正算子与等距同构

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1 正算子

我们称算子\(T\in \mathcal{L}(V)\)是正的，如果\(T\) 是自伴的，且对所有\(v\in V\) 均有\( \langle Tv,v \rangle \geq 0 \).

若\(V\) 是复向量空间，则\(T\)是自伴的条件可以从上面的定义中去掉。

  1. 若\(U\)是\(V\)的子空间，则正交投影\(P_{U}\)是正算子。
  2. 若\(T\in \mathcal{L}(V)\)是自伴的，且\(b,c\in \mathbf{R}\)使得\(b^{2} < 4c\)，则\(T^{2} + bT +cI\)是正算子。

算子\(R\) 称为算子\(T\) 的平方根，如果\(R^{2} = T\)

设\(T\in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{3}) \)是由\(T(z_{1},z_{2},z_{3}) = (z_{3},0,0) \)定义的算子，则由\(R(z_{1},z_{2},z_{3}) = (z_{2},z_{3},0)\)定义的算子\(R\in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{3})\)是\(T\)的平方根。

下面的定理对正算子的刻画与\(\mathbf{C}\)中非负数的刻画是相对应的。具体来说，复数\(z\)非负当且仅当它有非负平方根，这对应于条件\(c\)。此外，\(z\)非负当且仅当它有实的平方根，这对应于条件\(d\)。最后，\(z\)非负当且仅当有复数\(w\)使得\(z=w\bar{w}\)，这对应于条件\(e\)。

设\(T\in \mathcal{L}(V)\)，则以下条件等价：

  1. \(T\)是正的。
  2. \(T\)是自伴的且\(T\)的所有本征值非负。
  3. \(T\)有正的平方根。
  4. \(T\)有自伴的平方根。
  5. 存在算子\(R\in \mathcal{L}(V)\)使得\(T=R^{*}R\)

我们按顺序证明\((a) \Rightarrow \)