正算子与等距同构
目录
1 正算子
我们称算子T∈L(V)是正的,如果T 是自伴的,且对所有v∈V 均有⟨Tv,v⟩≥0.
若V 是复向量空间,则T是自伴的条件可以从上面的定义中去掉。
- 若U是V的子空间,则正交投影PU是正算子。
- 若T∈L(V)是自伴的,且b,c∈R使得b2<4c,则T2+bT+cI是正算子。
算子R 称为算子T 的平方根,如果R2=T
设T∈L(F3)是由T(z1,z2,z3)=(z3,0,0)定义的算子,则由R(z1,z2,z3)=(z2,z3,0)定义的算子R∈L(F3)是T的平方根。
下面的定理对正算子的刻画与C中非负数的刻画是相对应的。具体来说,复数z非负当且仅当它有非负平方根,这对应于条件c。此外,z非负当且仅当它有实的平方根,这对应于条件d。最后,z非负当且仅当有复数w使得z=wˉw,这对应于条件e。
设T∈L(V),则以下条件等价:
- T是正的。
- T是自伴的且T的所有本征值非负。
- T有正的平方根。
- T有自伴的平方根。
- 存在算子R∈L(V)使得T=R∗R
我们按顺序证明(a)⇒