姆施密特过程，我们有：span(e1,…,em)=span(u1,…,um)=U。因为e1,…,em是蒸饺向量组，且其维度和U的基的维度相同，则e1,…,em是U的一组基。又因为V=U⊕U⊥。因为e1,…,em,f1,…,fn是一组正交向量组，所以：
span(f1,…,fn)⊂U⊥因为dimV=dimU+dimU⊥,且dimspan(f1,…,fn)=n。所以span(f1,…,fn)=U⊥ 因此f1,…,fn是U⊥的一组规范正交基。
4 6.C.4
给定R4的子空间：
U=span((1,2,3,−4),(−5,4,3,2))求U的一个规范正交基和U⊥的一个规范正交基。
通过对(1,2,3,−4),(−5,4,3,2)执行格拉姆施密特正交化过程。
- 令u1=(1,2,3,−4)，则‖u1‖=√30=5.4772,所以e1=u1/‖u1‖=(0.1826,0.3652,0.5477,−0.7303)
- 令u2=(−5,4,3,2),则e2=u2−⟨u2,e1⟩e1‖u2−⟨u2,e1⟩e1‖=(−0.7020,0.5106,0.3556,0.3465)
然后我在e1,e2基础上添加两个向量w1=(0,0,1,0),w2=(0,0,0,1)，然后对此进行格拉姆施密特计算：得f1=(0,1976,−0.5038,0.7573,0.3655); f2=(0.6594,0.5935,0.0000,0.4615)
这个计算过程相当繁琐，即使使用matlab来完成也显得不怎么简洁，更遑论使用手工计算。要区分哪些是自己能做的，哪些是计算机可以代劳的。
5 6.C.5
设V是有限维的且U是V的子空间。证明PU⊥=I−PU，这里I是V上的恒等算子。
证明两个算子相等，一种做法是对于V内的任意元素v，都有PU⊥(v)=(I−PU)(v)。我们令v=u+w，其中u∈U,w∈U⊥，则有PU⊥(v)=w,又因为PU(v)=u=v−w，得证。
6 6.C.6
设U和W均为V的有限维子空间。证明PUPW=0当且仅当对所有u∈U，w∈W均有⟨u,w⟩=0
假设对所有u∈U，w∈W均有⟨u,w⟩=0，则对于v=u+w+x,u∈U,w∈W,x∈V−U−W有PW(v)=w，根据已知w∈U⊥，所以Puw=0，即PUPWv=0，由于v的任意性，则PUPW=0
放过来，假设PUPW=0，则对于任意的v=u+w+x,u∈U,w∈W,x∈V−U−W，都有PUPWv=0，显然PWv=w，即有PUw=0，即w在U中的投影是0则有对u∈U都有⟨u,w⟩=0
7 6.C.7
设V是有限维的，P∈L(V)，使得P2=P,且nullP中的向量与rangeP中的向量都正交，证明有V的子空间U使得P=PU
令v∈V且可以写成v=Pv+(v−Pv)。令U=rangeP，则有：Pv∈U，另一方面P(v−Pv)=Pv−P2v=0，所以v−Pv∈nullP. 又因为nullP中的向量和rangeP中的向量互相垂直，则v−Pv∈U⊥。所以Pv=PUv，即P=PU
8 6.C.11
在R4中设U=span((1,1,0,0),(1,1,1,2))，求u∈U使得‖u−(1,2,3,4)‖最小。
这个问题显然是要求：(1,2,3,4)到U的投影。这是一个极小化问题。
我们知道根据V=U⊕U⊥可以把v分解为v=u+w,u∈U,w∈U⊥. v在U中的投影可以表示为u=⟨v,e1⟩e1+…+⟨v,em⟩em，其中e1,…,em是U的规范正交基。
我们首先把(1,1,0,0),(1,1,1,2)进行规范正交化。得到：e1=(0.7071,0.7071,0,0),e2=(0,0,0.4472,0.8944)。
然后我们得到v=(1,2,3,4)在e1,e2上的投影。⟨v,e1⟩e1=(1.5,1.5,0,0)和⟨v,e2⟩e2=(0,0,2.2,2.4)。
然后我们得到v在U上的投影(1.5,1.5,2.2,2.4)
9 6.C.12
求p∈P3(R)使得p(0)=0,p′(0)=0，而且：
∫10|2+3x−p(x)|2dx最小。
这是个极小化问题。且U=span(x2,x3)，v=2+3x，我们要求v向U的投影。按照顺序：
- 对x2,x3对内积∫10f(x)g(x)dx进行规范正交化e1,e2。
- 求2+3x在这个规范正交化基上的投影。⟨v,e1⟩e1 和⟨v,e2⟩e2
- 求2+3x在U上的投影PUv=⟨v,e1⟩e1+⟨v,e2⟩e2