正算子与等距同构

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1 正算子

我们称算子TL(V)是正的,如果T 是自伴的,且对所有vV 均有Tv,v0.

V 是复向量空间,则T是自伴的条件可以从上面的定义中去掉。

  1. UV的子空间,则正交投影PU是正算子。
  2. TL(V)是自伴的,且b,cR使得b2<4c,则T2+bT+cI是正算子。

算子R 称为算子T 的平方根,如果R2=T

TL(F3)是由T(z1,z2,z3)=(z3,0,0)定义的算子,则由R(z1,z2,z3)=(z2,z3,0)定义的算子RL(F3)T的平方根。

下面的定理对正算子的刻画与C中非负数的刻画是相对应的。具体来说,复数z非负当且仅当它有非负平方根,这对应于条件c。此外,z非负当且仅当它有实的平方根,这对应于条件d。最后,z非负当且仅当有复数w使得z=wˉw,这对应于条件e

TL(V),则以下条件等价:

  1. T是正的。
  2. T是自伴的且T的所有本征值非负。
  3. T有正的平方根。
  4. T有自伴的平方根。
  5. 存在算子RL(V)使得T=RR

我们按顺序证明(a)