练习:可逆性与同构
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1 3.D.1
设T∈L(U,V)和S∈L(V,W)都是可逆的线性映射。证明ST∈L(V,W)可逆且(ST)−1=T−1S−1
根据3.56,可逆映射既是单的又是满的。
假设u,v∈U,且STu=STv。根据S是单射,所以有Tu=Tv;再根据T是单射,所以有u=v.即,ST是单射。
令w∈W,则有v∈V使得Sv=w(因为S是满射)。对于v∈V,都有u∈U使得Tu=v。综上有对于任意的w∈W都有 STu=w,所以ST是满射。
因为ST既是单射又是满射所以ST是可逆的。
因为ST(T−1S−1)=S(TT−1)S−1=SS−1=I,且T−1S−1ST=T−1T=I
所以有ST的逆映射是T−1S−1
2 3.D.2
设V是有限维的,且dimV>1。证明V上不可逆的算子构成的集合不是L(V)的子空间。
我们对dimV=2的例子给出反例。假设S,T∈L(V),且有e1,e2是V的标准基: Te1=0;Te2=e2
所以有
(S+T)e1=e1(S+T)e2=e2显然S+T是恒等映射,恒等映射是可逆映射。原命题得证。
3 3.D.3
设V是有限维的,U是V的子空间,且S∈L(U,V)。证明:存在可逆的算子T∈L(V)使得对每个u∈U均有Tu=Su当且仅当S是单射。
首先因为T是L(V)上的可逆算子,且满足Tu=Su,所以S是单射,因为T是单射。
然后假设S是单射,设U的一个基是u1,…,um,因为S是单的,则Su1,…,Sum在V中也是线性独立的。我们把u1,…,um扩展成V的基:u1,…,um,w1,…,wn;同样,我们也可以把Su1,…,Sum扩展成V的基,Su1,…,Sum,e1,…,en
然后我们定义映射T:V→V。满足:
Tui=Sui,Twj=ej,1≤i≤m1≤j≤n由于u1,…,um是U的一个基,所以可以保证上述定义T的唯一性。
对于任意的u=a1u1+…+amum,ai∈F,我们有:
Tu=T(a1u1+…+amum)=a1T(u1)+…+amT(um)=a1S(u1)+…+amS(um)=S(a1u1+…+amum)=Su对于任意的v∈V,都有:
v=b1u1+…+bmum+c1w1+…+cnwn对上式两边进行T映射,则有:
Tv=T(b1u1+…+bmum+c1w1+…+cnwn)=b1Tu1+…+bmTum+c1Tw1+…+cnTwn=b1Su1+…+bmSum+c1e1+…+cnen显然有:rangeT⊆V。
另外一方面Tu1,…,Tum,Tw1,…,Twn包含于rangeT 所以 span(Tu1,…,Tum,Tw1,…,Twn)⊆rangeT
所以T是满射。又因为3.69(对于有限维空间上的映射而言,满射意味着单射,意味着可逆映射),所以T是可逆映射。
4 3.D.4
设W是有限维的,T1,T2∈L(V,W),证明:nullT1=nullT2当且仅当存在可逆的算子S∈L(W)使得T1=ST2
假设有nullT1=nullT2,因为W是有限维的,所以rangeT2也是有限维的。假设w1,…,wn是rangeT2的一个基,所以存在v1,…,vn∈V使得T2vi=wi,i=1,…,n,v1,…,vn的存在性可以通过线性映射基本定理得到满足.
现在证明V=nullT2⊕span(v1,…,vn),对于任何v∈V,存在ai∈F,i∈{1,…,n}我们有:
T2v=a1w1+…+anwn因此有:
T2(v−a1v1−…−anvn)=0也就是说: v=(v−a1v1−…−anvn)+(a1v1+…+anvn)
接下来我们证明直和的条件成立,即nullT2∩span(v1,…,vn)={0} 假设a1v1+…+anvn∈nullT2我们有:
T2(a1v1+…+anvn)=a1w1+…+anwn=0因为w1,…,wn是线性无关的,所以a1,…,an都是零。所以:
V=nullT2⊕span(v1,…,vn)同样的,因为v1,…,vn是线性无关的,所以T1v1,…,T1vn也是线性无关的。又因为nullT1=nullT2,所以有:
0=T2(a1v1+…+anvn)=a1w1+…+anwn现在我们扩展两个W的基,一个从T1v1,…,T1vn扩展到T1v1,…,T1vn,f1,…,fm,另一个从w1,…,wn扩展到w1,…,wn,e1,…,em。在这两个基之间我们定义S∈L(W)使得:
Swi=T1vi,Sej=fj,i=1,…,n;j=1,…,m之前我们有V=nullT2⊕span(v1,…,vn) 所以对于任何的v∈V可以写成:
v=vnull+a1v1+…+anvn所以有:
ST2(v)=ST2(vnull+a1v1+…+anvn)=ST2(a1v1+…+anvn)=S(a1w1+…+anwn)=a1T1(v1)+…+anT1(vn)=T1(a1v1+…+anvn)=T1(vnull+a1v1+…+anvn)=T1(v)所以有ST2=T1。因为S是满射,因此S是单射。
另一方面假设存在可逆映射S∈L(W)满足ST2=T1,对于任何μ∈nullT1,我们有:
ST2μ=T1μ=0因为S是单射所以,其零空间等于{0},所以T2μ=0,因此μ∈nullT2。所以nullT1⊆nullT2,同样的,考虑到T2=S−1T1我们有nullT2⊆nullT1,所以有nullT1=nullT2
5 3.D.5
设V是有限维的,T1,T2∈L(V,W)。证明:rangeT1=rangeT2当且仅当存在可逆的算子S∈L(V)使得T1=T2S
我们假设rangeT1=rangeT2,令u1,…,um是nullT1的一个基,我们可以把这个基扩展为V的一个基u1,…,um,w1,…,wn。那么根据线性映射基本定理的证明过程我们有:rangeT1=span(Tw1,…,Twn),另外Tw1,…,Twn是线性独立的。因为rangeT1=rangeT2那么存在v1,…,vn∈V使得T1wi=T2vi,i=1,…,n因为T1w1,…,T1wn是线性独立的,那么T2v1,…,T2vn也是线性独立的,所以v1,…,vn也是线性独立的。由于rangeT1=rangeT2,则有nullT1=nullT2,令ζ1,…,ζm是nullT2的一个基,那么ζ1,…,ζm,v1,…,vn是V的一个基。我们定义S∈L(V),使得:
Sui=ζi,Swj=vj那么我们有:
T1wj=T2vj=T2Swj,j=1,…,n且:
T1ui=0=T2ζi=T2Sui,i=1,…,m因此T1=T2S,因为我们定义S是在V的一个基上定义的,所以其唯一性得到保证。又因为S是满射,所以S是可逆的。
如果存在一个可逆线性映射S∈L(V)使得T1=T2S,那么对于∀μ∈V都有:
T1μ=T2Sμ∈rangeT2所以rangeT1⊆rangeT2。
因为S是可逆的,所以T2=T1S−1,我们会得到rangeT2⊆rangeT1.综上我们得到了rangeT1=rangeT2。
这个题目和上一个题目在证明过程中有些许类似,总结如下:
- 都在一个空间上构建了两个基,并在这两个基之间构建了一个可逆映射。
- 都用到了基于基构建的线性映射的唯一性。可见3.5非常重要。3.5告诉我们基于定义域的基构建的线性映射具有唯一性。
- 都用到了3.22线性映射基本定理证明的过程。
- 都用到了一个命题:假设T∈L(V,W)且v1,…,vm是V的一个向量组,满足Tv1,…,Tvm是线性独立的,那么v1,…,vm是线性独立的。证明过程很简单。值得注意的是这个问题反过来却不一定成立。即我们不能说v1,…,vm是线性独立的,就说Tv1,…,Tvm是线性独立的。因为:
并不意味着a1v1+…+amvm=0。因为有可能a1v1+…+amvm∈nullT 。在线性映射基本定理3.22的证明过程中考虑到了这一个问题。
6 3.D.6
设V和W都是有限维的,T1,T2∈L(V,W),证明:存在可逆的算子R∈L(V)和S∈L(W)使得T1=ST2R当且仅当dimnullT1=dimnullT2
从正反两个方面完成这个命题的证明。
首先假设存在可逆算子R∈L(V)和S∈L(W)满足T1=ST2R,那么S−1T1=T2R,因此(根据3.D.4)nullT1=nullT2R。因为rangeT2R=rangeT2,所以我们有:
dimnullT2R=dimV−dimrangeT2R=dimV−dimrangeT2=dimnullT2因此dimnullT1=dimnullT2
然后证明另一方面。如果dimnullT1=dimnullT2,假设u1,…,um是nullT1的一个基,我们可以把这个基扩展为V的一个基u1,…,um,w1,…,wn。假设v1,…,vm是nullT2的一个基,我们同样可以把这个基扩展为V的一个基v1,…,vn,ζ1,…,ζn。我们有T1w1,…,T1wn在W中是线性独立的,所以我们可以把这个线性无关组扩展成为W中的一个基T1w1,…,T1wn,α1,…,αl,同理,T2ζ1,…,T2ζn在W中也是线性无关组,因此可以扩展成W的一个基T2ζ1,…,T2ζn,β1,…,βl,对于V中的两个基,定义线性映射R∈L(V)
Rui=vi,Rwj=ζj,i=1,…,m;j=1,…,n对于W中的两个基,定义线性映射S∈L(W):
ST2ζj=T1wj,Sβk=αk,j=1,…,n;k=1,…,l因为S和R是从基到基的映射,因此S和R是可逆算子。
综上有T1=ST2R
7 3.D.7
设V和W是有限维的,v∈V,E={T∈L(V,W):Tv=0} 证明E是L(V,W)的子空间。
证明子空间只需要做三件事情,证明0的存在,证明齐次可加性。
对于这个题目,显然0∈E。
假设T,S∈E,则有
(T+S)v=Tv+Sv=0+0=0所以T+S∈E。对于任意的λ∈F:
(λT)v=λ(Tv)=0假设v≠0,则dimE等于多少?
因为v≠0,我们可以把v扩展成V的一个基v,v2,…,vn,假设w1,…,wm是W的一个基。在这两个基下,L(V,W)和Fm,n是同构的。
现在因为Tv=0,根据线性映射与矩阵的关系,我们知道M(T)的第一列必须死全零。因此E和第一列是全零的Fm,n同构,因为dimE=dimFm,n=m(n−1)=dimW(dimV−1)
另外这个映射T可以看做是从span(v2,…,vn)向W的映射。
8 3.D.8
设V是有限维的,T:V→W是V到W的满的线性映射。证明存在V的子空间U,使得T|U是U到W的同构。(这里T|U)表示函数T限制在U上。也就是说,T|U是一个函数,其定义域为U,且对任意u∈U有T|U(u)=Tu
根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT,在本题中dimrangeT=dimrangeW,我们令dimV=m+n,dimnullT=m,dimrangeT=n 所以在V中我们只要找到一个U使得dimU=n,我们就找到了一个映射T|U是U到W的同构。因为这两个空间的维度相同。
假设u1,…,um是nullT的一个基,我们可以把这个基扩展为V上的一个基u1,…,um,v1,…,vn,我们知道Tv1,…,Tvn是W的一个基(根据线性映射基本定理的证明过程可得。)。我们定义U=span(v1,…,vn). 对于任何u∈U都可以表示成u=a1v1,…,anvn的形式。
Tu=T(a1v1+…+anvn)=a1Tv1+…+anTvn即Tu⊆rangeT,又因为Tv1,…,Tvn 张成了rangeT所以rangeT⊆Tu.
因为T:V→W是满射,T|U是满射。又因为对于式(\ref(eq:23))假设Tu=0显然有ai=0,所以null(T|U)={0},所以T|U是单射。
综上T|U是可逆的线性映射,即T|U是同构。
总结一下这个题目的证明不难,但是有几点需要注意的:
- 从基到基的映射是单射又是满射。
- 一般提高同构就考虑是不是可逆映射,是不是既是单射又是满射,是不是两个空间维度相同。
9 3.D.9
设V是有限维的,S,T∈L(V),证明ST可逆当且仅当S和T都可逆。
首先假设ST是可逆的,则有存在R∈L(V)使得(ST)R=R(ST)=I,如果v∈V满足Tv=0,那么有:
v=Iv=R(ST)v=0由于v的任意性,所以nullT=0,所以T是单射,所以T是可逆的。如果u∈V,那么:
u=Iu=(ST)Ru=S(TRu)这说明u∈rangeS这说明S是满射,所以S是可逆的。
现在证明另一方向。现在假设S,T都是可逆的,所以:
ST(T−1S−1)=S(TT−1)S−1=SS−1=I又因为:
T−1S−1ST=T−1(S−1S)T=T−1T=I因此T−1S−1是ST的逆。
10 3.D.10
设V是有限维的,S,T∈L(V),证明ST=I当且仅当TS=I
首先假设ST=I,因为I是可逆的,所以ST是可逆的,所以S和T是可逆的。我们对ST=I两边乘以T的逆,则有S=T−1
我们把TS中的S换成T−1,显然有TS=I
同理,我们也可以从TS=I推导出ST=I.
11 3.D.11
设V是有限维的,S,T,U∈L(V),且STU=I,证明T可逆且T−1=US
首先I是可逆的,所以S,T,U都是可逆的,并且T=S−1U−1,进而T−1=US
12 3.D.12
说明上题的结果在V不是有限维时未必成立。
举一个反例。
假设V=C∞ ,定义T,S,U为:
T(z1,z2,z3,…)=(0,z1,z2,z3,…)S(z1,z2,z3,…)=(z2,z3,,z4,…)U=I我们有STU=I,但是T不是满射。
13 3.D.13
设V是有限维的,并设R,S,T∈L(V)使得RST是满射。证明S是单射。
因为V是有限维的,RST是满射意味着RST可逆,所以R,S,T是可逆的。所以S是单射。
14 3.D.14
设v1,…,vn是V的基。映射T:V→Fn,1定义为Tv=M(v),这里M(v)是v∈V关于基v1,…,vn的矩阵。证明T是V到Fn,1上的同构。
我们首先证明T是线性映射,根据线性映射的定义,需要证明T满足齐次可加性。
假设v,w∈V,我们可以把这两个元素写作:
v=a1v1+…+anvnw=b1v1+…+bnvn则有:
Tv=M(v)=[a1⋮an]Tw=M(w)=[b1⋮bn]所以有:
T(v+w)=M(v+w)=[a1+b1⋮an+bn]=M(v)+M(w)=Tv+Tw即,T满足可加性。
另外对于
cv=ca1v1+…canvn有T(cv)=M(cv)=[ca1,…,can]=cM(v)=cTv
显然,T具有齐次性。
所以T是线性映射。
对于Tv=0,我们有a1=…=an=0,所以有v=0,因此T是单射;
另外
T(c1v1+…+cnvn)=[c1⋮cn]由于c1,…,cn取值的任意性,有rangeT=Fn,1
所以T既是单射又是满射。即,T是可逆的。
15 3.D.15
证明Fn,1到Bm,1的每个线性映射都是矩阵乘。也就是说,若T∈L(Fn,1,Fm,1)则存在m×n矩阵A使得对于每个x∈Fn,1都有Tx=Ax
这个题目的证明与3.65类似。这个矩阵A不仅依赖于基的选取,还依赖于T。
16 3.D.16
设V是有限维的,T∈L(V),证明:T是标量乘以恒等映射当且仅当对每个S∈L(V)均有ST=TS
假设T=λI,显然ST=SλI=λSI=λS=λIS=TS
另一方面假设TS=ST
17 3.D.17
设V是有限维的,且E是L(V)的子空间,使得对于所有S∈L(V)和所有T∈E均有ST∈E和TS∈E,证明E={0}或者E=L(V)
令e1,…,en是V的一个基,假设E≠{0},则有非零的T∈E,这意味着存在一个s∈{1,…,n}满足Tes≠0,令: Tes=a1e1+…+anen
通过定义,对于每一个i∈{1,…,n}我们有:
EtiTEisej=atδijei,j=1,…,n另外我们之前假设T∈E,所以EtiTEis∈E,注意E是L(V)的一个子集,所以:
(Et1TE1s+…+EtnTEns)ej=atej,j=1,…,n并且Et1TE1s+…+EtnTEns∈E,这意味这ajI∈E,所以对任何S∈L(V)都有 S=SI∈E,也就是说E=L(V)
这个题目太难想了。
18 3.D.18
证明V和L(F,V)是同构的向量空间