自伴算子和正规算子

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1 伴随

设 \(T\in \mathcal{L}(V,W)\), \(T\)的伴随是满足如下条件的函数\(T^{*}:W\to V,\forall v\in V , \forall w\in W, \langle Tv,w \rangle = \langle v,T^{*}w \rangle \)

为了检验上述定义的意义，我们假设\(\mathcal{L}(V,W)\), 并取定\(w\in W\)，考虑\(V\)上将\(v\in V\)映射成\( \langle Tv,w \rangle \)的线性泛函，这个线性泛函依赖于\(T\)和\(w\)。由里斯表示定理，存在\(V\)中唯一一个向量使得该线性泛函是通过与该向量做内积得到的。我们将这个唯一的向量记为\(T^{*}w\)，也就是说，\(T^{*}w\)是\(V\)中唯一一个满足下面条件的向量：对每个\(v\in V\)均有\( \langle Tv,w \rangle = \langle v,T^{*}w \rangle \)

定义\(T:\mathbf{R}^{3}\to \mathbf{R}^{2}\)为\(T(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{2}+3x_{3},2x_{1})\) 求\(T^{*}\)

根据定义\(T^{*}\)是\(\mathbf{R}^{2}\)到\(\mathbf{R}^{3}\)的函数。要计算\(T^{*}\),取定一个点\((y_{1},y_{2})\in \mathbf{R}^{2}\),那么对于每个\((x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbf{R}^{3}\)有：

\begin{eqnarray} \label{eq:1} \langle (x_{1},x_{2},x_{3}),T^{*}(y_{1},y_{2}) \rangle &=& \langle T(x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2}) \rangle \\ &=& \langle (x_{2}+3x_{3},2x_{1},(y_{1},y_{2}) \rangle \\ &=& x_{2}y_{1} + 3x_{3}y_{1} + 2x_{1}y_{2} \\ &=& \langle (x_{1},x_{2},x_{3}) , (2y_{2},y_{1},3y_{1}) \rangle \end{eqnarray}

于是，\(T^{*}(y_{1},y_{2}) = (2y_{2},y_{1},3y_{1}) \)

取定\(u\in V\)和\(x\in W\),定义\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)如下：对每个\(v\in V\)有\(Tv = \langle v,u \rangle x \)，求\(T^{*}\)

根据定义：

\begin{eqnarray} \label{eq:2} \langle Tv,w \rangle &=& \langle \langle v,u \rangle x , w\rangle \\ &=& \langle v,u \rangle \langle x,w \rangle \\ &=& \langle v,\langle w,x \rangle u \rangle \end{eqnarray}

所以，\(T^{*}w = \langle w,x \rangle u \)

注意，在上面两个例子中\(T^{*}\)不只是函数而且还是线性映射。

若\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，则\(T^{*}\in \mathcal{L}(W,V)\)

设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，取定\(w_{1},w_{2}\in W\)，若\(v\in V\)，则：

\begin{eqnarray} \label{eq:4} \langle v,T^{*}(w_{1} + w_{2}) \rangle &=& \langle Tv,w_{1}+w_{2} \rangle \\ &=& \langle Tv,w_{1} \rangle + \langle Tv,w_{2} \rangle \\ &=& \langle v,T^{*}(w_{1}) \rangle + \langle v,T^{*}W_{2} \rangle \\ &=& \langle v,T^{*}w_{1} + T^{*}w_{2} \rangle \end{eqnarray}

即，\(T^{*(w_{1} + w_{2})} = T^{*}w_{1} + T^{*}w_{2}\)

另一方面，若\(\lambda\in \mathbf{F},w\in W\)，则：

\begin{eqnarray} \label{eq:5} \langle v,T^{*}(\lambda w) \rangle &=& \langle Tv,\lambda w \rangle \\ &=& \bar{\lambda} \langle Tv,w \rangle \\ &=& \bar{\lambda} \langle v,T^{*}w \rangle \\ &=& \langle v,\lambda T^{*}w \rangle \end{eqnarray}

即，\(T^{*}(\lambda w) = \lambda T^{*} w\). 因此\(T^{*}\)是线性映射。

伴随的性质：

  1. 对所有\(S,T\in \mathcal{L}(V,W)\)均有\((S+T)^{*} = S^{*} + T^{*}\)
  2. 对所有\(T\in \mathcal{L}(V,W),\lambda\in \mathbf{F}\)均有\((\lambda T)^{*} = \bar{\lambda}T^{*}\)
  3. 对所有\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，均有\((T^{*})^{*} = T\)
  4. \(I^{*} = I\)，这里\(I\)是\(V\)上的恒等算子
  5. 对所有\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)和\(S\in \mathcal{L}(V,W)\)均有\((ST)^{*} = T^{*}S^{*}\)

对于 a 有：

\begin{eqnarray} \label{eq:3} \langle v,(S+T)^{*}w \rangle &=& \langle (S+T)v,w \rangle \\ &=& \langle Sv,w \rangle + \langle Tv,w \rangle \\ &=& \langle v,S^{*}w \rangle + \langle v,T^{*}w \rangle \\ &=& \langle v,S^{*}w + T^{*}w \rangle \end{eqnarray}

即有：\((S+T)^{*}w = S^{*}w + T^{*}w\)

对于 b 有：

\begin{eqnarray} \label{eq:6} \langle v,(\lambda T)^{*}w \rangle &=& \langle \lambda T v,w \rangle \\ &=&\lambda \langle Tv,w \rangle \\ &=& \lambda \langle v,T^{*}w \rangle \\ &=& \langle v,\bar{\lambda}T^{*}w \rangle \end{eqnarray}

即有：\((\lambda T)^{*} = \bar{\lambda}T^{*}\)

对于 c 有：

\begin{eqnarray} \label{eq:7} \langle w,(T^{*})^{*} v \rangle &=& \langle T^{*}w,v \rangle = \bar{ \langle v,T^{*}w \rangle } =\bar{ \langle Tv, w \rangle } = \langle w,Tv \rangle \\ \end{eqnarray}

所以，\((T^{*})^{*} v = Tv\)

对于 d 有：

\begin{equation} \label{eq:8} \langle v,I^{*}u \rangle = \langle Iv,u \rangle = \langle v,u \rangle = \langle v,Iu \rangle \end{equation}

对于 e 有：

\begin{equation} \label{eq:9} \langle v,(ST)^{*}u \rangle = \langle STv,u \rangle = \langle Tv,S^{*}u \rangle = \langle v,T^{*}(S^{*}u) \rangle \end{equation}

即有：\((ST)^{*}u = T^{*}S^{*}u\)

接下来，我们阐述线性映射及其伴随的零空间和值域之间的关系。

设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，则：

  1. \(\mathrm{null} T^{*} = (\mathrm{range}T)^{\bot}\)
  2. \(\mathrm{range}T^{*} = (\mathrm{null}T)^{\bot}\)
  3. \(\mathrm{null}T = (\mathrm{range}T^{*})^{\bot} \)
  4. \(\mathrm{range}T = (\mathrm{null}T^{*})^{\bot}\)

\(\forall w \in W\),\(w\in \mathrm{null}T^{*}\)，则：

\begin{eqnarray} \label{eq:10} w\in \mathrm{null}T^{*}&\Leftrightarrow&T^{*}w = 0 \\ &\Leftrightarrow & \langle v,T^{*}w \rangle \qquad \forall v\in V \\ &\Leftrightarrow& \langle Tv,w \rangle =0 \qquad \forall v\in V \\ &\Leftrightarrow& w\in \mathrm{range}T^{\bot} \end{eqnarray}

于是，\( \mathrm{null}T^{*} = ( \mathrm{range}T )^{\bot} \)

\(m\times n\)矩阵的共轭转置是先互换行和列，然后再对每个元素取共轭得到的\(n\times m\)矩阵。

设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，假设\(e_{1},\ldots ,e_{n}\)是\(V\)的规范正交基，\(f_{1},\ldots ,f_{m}\)是\(W\)的规范正交基。则\(\mathcal{M}(T^{*},(f_{1},\ldots ,f_{m}),(e_{1},\ldots ,e_{n}))\)是\(\mathcal{M}\)

把\(Te_{k}\)写成\(f_{j}\)的线性组合可以得到\(\mathcal{M}(T)\)的第\(k\)列，在这个线性组合中用到的标量系数构成了\(\mathcal{M}(T)\)的第\(k\)列，因为\(f_{1},\ldots ,f_{m}\)是\(W\)的规范正交基，所以：

\begin{equation} \label{eq:11} Te_{k} = \langle Te_{k},f_{1} \rangle f_{1} + \ldots + \langle T{e_{k}},f_{m} \rangle f_{m} \end{equation}

于是\(\mathcal{M}(T)\)的第\(k\)列第\(j\)行的元素是\( \langle Te_{k},f_{j} \rangle \) 把\(T\)替换为\(T^{*}\)，再互换\(e\)和\(f\)，可以得到，\(\mathcal{M}^{*}(T)\)的第\(j\)行第\(k\)列元素为：\( \langle T^{*}f_{k}, e_{j} \rangle \)，其等于\( \langle f_{k}, T e_{j} \rangle = \bar{ \langle Te_{j},f_{k} \rangle } \)，这又是\(\mathcal{M}(T)\)的对应元素的复共轭。也就是说\(\mathcal{M}(T)\)和\(\mathcal{M}(T^{*})\)之间是共轭转置的关系。

2 自伴算子

现在我们关注一下内积空间上的算子。

算子\(T\in \mathcal{L}(V)\)称为自伴的，如果\(T= T^{*}\).也就是说，\(T\in \mathcal{L}(V)\)是自伴的当且仅当\( \langle Tv,w \rangle = \langle v,Tw \rangle ,\forall v,w\in V\)

自伴意味着：\(\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}(T^{*})\)，伴随在\(\mathcal{L}(V)\)上起的作用犹如复共轭在\(\mathcal{C}\)上起的作用。复数\(z\)是实的当且仅当\(z=\bar{z}\),因此自伴算子可以与实数类比。自伴意味着实对称矩阵。接下来我们证明实对称矩阵的特征值都是实数。

自伴算子的每个特征值都是实数。

设\(T\)是\(V\)上的自伴算子，\(\lambda\)是\(T\)的本征值，\(v\)是\(V\)中的非零向量使得\(Tv= \lambda v\)，则：

\begin{eqnarray} \label{eq:15} \lambda \lvert v \rvert^{2} &=& \langle \lambda v,v \rangle \\ &=& \langle Tv,v \rangle \\ &=& \langle v,Tv \rangle \\ &=& \langle v,\lambda v \rangle \\ &=& \bar{\lambda} \langle v,v \rangle \\ &=& \bar{\lambda} \lvert v \rvert^{2} \end{eqnarray}

于是，\(\lambda = \bar{\lambda}\)，即\(\lambda\)是实的。

在\(\mathbf{C}\)上，只有\(\mathbf{0}\)算子才能使\(Tv\)总正交于\(v\)。设\(V\)是复内积空间，\(T\in \mathcal{L}(V)\)。假设对所有\(v\in V\)均有\( \langle Tv,v \rangle = 0 \)，则\(T=0\)

在\(\mathbf{C}\)上，仅自伴算子才能使\( \langle Tv,v \rangle \)都是实数。设\(V\)是复内积空间，\(T\in \mathcal{L}(V)\)。则\(T\)是自伴的当且仅当对每个\(v\in V\)均有\( \langle Tv,v \rangle \in \mathbf{R} \)

设\(v\in V\),则：

\begin{equation} \label{eq:13} \langle Tv,v \rangle - \bar{ \langle Tv,v \rangle } = \langle Tv,v \rangle - \langle v,Tv \rangle = \langle Tv,v \rangle - \langle T^{*}v,v \rangle = \langle (T- T^{*})v,v \rangle \end{equation}

若对每个\(v\in V\)均有\( \langle Tv,v \rangle \in \mathbf{R} \)，则必有\(T-T^{*}\)是\(\mathbf{0}\)算子。 反之，若\(T\)是自伴的，则上式右端等于 0。所以\(\forall v\in V\)，均有\( \langle Tv,v \rangle = \bar{\langle Tv,v \rangle} \)，即\( \langle Tv,v \rangle\in \mathbf{R} \)

若\(T\)是\(V\)上的自伴算子使得对于所有\(v\in V\)均有\( \langle Tv,v \rangle = 0 \),则\(T=0\)

假设\(V\)是实内积空间，若\(u,w\in V\)，则：

\begin{equation} \label{eq:14} \langle Tu,w \rangle = \frac{ \langle T(u+w),u+w \rangle - \langle T(u-w),(u-w) \rangle }{4} \end{equation}

因为\( \langle T(u+w),(u+w) \rangle \) 和 \( \langle T(u-w),(u-w) \rangle \) 都是\( \langle Tv,v \rangle \)的形式，所以\( \langle Tu,w \rangle =0 \),又由于\(u,w\)的任意性，则\(T=0\)

3 正规算子

内积空间上的算子称为正规的，如果它和它的伴随是交换的。也就是说，\(T\in \mathcal{L}(V)\)是正规的，如果\(T^{*}T=TT^{*}\)

注意一个算子如果是自伴的，那么\(T=T^{*}\)；如果是正规的，那么\(T^{*}T = TT^{*}\)。所以一个算子可以是正规的但不是自伴的。但是一个算子是自伴的肯定是正规的。

算子\(T\in \mathcal{L}(V)\)是正规的当且仅当对所有\(v\in V\)均有\(\lVert Tv \rVert = \lVert T^{*}v \rVert\)

设\(T\in \mathcal{L}(V)\)：

\begin{eqnarray} \label{eq:16} TT^{*} - T^{*}T = 0&\Leftrightarrow& \langle (TT^{*} - T^{*}T )v,v \rangle =0 \\ &\Leftrightarrow& \langle TT^{*}v,v \rangle = \langle T^{*}Tv,v \rangle \\ &\Leftrightarrow& \langle T^{*}v,T^{*}v \rangle = \langle Tv,Tv \rangle \end{eqnarray}

设\(T\in \mathcal{L}(V)\)是正规的，且\(v\in V\)是\(T\)的相应于本征值\(\lambda\)的特征向量，则\(v\)也是\(T^{*}\)相应于\(\bar{\lambda}\)的本征向量

因为\(T\)是正规的，所以\(T-\lambda I\)也是正规的。所以：

\begin{equation} \label{eq:17} 0= \lVert (T-\lambda I)v \rVert = \lVert (T-\lambda I)^{*} v \rVert = \lVert (T^{*} - \bar{\lambda}I^{*})v \rVert \end{equation}

设\(T\in \mathcal{L}(V)\)是正规的，则\(T\)的相应于不同本征值的本征向量是正交的。

设\(\alpha,\beta\)是\(T\)的不同本征值，\(u,v\)分别是相应的本征向量，于是\(Tu=\alpha u\)且\(Tv = \beta v\)。因此：

\begin{eqnarray} \label{eq:18} (\alpha - \beta) \langle u,v \rangle &=& \langle au,v \rangle - \langle u,\bar{\beta}v \rangle \\ &=& \langle Tu,v \rangle - \langle u,T^{*}v \rangle \\ &=& 0 \end{eqnarray}

因为\(\alpha \neq \beta\)，上面的等式表明\( \langle u,v \rangle =0 \)。因此\(u\)和\(v\)是正交的。

4 总结

自伴和正规都是针对内积空间上的算子而言，算子是自身到自身的线性映射。自伴算子对应的矩阵是实对称的。起对应的特征向量是实数。正规的算子，其伴随是可交换的，但是正规算子不一定是自伴的。