谱定理

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1 简介

回想，对角矩阵是对角线之外的元素都是 0 的方阵：V 上的算子关于某个基有对角矩阵当且仅当这个基是由该算子的本征向量组成的。

关于V的某个规范正交基具有对角矩阵的算子是V上最好的算子，它们恰好是具有如下性质的算子T∈L(V):V有一个由T的本征向量组成的规范正交基。本文要证明的是谱定理。谱定理表明：具有上述性质的算子当F=C时恰为正规算子，当F=R时，恰为自伴算子。谱定理是研究内积空间上算子的最有用的工具。

由于谱定理的结论依赖于F，所以我们把谱定理分成两部分，分别叫做复谱定理和实谱定理。同线性代数中的大多数情形一样，处理复向量空间要比处理实向量空间容易，因此我们先分析复谱定理。

2 复谱定理

若F=C且T∈L(V)是正规的，则T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵。

考虑正规算子T∈L(C2)，它关于标准基的矩阵是：

[2−332]

可以验证，1√2(i,1),1√2(−i,1)是由T的本征向量构成的C2的规范正交基，T关于这个基的对角矩阵是：

[2+3i002−3i]

设F=C且T∈L(V)，则以下条件等价：

  1. T是正规的。
  2. V有一个由T的本征向量构成的规范正交基。
  3. T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵。

首先假设第 3 条成立，则T在V的某个规范正交基下具有对角矩阵。T∗的矩阵是T的矩阵的共轭转置，所以T∗也具有对角矩阵。任意两个对角矩阵都是交换的，所以T和T∗是交换的，从而T是正规的。也就是说第一条成立。

现在假设第一条成立，则T是正规的。由舒尔定理可知V有一个规范正交基e1,…,en使得T关于此基有上三角矩阵，于是：

M(T,(e1,…,en))=[a1,1…a1,n⋱⋮0an,n]

由上面的矩阵可得：

‖Te1‖2=|a1,1|2

且：

‖T∗e1‖2=|a1,1|2+|a1,2|2+…+|a1,n|2

因为T是正规得，所以‖Te1‖=‖T∗e1‖，于是由上面得两个等式可知，式~(3) 中矩阵的第一行除了第一个元素之外都是 0. 以此类推，~(5)中除了对角线上的元素其他元素都为 0.

3 实谱定理

设T∈L(V)是自伴的，并设b,c∈R使得b2<4c，则：

T2+bT+cI

是可逆的。

设v是V中的非零向量，则：

⟨(T2+bT+cI)v,v⟩=⟨T2v,v⟩+b⟨Tv,v⟩+c⟨v,v⟩=⟨Tv,Tv⟩+b⟨Tv,v⟩+c‖v‖2≥‖Tv‖2−|b|‖Tv‖‖v‖+c‖v‖2=(‖Tv‖−|b|‖v‖2)2+(c−b24)‖v‖2>0

所以(T2+bT+cI)v≠0，所以T2+bT+cI是单的，从而是可逆的。

设V≠{0}且T∈L(V)是自伴算子，则T有本征值。

如前所述，可以假设V是实内积空间。设n=dimV，取v∈V使得v≠0，则：

v,Tv,T2v,…,Tnv

不可能是线性无关的，因为V是n维的，而这里有n+1个向量。于是，有不全为 0 的实数a0,…,an使得：

a0v+a1Tv+…+anTnv

以这些aj为系数做一个多项式，并将此多项式分解则：

a0+a1x+…+anxn=c(x2+b1x+c1)…(x2+bMx+cM)(x−λ1)…(x−λm)

其中c是实数，每个bj,cj,λj都是实数，每个b2j小于4cj，m+M≥1，并且上面的等式对所有实数x都成立。那么我们有：

0=a0v+a1Tv+…anTnv=(a0I+a1T+…+anTn)v=c(T2+b1T+c1I)…(T2+bMT+cM)(T−λ1I)…(T−λmI)v

每个T2+bjT+cjI都是可逆的。而c≠0，所以上面的等式表明m>0且：

0=(T−λ1I)(T−λ2I)…(T−λmI)v

所以至少有一个λj使得T−λjI不是单的，也就是说T有本征值。

设T∈L(V)是自伴的，并设U是V的在T下不变的子空间，则：

  1. U⊥在T下不变。
  2. T|U∈L(U)是自伴的。
  3. T|u⊥∈L(U⊥)是自伴的。

为证明 1，设v∈U⊥，u∈U,则：

⟨Tv,u⟩=⟨v,Tu⟩=0

其中第一个等号成立是因为T是自伴的，第二个等号成立是因为U在T下不变且v∈U⊥。因为上面的等式对每个u∈U都成立，所以可得Tv∈U⊥，因此U⊥在T下不变，这就证明了第一条。

对于第二条：

⟨(T|U)u,v⟩=⟨Tu,v⟩=⟨u,Tv⟩=⟨u,(T|U)v⟩

因此T|U是自伴的。

实谱定理：

设F=R且T∈L(V)，则以下条件等价：

  1. T是自伴的。
  2. V有一个由T的本征向量组成的规范正交基。
  3. T关于V的某个规范正交基具有对角矩阵。

考虑R3上的自伴算子T，其关于标准基的矩阵为：

[14−138−1314888−7]

则：

(1,−1,0)√2,(1,1,1)√3,(1,1,−2)√6

是由R3的由T的本征向量构成的规范正交基，且T关于这个基的对角矩阵是：

[270009000−15]

4 总结

若F=C,则复谱定理给出了V上正规算子的完全描述。由此可以完全描述V上的自伴算子。

若F=R，则实谱定理给出了V上自伴算子的完全描述。