自伴算子和正规算子

目录

1 伴随

设 T∈L(V,W), T的伴随是满足如下条件的函数T∗:W→V,∀v∈V,∀w∈W,⟨Tv,w⟩=⟨v,T∗w⟩

为了检验上述定义的意义，我们假设L(V,W), 并取定w∈W，考虑V上将v∈V映射成⟨Tv,w⟩的线性泛函，这个线性泛函依赖于T和w。由里斯表示定理，存在V中唯一一个向量使得该线性泛函是通过与该向量做内积得到的。我们将这个唯一的向量记为T∗w，也就是说，T∗w是V中唯一一个满足下面条件的向量：对每个v∈V均有⟨Tv,w⟩=⟨v,T∗w⟩

定义T:R3→R2为T(x1,x2,x3)=(x2+3x3,2x1) 求T∗

根据定义T∗是R2到R3的函数。要计算T∗,取定一个点(y1,y2)∈R2,那么对于每个(x1,x2,x3)∈R3有：

⟨(x1,x2,x3),T∗(y1,y2)⟩=⟨T(x1,x2,x3),(y1,y2)⟩=⟨(x2+3x3,2x1,(y1,y2)⟩=x2y1+3x3y1+2x1y2=⟨(x1,x2,x3),(2y2,y1,3y1)⟩

于是，T∗(y1,y2)=(2y2,y1,3y1)

取定u∈V和x∈W,定义T∈L(V,W)如下：对每个v∈V有Tv=⟨v,u⟩x，求T∗

根据定义：

⟨Tv,w⟩=⟨⟨v,u⟩x,w⟩=⟨v,u⟩⟨x,w⟩=⟨v,⟨w,x⟩u⟩

所以，T∗w=⟨w,x⟩u

注意，在上面两个例子中T∗不只是函数而且还是线性映射。

若T∈L(V,W)，则T∗∈L(W,V)

设T∈L(V,W)，取定w1,w2∈W，若v∈V，则：

⟨v,T∗(w1+w2)⟩=⟨Tv,w1+w2⟩=⟨Tv,w1⟩+⟨Tv,w2⟩=⟨v,T∗(w1)⟩+⟨v,T∗W2⟩=⟨v,T∗w1+T∗w2⟩

即，T∗(w1+w2)=T∗w1+T∗w2

另一方面，若λ∈F,w∈W，则：

⟨v,T∗(λw)⟩=⟨Tv,λw⟩=ˉλ⟨Tv,w⟩=ˉλ⟨v,T∗w⟩=⟨v,λT∗w⟩

即，T∗(λw)=λT∗w. 因此T∗是线性映射。

伴随的性质：

  1. 对所有S,T∈L(V,W)均有(S+T)∗=S∗+T∗
  2. 对所有T∈L(V,W),λ∈F均有(λT)∗=ˉλT∗
  3. 对所有T∈L(V,W)，均有(T∗)∗=T
  4. I∗=I，这里I是V上的恒等算子
  5. 对所有T∈L(V,W)和S∈L(V,W)均有(ST)∗=T∗S∗

对于 a 有：

⟨v,(S+T)∗w⟩=⟨(S+T)v,w⟩=⟨Sv,w⟩+⟨Tv,w⟩=⟨v,S∗w⟩+⟨v,T∗w⟩=⟨v,S∗w+T∗w⟩

即有：(S+T)∗w=S∗w+T∗w

对于 b 有：

⟨v,(λT)∗w⟩=⟨λTv,w⟩=λ⟨Tv,w⟩=λ⟨v,T∗w⟩=⟨v,ˉλT∗w⟩

即有：(λT)∗=ˉλT∗

对于 c 有：

⟨w,(T∗)∗v⟩=⟨T∗w,v⟩=¯⟨v,T∗w⟩=¯⟨Tv,w⟩=⟨w,Tv⟩

所以，(T∗)∗v=Tv

对于 d 有：

⟨v,I∗u⟩=⟨Iv,u⟩=⟨v,u⟩=⟨v,Iu⟩

对于 e 有：

⟨v,(ST)∗u⟩=⟨STv,u⟩=⟨Tv,S∗u⟩=⟨v,T∗(S∗u)⟩

即有：(ST)∗u=T∗S∗u

接下来，我们阐述线性映射及其伴随的零空间和值域之间的关系。

设T∈L(V,W)，则：

  1. nullT∗=(rangeT)⊥
  2. rangeT∗=(nullT)⊥
  3. nullT=(rangeT∗)⊥
  4. rangeT=(nullT∗)⊥

∀w∈W,w∈nullT∗，则：

w∈nullT∗⇔T∗w=0⇔⟨v,T∗w⟩∀v∈V⇔⟨Tv,w⟩=0∀v∈V⇔w∈rangeT⊥

于是，nullT∗=(rangeT)⊥

m×n矩阵的共轭转置是先互换行和列，然后再对每个元素取共轭得到的n×m矩阵。

设T∈L(V,W)，假设e1,…,en是V的规范正交基，f1,…,fm是W的规范正交基。则M(T∗,(f1,…,fm),(e1,…,en))是M

把Tek写成fj的线性组合可以得到M(T)的第k列，在这个线性组合中用到的标量系数构成了M(T)的第k列，因为f1,…,fm是W的规范正交基，所以：

Tek=⟨Tek,f1⟩f1+…+⟨Tek,fm⟩fm

于是M(T)的第k列第j行的元素是⟨Tek,fj⟩ 把T替换为T∗，再互换e和f，可以得到，M∗(T)的第j行第k列元素为：⟨T∗fk,ej⟩，其等于⟨fk,Tej⟩=¯⟨Tej,fk⟩，这又是M(T)的对应元素的复共轭。也就是说M(T)和M(T∗)之间是共轭转置的关系。

2 自伴算子

现在我们关注一下内积空间上的算子。

算子T∈L(V)称为自伴的，如果T=T∗.也就是说，T∈L(V)是自伴的当且仅当⟨Tv,w⟩=⟨v,Tw⟩,∀v,w∈V

自伴意味着：M(T)=M(T∗)，伴随在L(V)上起的作用犹如复共轭在C上起的作用。复数z是实的当且仅当z=ˉz,因此自伴算子可以与实数类比。自伴意味着实对称矩阵。接下来我们证明实对称矩阵的特征值都是实数。

自伴算子的每个特征值都是实数。

设T是V上的自伴算子，λ是T的本征值，v是V中的非零向量使得Tv=λv，则：

λ|v|2=⟨λv,v⟩=⟨Tv,v⟩=⟨v,Tv⟩=⟨v,λv⟩=ˉλ⟨v,v⟩=ˉλ|v|2

于是，λ=ˉλ，即λ是实的。

在C上，只有0算子才能使Tv总正交于v。设V是复内积空间，T∈L(V)。假设对所有v∈V均有⟨Tv,v⟩=0，则T=0

在C上，仅自伴算子才能使⟨Tv,v⟩都是实数。设V是复内积空间，T∈L(V)。则T是自伴的当且仅当对每个v∈V均有⟨Tv,v⟩∈R

设v∈V,则：

⟨Tv,v⟩−¯⟨Tv,v⟩=⟨Tv,v⟩−⟨v,Tv⟩=⟨Tv,v⟩−⟨T∗v,v⟩=⟨(T−T∗)v,v⟩

若对每个v∈V均有⟨Tv,v⟩∈R，则必有T−T∗是0算子。 反之，若T是自伴的，则上式右端等于 0。所以∀v∈V，均有⟨Tv,v⟩=¯⟨Tv,v⟩，即⟨Tv,v⟩∈R

若T是V上的自伴算子使得对于所有v∈V均有⟨Tv,v⟩=0,则T=0

假设V是实内积空间，若u,w∈V，则：

⟨Tu,w⟩=⟨T(u+w),u+w⟩−⟨T(u−w),(u−w)⟩4

因为⟨T(u+w),(u+w)⟩ 和 ⟨T(u−w),(u−w)⟩ 都是⟨Tv,v⟩的形式，所以⟨Tu,w⟩=0,又由于u,w的任意性，则T=0

3 正规算子

内积空间上的算子称为正规的，如果它和它的伴随是交换的。也就是说，T∈L(V)是正规的，如果T∗T=TT∗

注意一个算子如果是自伴的，那么T=T∗；如果是正规的，那么T∗T=TT∗。所以一个算子可以是正规的但不是自伴的。但是一个算子是自伴的肯定是正规的。

算子T∈L(V)是正规的当且仅当对所有v∈V均有‖Tv‖=‖T∗v‖

设T∈L(V)：

TT∗−T∗T=0⇔⟨(TT∗−T∗T)v,v⟩=0⇔⟨TT∗v,v⟩=⟨T∗Tv,v⟩⇔⟨T∗v,T∗v⟩=⟨Tv,Tv⟩

设T∈L(V)是正规的，且v∈V是T的相应于本征值λ的特征向量，则v也是T∗相应于ˉλ的本征向量

因为T是正规的，所以T−λI也是正规的。所以：

0=‖(T−λI)v‖=‖(T−λI)∗v‖=‖(T∗−ˉλI∗)v‖

设T∈L(V)是正规的，则T的相应于不同本征值的本征向量是正交的。

设α,β是T的不同本征值，u,v分别是相应的本征向量，于是Tu=αu且Tv=βv。因此：

(α−β)⟨u,v⟩=⟨au,v⟩−⟨u,ˉβv⟩=⟨Tu,v⟩−⟨u,T∗v⟩=0

因为α≠β，上面的等式表明⟨u,v⟩=0。因此u和v是正交的。

4 总结

自伴和正规都是针对内积空间上的算子而言，算子是自身到自身的线性映射。自伴算子对应的矩阵是实对称的。起对应的特征向量是实数。正规的算子，其伴随是可交换的，但是正规算子不一定是自伴的。