正算子与等距同构

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1 正算子

我们称算子T∈L(V)是正的，如果T 是自伴的，且对所有v∈V 均有⟨Tv,v⟩≥0.

若V 是复向量空间，则T是自伴的条件可以从上面的定义中去掉。

  1. 若U是V的子空间，则正交投影PU是正算子。
  2. 若T∈L(V)是自伴的，且b,c∈R使得b2<4c，则T2+bT+cI是正算子。

算子R 称为算子T 的平方根，如果R2=T

设T∈L(F3)是由T(z1,z2,z3)=(z3,0,0)定义的算子，则由R(z1,z2,z3)=(z2,z3,0)定义的算子R∈L(F3)是T的平方根。

下面的定理对正算子的刻画与C中非负数的刻画是相对应的。具体来说，复数z非负当且仅当它有非负平方根，这对应于条件c。此外，z非负当且仅当它有实的平方根，这对应于条件d。最后，z非负当且仅当有复数w使得z=wˉw，这对应于条件e。

设T∈L(V)，则以下条件等价：

  1. T是正的。
  2. T是自伴的且T的所有本征值非负。
  3. T有正的平方根。
  4. T有自伴的平方根。
  5. 存在算子R∈L(V)使得T=R∗R

我们按顺序证明(a)⇒