线性映射

目录

1 向量空间的线性映射

从V 到W的线性映射是具有以下性质的函数T:V→W:

加性: 对所有u,v∈V都有 T(u+v)=T(u)+T(v)

齐次: 对所有的 λ∈F 和v∈V 都有 T(λv)=λ(Tv)

从线性映射的定义可以看出，线性映射本质是函数，这个函数满足其次可加性。对于输入x可以拆解成x=u+v然后分别求出T(u),T(v)，得T(x)=T(u)+T(v)。

我们把从V到W的所有线性映射的集合记为L(V,W)。接下来我们看一些线性映射的例子：

零：除了其他用途，0也用来表示一个函数，他表示把某个空间的每个元素都映射为另一个空间的加法单位元。确切的说，0∈L(V,W)。定义为0v=0

等式左边的零表示从V到W的函数，右边的零表示W中的加法单位元。

恒等：恒等映射是某个向量空间上的函数，记为I，它把每个元素都映射成自身，确切的说I∈L(V,V)，满足：Iv=v

微分：定义D∈L(P(R),P(R))，如下：Dp=p′

这个函数是线性的。

积分：定义T∈L(P(R),R)，如下:Tp=∫10p(x)dx

乘以x2： 定义T∈L(P(R),P(R)

向后移位：T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,…)

从R3到R2 定义 T∈L(R3,R2) ：T(x,y,z)=(2x−y+3z,7x+5y−6z)

这个映射就有了矩阵的味道了：

[uv]=[2−1375−6][xyz]

推而广之就有:

从Fn到Fm，设m,n是正整数，Aj,k∈F,j=1,…,m,k=1,…,n，定义T∈L(Fn,Fm)为：

T(x1,x2,…,xn)=(A1,1x1+…+A1,nxn,…,Am,1x1+…+Am,nxn)

式2可以写成矩阵的形式为：

[y1y2⋮ym]=[A1,1A1,2…A1,nA2,1A2,2…A2,n⋮⋮⋱⋮Am,1Am,2…Am,n][x1x2⋮xn]

这里就有问题了，是不是所有的线性映射都可以写成矩阵的形式？如果是？为什么？如果不是，都有哪些线性映射可以写成矩阵的形式？那些不能写成矩阵的线性映射有什么特征？

关于这些问题的回答，在稍后的学习中会揭示。

设v1,…,vn是V的基，w1,…,wn∈W，则存在唯一一个线性映射T:V→W 使得对任意j=1,…,n都有:Tvj=wj

这个定理的证明需要从线性映射和基的定义出发。首先证明存在满足上述性质的线性映射T，定义T:V→W如下T(c1v1+…+cnvn)=c1w1+…+cnwn

其中c1,…,cn∈F，由于v1,…,vn是V的基，所以上面的等式的确定义了从V到W的函数T。(因为V的每个元素都可以唯一的表示成c1v1+…+cnvn的形式)。 接下来我们证明映射T是线性映射。

首先证明可加性，然后证明齐次性(因为比较简单，所以略去)。

接下来证明这个线性映射的唯一性，现在假设T∈L(V,W)且Tvj=wj,j=1,…,n设c1,…,cn∈F 由于T的齐次性，有T(cjvj)=cjwj,j=1,…,n由于T的可加性有： T(c1v1+…+cnvn)=c1w1+…+cnwn

所以T在span(v1,…,vn)上由上式唯一确定。由于v1,v2,…,vn是V的基，则T在V上是唯一确定的。

我们用L(V,W)表示从V到W的线性映射的集合。我们可以定义 L(V,W)上的加法和标量乘法。设S,T∈L(V,W) ，λ∈F 定义和S+T 和λT是两个从V到W的线性映射，对所有v∈V都有(S+T)(v)=Sv+Tv(λT)(v)=λ(Tv)

我们可以验证这两个映射是线性映射，他们保留具有齐次可加性。首先我们验证 S+T具有齐次可加性：

首先验证可加性

(S+T)(u+v)=S(u+v)+T(u+v)=Su+Sv+Tu+Tv=(Su+Tu)+(Sv+Tv)=(S+T)u+(S+T)v

上式第一个等号成立是根据定义(S+T)v=Sv+Tv，第二个等号成立是根据S,T是线性映射，第三个等号成立是根据结合律，第四个等号成立是根据(S+T)v=Sv+Tv.

然后验证齐次性

(S+T)(λv)=S(λv)+T(λv)=λSv+λTv=λ(Sv+Tv)=λ(S+T)v

所以S+T满足齐次可加性。

我们再验证λT也具有齐次可加性：

(λT)(u+v)=λ(T(u+v))=λ(Tu+Tv)=λ(Tu)+λ(Tv)=(λT)u+(λT)v

第一个等号成立是根据定义λT)(v)=λ(Tv) ，第二个等式成立是因为T是线性映射，第三个等式成立是因为分配率，第四个等号成立是根据定义λT)(v)=λ(Tv)

然后验证齐次性：

(λT)(βv)=λ(T(βv))=λ(βTv)=(λβT)v

若T∈L(U,V),S∈L(U,V)，则定义乘积 ST∈L(U,W)如下： (ST)(u)=S(Tu)∀u∈U

线性映射乘积的代数性质：

  1. 结合性 (T1T2)T3=T1(T2T3)
  2. 单位元 TI=IT=T 这里 T∈L(V,W) 第一个I是V上的恒等映射，第二个I是W上的恒等映射。
  3. 分配性 (S1+S2)T=S1T+S2T 和S(T1+T2)=ST1+ST2

线性映射将0元映射为0元

利用加性我们有：T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0) 两边加上T(0)的加法逆元，有T(0)=0 .

2 零空间与值域

零空间和值域是与线性映射紧密相关的两个空间。

3 零空间与单射

对于T∈L(V,W)，T的零空间记为T 是指V中那些被T映射为0的向量构成的子集：nullT={v∈V:Tv=0}

针对零空间，我们给出一些例子：

  1. 若T是V到W的零映射，即Tv=0,∀v∈V，则nullT=V
  2. 设φ∈L(C3,B)，定义为φ(z1,z2,z3)=z1+2z2+3z3=0,则 nullφ={(z1,z2,z3)∈C3:z1+2z2+3z3=0},并且nullφ的一个基是(−2,1,0),(−3,0,1)
  3. D∈L(P(R),P(R)) 是微分映射 Dp=p′ 只有常函数的导数才是零函数，于是 D 的零空间所有常函数组成的集合
  4. 设T∈L(P(R),P(R))是乘 x2映射，即 (Tp)(x)=x2p(x)，在x∈R满足x2p(x)=0的多项式只有零多项式。于是 nullT={0}
  5. 设T∈(F∞,F∞) 是向后移位映射：T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,…) ，则 T的零空间 nullT={(a,0,0,…),a∈F}

零空间是子空间。 设 T∈L(V,W), 则 nullT是 V的子空间

证明一个空间是子空间，我们只需要三个条件。1. 0属于这个空间，2. 加法封闭性；3. 标量乘法封闭性。

由于T是线性映射，又因为线性映射的加性，我们有T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)，所以T(0)=0。即0∈nullT

设u,v∈nullT ,则有T(u+v)=Tu+Tv=0+0=0，所以u+v∈nullT，即 nullT对加法封闭。

设u∈nullT,λ∈F，则有T(λu)=λ(Tu)=0,即λu∈nullT ，nullT对标量乘法封闭。

如果Tu=Tv时必有u=v，则称映射T:V→W是单的。

单射性等价于零空间为{0}. 设T∈L(V,W)，则T是单的当且仅当nullT={0}

我们分两步证明这个命题，首先我们证明当nullT={0}时，是单设。

假设u,v∈V，且Tu=Tv，则有 Tu−Tv=T(u−v)=0，所以有u−v=0，即u=v。

接下来我们证明单设意味着nullT={0}，首先设v∈nullT则，Tv=0，又因为有T0=0，所以Tv=T0，又因为是单设，所以v=0。由于v的任意性，所以nullT={0}

4 值域和满射

对于V到W的映射T，T的值域是W中形如Tv,v∈V的向量组构成的子集。rangT={Tv:v∈V}

挖掘定义，可知：

  1. 值域是针对一个映射T的，值域的取值在W中，而零空间的取值在V中。
  2. 值域不一定占满W，但是v确可以是V中的任意元素

给出几个例子：

  1. 若T是V到W的零映射，则对所有v∈V都有Tv=0,则rangeT={0}
  2. 设T∈L(R2,R3)，定义为T(x,y)=(2x,5y,x+y)，则rangeT={(2x,5y,x+y):x,y∈R}
    rangeT的一个基为(2,0,1),(0,5,1)
  3. 设D∈L(P(R),P(R))是微分映射Dp=p′，由于对每个多项式q∈P(R)均存在多项式p∈P(R)使得p′=q，故D的值域是P(R)

值域是一个子空间, 若T∈L(V,W),则rangeT是W的子空间。

证明一个空间是子空间，我们只需要三个条件。1. 0在这个空间中，2. 加法封闭性，3. 标量乘法封闭性。

接下来继续证明：首先设T∈L(V,W)， 则有T(0)=0,说明0∈rangeT

若w1,w2∈rangeT，则存在v1,v2∈V，使得Tv1=w1,Tv2=W2，则T(v1+V2)=T(v1)+T(v2)=w1+w2，所以w1+w2∈rangeT

若w∈rangeT，则存在v∈V，则有Tv=w,所以对于λv则有T(λv)=λT(v)=λw,所以有λw∈rangeT

如果函数T:V→W的值域等于W，则称T是满的。

挖掘定义：

  1. 满射意味着W中没有空闲的元素。
  2. 满射没有规定W中的元素是不是只有一个v可以映射过来。
  3. 线性映射是不是满的，与其映射到哪个向量空间有关。

定义Dp=p′的微分映射D∈L(P5(R),P5(R)) 不是满的，因为多项式x5不包含于D的值域。但是，Sp=p′的微分映射D∈L(P5(R),P4(R)) 是满的。

5 线性映射的基本定理

我在学习线性代数的过程中曾经多次接触这个定理，从最开始同济大学的那本小书，到Strang的公开课，每一遍都有新的感受。《linear algebra done right》这本书从空间的角度入手，在证明这个定理的时候，这本书还没有引入矩阵这个感念，从这个角度讲我觉得这本书抓住了线性映射的本质，是一本不可多得的好书。

设V是有限维的，T∈L(V,W)，则rangeT是有限维的并且dimV=dimnullT+dimrangeT

设u1,…,um是nullT的基，则dimnullT=m，且线性无关组u1,…,um可以扩充成V的基u1,…,um,v1,…,vn，于是dimV=m+n.为完成证明rangeT是有限维的，且dimrangeT=n.我们尝试证明Tv1,…,Tvn是rangeT的基。

设v∈V，因为u1,…,um,v1,…,vn张成V，则：v=a1u1+…+amum+b1v1+…+bnvn

我们上式两端进行线性映射则有： Tv=T(b1v1)+…+T(bnvn)

上式表明Tv1,…,Tvn张成了rangeT. 即，rangeT是有限维的。

为了证明Tv1,Tv2,…,Tvn是线性无关的，设c1,…,cn∈F并且c1Tv1+…+cnTvn=0

那么，T{c1v1+…+cnvn}=0
所以，c1v1+…+cnvn∈nullT
由于u1,…,um张成nullT，我们有： c1v1+…+cnvn=d1u1+…+dmum
因为u1,…,um,v1,…,vn是V的基，所以c1,…,cn,d1,…,dm都是零。因此Tv1,…,Tvn是线性无关的。

我们有以下连个推论：

  1. 到更小维度的空间映射不可能是单的。
  2. 到更大维度的空间映射不可能是满的。

写成数学语言就是：

  1. 设V,W都是有限维向量空间，并且dimV>dimW，则V到W的线性映射不可能是单的。
dimnullT=dimV−dimrangeT≥dimV−dimW>0
  1. 设V,W都是有限维向量空间，并且dimV<dimW，则V到W的线性映射不可能是满的。
dimrangeT=dimV−dimnullT≤dimV<dimW

这两个推论在描述线性方程组解的情况的时候非常有用，比如用来判断一个齐次线性方程组是否有非零解和判断一个非齐次线性方程组是否无解，只需要比较方程的个数和未知数的个数。