练习:可逆性与同构

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1 3.D.1

TL(U,V)SL(V,W)都是可逆的线性映射。证明STL(V,W)可逆且(ST)1=T1S1

根据3.56,可逆映射既是单的又是满的。

假设u,vU,且STu=STv。根据S是单射,所以有Tu=Tv;再根据T是单射,所以有u=v.即,ST是单射。

wW,则有vV使得Sv=w(因为S是满射)。对于vV,都有uU使得Tu=v。综上有对于任意的wW都有 STu=w,所以ST是满射。

因为ST既是单射又是满射所以ST是可逆的。

因为ST(T1S1)=S(TT1)S1=SS1=I,且T1S1ST=T1T=I

所以有ST的逆映射是T1S1

2 3.D.2

V是有限维的,且dimV>1。证明V上不可逆的算子构成的集合不是L(V)的子空间。

我们对dimV=2的例子给出反例。假设S,TL(V),且有e1,e2V的标准基: Te1=0;Te2=e2

Se1=e1;Se2=0
因为nullT{0},且nullS{0},所以S,T都是不可逆映射。

所以有

(S+T)e1=e1(S+T)e2=e2

显然S+T是恒等映射,恒等映射是可逆映射。原命题得证。

3 3.D.3

V是有限维的,UV的子空间,且SL(U,V)。证明:存在可逆的算子TL(V)使得对每个uU均有Tu=Su当且仅当S是单射。

首先因为TL(V)上的可逆算子,且满足Tu=Su,所以S是单射,因为T是单射。

然后假设S是单射,设U的一个基是u1,,um,因为S是单的,则Su1,,SumV中也是线性独立的。我们把u1,,um扩展成V的基:u1,,um,w1,,wn;同样,我们也可以把Su1,,Sum扩展成V的基,Su1,,Sum,e1,,en

然后我们定义映射T:VV。满足:

Tui=Sui,Twj=ej,1im1jn

由于u1,,umU的一个基,所以可以保证上述定义T的唯一性。

对于任意的u=a1u1++amum,aiF,我们有:

Tu=T(a1u1++amum)=a1T(u1)++amT(um)=a1S(u1)++amS(um)=S(a1u1++amum)=Su

对于任意的vV,都有:

v=b1u1++bmum+c1w1++cnwn

对上式两边进行T映射,则有:

Tv=T(b1u1++bmum+c1w1++cnwn)=b1Tu1++bmTum+c1Tw1++cnTwn=b1Su1++bmSum+c1e1++cnen

显然有:rangeTV

另外一方面Tu1,,Tum,Tw1,,Twn包含于rangeT 所以 span(Tu1,,Tum,Tw1,,Twn)rangeT

所以T是满射。又因为3.69(对于有限维空间上的映射而言,满射意味着单射,意味着可逆映射),所以T是可逆映射。

4 3.D.4

W是有限维的,T1,T2L(V,W),证明:nullT1=nullT2当且仅当存在可逆的算子SL(W)使得T1=ST2

假设有nullT1=nullT2,因为W是有限维的,所以rangeT2也是有限维的。假设w1,,wnrangeT2的一个基,所以存在v1,,vnV使得T2vi=wi,i=1,,nv1,,vn的存在性可以通过线性映射基本定理得到满足.

现在证明V=nullT2span(v1,,vn),对于任何vV,存在aiF,i{1,,n}我们有:

T2v=a1w1++anwn

因此有:

T2(va1v1anvn)=0

也就是说: v=(va1v1anvn)+(a1v1++anvn)

又因为v的任意性,所以:

V=nullT2+span(v1,,vn)

接下来我们证明直和的条件成立,即nullT2span(v1,,vn)={0} 假设a1v1++anvnnullT2我们有:

T2(a1v1++anvn)=a1w1++anwn=0

因为w1,,wn是线性无关的,所以a1,,an都是零。所以:

V=nullT2span(v1,,vn)

同样的,因为v1,,vn是线性无关的,所以T1v1,,T1vn也是线性无关的。又因为nullT1=nullT2,所以有:

0=T2(a1v1++anvn)=a1w1++anwn

现在我们扩展两个W的基,一个从T1v1,,T1vn扩展到T1v1,,T1vn,f1,,fm,另一个从w1,,wn扩展到w1,,wn,e1,,em。在这两个基之间我们定义SL(W)使得:

Swi=T1vi,Sej=fj,i=1,,n;j=1,,m

之前我们有V=nullT2span(v1,,vn) 所以对于任何的vV可以写成:

v=vnull+a1v1++anvn

所以有:

ST2(v)=ST2(vnull+a1v1++anvn)=ST2(a1v1++anvn)=S(a1w1++anwn)=a1T1(v1)++anT1(vn)=T1(a1v1++anvn)=T1(vnull+a1v1++anvn)=T1(v)

所以有ST2=T1。因为S是满射,因此S是单射。

另一方面假设存在可逆映射SL(W)满足ST2=T1,对于任何μnullT1,我们有:

ST2μ=T1μ=0

因为S是单射所以,其零空间等于{0},所以T2μ=0,因此μnullT2。所以nullT1nullT2,同样的,考虑到T2=S1T1我们有nullT2nullT1,所以有nullT1=nullT2

5 3.D.5

V是有限维的,T1,T2L(V,W)。证明:rangeT1=rangeT2当且仅当存在可逆的算子SL(V)使得T1=T2S

我们假设rangeT1=rangeT2,令u1,,umnullT1的一个基,我们可以把这个基扩展为V的一个基u1,,um,w1,,wn。那么根据线性映射基本定理的证明过程我们有:rangeT1=span(Tw1,,Twn),另外Tw1,,Twn是线性独立的。因为rangeT1=rangeT2那么存在v1,,vnV使得T1wi=T2vi,i=1,,n因为T1w1,,T1wn是线性独立的,那么T2v1,,T2vn也是线性独立的,所以v1,,vn也是线性独立的。由于rangeT1=rangeT2,则有nullT1=nullT2,令ζ1,,ζmnullT2的一个基,那么ζ1,,ζm,v1,,vnV的一个基。我们定义SL(V),使得:

Sui=ζi,Swj=vj

那么我们有:

T1wj=T2vj=T2Swj,j=1,,n

且:

T1ui=0=T2ζi=T2Sui,i=1,,m

因此T1=T2S,因为我们定义S是在V的一个基上定义的,所以其唯一性得到保证。又因为S是满射,所以S是可逆的。

如果存在一个可逆线性映射SL(V)使得T1=T2S,那么对于μV都有:

T1μ=T2SμrangeT2

所以rangeT1rangeT2

因为S是可逆的,所以T2=T1S1,我们会得到rangeT2rangeT1.综上我们得到了rangeT1=rangeT2

这个题目和上一个题目在证明过程中有些许类似,总结如下:

  1. 都在一个空间上构建了两个基,并在这两个基之间构建了一个可逆映射。
  2. 都用到了基于基构建的线性映射的唯一性。可见3.5非常重要。3.5告诉我们基于定义域的基构建的线性映射具有唯一性。
  3. 都用到了3.22线性映射基本定理证明的过程。
  4. 都用到了一个命题:假设TL(V,W)v1,,vmV的一个向量组,满足Tv1,,Tvm是线性独立的,那么v1,,vm是线性独立的。证明过程很简单。值得注意的是这个问题反过来却不一定成立。即我们不能说v1,,vm是线性独立的,就说Tv1,,Tvm是线性独立的。因为:
a1Tv1++amTvm=T(a1v1++amvm)=0

并不意味着a1v1++amvm=0。因为有可能a1v1++amvmnullT 。在线性映射基本定理3.22的证明过程中考虑到了这一个问题。

6 3.D.6

VW都是有限维的,T1,T2L(V,W),证明:存在可逆的算子RL(V)SL(W)使得T1=ST2R当且仅当dimnullT1=dimnullT2

从正反两个方面完成这个命题的证明。

首先假设存在可逆算子RL(V)SL(W)满足T1=ST2R,那么S1T1=T2R,因此(根据3.D.4)nullT1=nullT2R。因为rangeT2R=rangeT2,所以我们有:

dimnullT2R=dimVdimrangeT2R=dimVdimrangeT2=dimnullT2

因此dimnullT1=dimnullT2

然后证明另一方面。如果dimnullT1=dimnullT2,假设u1,,umnullT1的一个基,我们可以把这个基扩展为V的一个基u1,,um,w1,,wn。假设v1,,vmnullT2的一个基,我们同样可以把这个基扩展为V的一个基v1,,vn,ζ1,,ζn。我们有T1w1,,T1wnW中是线性独立的,所以我们可以把这个线性无关组扩展成为W中的一个基T1w1,,T1wn,α1,,αl,同理,T2ζ1,,T2ζnW中也是线性无关组,因此可以扩展成W的一个基T2ζ1,,T2ζn,β1,,βl,对于V中的两个基,定义线性映射RL(V)

Rui=vi,Rwj=ζj,i=1,,m;j=1,,n

对于W中的两个基,定义线性映射SL(W)

ST2ζj=T1wj,Sβk=αk,j=1,,n;k=1,,l

因为SR是从基到基的映射,因此SR是可逆算子。

综上有T1=ST2R

7 3.D.7

VW是有限维的,vVE={TL(V,W):Tv=0} 证明EL(V,W)的子空间。

证明子空间只需要做三件事情,证明0的存在,证明齐次可加性。

对于这个题目,显然0E

假设T,SE,则有

(T+S)v=Tv+Sv=0+0=0

所以T+SE。对于任意的λF

(λT)v=λ(Tv)=0

假设v0,则dimE等于多少?

因为v0,我们可以把v扩展成V的一个基v,v2,,vn,假设w1,,wmW的一个基。在这两个基下,L(V,W)Fm,n是同构的。

现在因为Tv=0,根据线性映射与矩阵的关系,我们知道M(T)的第一列必须死全零。因此E和第一列是全零的Fm,n同构,因为dimE=dimFm,n=m(n1)=dimW(dimV1)

另外这个映射T可以看做是从span(v2,,vn)W的映射。

8 3.D.8

V是有限维的,T:VWVW的满的线性映射。证明存在V的子空间U,使得T|UUW的同构。(这里T|U)表示函数T限制在U上。也就是说,T|U是一个函数,其定义域为U,且对任意uUT|U(u)=Tu

根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT,在本题中dimrangeT=dimrangeW,我们令dimV=m+n,dimnullT=m,dimrangeT=n 所以在V中我们只要找到一个U使得dimU=n,我们就找到了一个映射T|UUW的同构。因为这两个空间的维度相同。

假设u1,,umnullT的一个基,我们可以把这个基扩展为V上的一个基u1,,um,v1,,vn,我们知道Tv1,,TvnW的一个基(根据线性映射基本定理的证明过程可得。)。我们定义U=span(v1,,vn). 对于任何uU都可以表示成u=a1v1,,anvn的形式。

Tu=T(a1v1++anvn)=a1Tv1++anTvn

TurangeT,又因为Tv1,,Tvn 张成了rangeT所以rangeTTu.

因为T:VW是满射,T|U是满射。又因为对于式(\ref(eq:23))假设Tu=0显然有ai=0,所以null(T|U)={0},所以T|U是单射。

综上T|U是可逆的线性映射,即T|U是同构。

总结一下这个题目的证明不难,但是有几点需要注意的:

  1. 从基到基的映射是单射又是满射。
  2. 一般提高同构就考虑是不是可逆映射,是不是既是单射又是满射,是不是两个空间维度相同。

9 3.D.9

V是有限维的,S,TL(V),证明ST可逆当且仅当ST都可逆。

首先假设ST是可逆的,则有存在RL(V)使得(ST)R=R(ST)=I,如果vV满足Tv=0,那么有:

v=Iv=R(ST)v=0

由于v的任意性,所以nullT=0,所以T是单射,所以T是可逆的。如果uV,那么:

u=Iu=(ST)Ru=S(TRu)

这说明urangeS这说明S是满射,所以S是可逆的。

现在证明另一方向。现在假设S,T都是可逆的,所以:

ST(T1S1)=S(TT1)S1=SS1=I

又因为:

T1S1ST=T1(S1S)T=T1T=I

因此T1S1ST的逆。

10 3.D.10

V是有限维的,S,TL(V),证明ST=I当且仅当TS=I

首先假设ST=I,因为I是可逆的,所以ST是可逆的,所以ST是可逆的。我们对ST=I两边乘以T的逆,则有S=T1

我们把TS中的S换成T1,显然有TS=I

同理,我们也可以从TS=I推导出ST=I.

11 3.D.11

V是有限维的,S,T,UL(V),且STU=I,证明T可逆且T1=US

首先I是可逆的,所以S,T,U都是可逆的,并且T=S1U1,进而T1=US

12 3.D.12

说明上题的结果在V不是有限维时未必成立。

举一个反例。

假设V=C ,定义T,S,U为:

T(z1,z2,z3,)=(0,z1,z2,z3,)S(z1,z2,z3,)=(z2,z3,,z4,)U=I

我们有STU=I,但是T不是满射。

13 3.D.13

V是有限维的,并设R,S,TL(V)使得RST是满射。证明S是单射。

因为V是有限维的,RST是满射意味着RST可逆,所以R,S,T是可逆的。所以S是单射。

14 3.D.14

v1,,vnV的基。映射T:VFn,1定义为Tv=M(v),这里M(v)vV关于基v1,,vn的矩阵。证明TVFn,1上的同构。

我们首先证明T是线性映射,根据线性映射的定义,需要证明T满足齐次可加性。

假设v,wV,我们可以把这两个元素写作:

v=a1v1++anvnw=b1v1++bnvn

则有:

Tv=M(v)=[a1an]Tw=M(w)=[b1bn]

所以有:

T(v+w)=M(v+w)=[a1+b1an+bn]=M(v)+M(w)=Tv+Tw

即,T满足可加性。

另外对于

cv=ca1v1+canvn

T(cv)=M(cv)=[ca1,,can]=cM(v)=cTv

显然,T具有齐次性。

所以T是线性映射。

对于Tv=0,我们有a1==an=0,所以有v=0,因此T是单射;

另外

T(c1v1++cnvn)=[c1cn]

由于c1,,cn取值的任意性,有rangeT=Fn,1

所以T既是单射又是满射。即,T是可逆的。

15 3.D.15

证明Fn,1Bm,1的每个线性映射都是矩阵乘。也就是说,若TL(Fn,1,Fm,1)则存在m×n矩阵A使得对于每个xFn,1都有Tx=Ax

这个题目的证明与3.65类似。这个矩阵A不仅依赖于基的选取,还依赖于T

16 3.D.16

V是有限维的,TL(V),证明:T是标量乘以恒等映射当且仅当对每个SL(V)均有ST=TS

假设T=λI,显然ST=SλI=λSI=λS=λIS=TS

另一方面假设TS=ST

17 3.D.17

V是有限维的,且EL(V)的子空间,使得对于所有SL(V)和所有TE均有STETSE,证明E={0}或者E=L(V)

e1,,enV的一个基,假设E{0},则有非零的TE,这意味着存在一个s{1,,n}满足Tes0,令: Tes=a1e1++anen

因为Tes0,则存在t{1,,n}满足at0. 定义Eijek=δikej,其中:

δjk={0jk1j=k

通过定义,对于每一个i{1,,n}我们有:

EtiTEisej=atδijei,j=1,,n

另外我们之前假设TE,所以EtiTEisE,注意EL(V)的一个子集,所以:

(Et1TE1s++EtnTEns)ej=atej,j=1,,n

并且Et1TE1s++EtnTEnsE,这意味这ajIE,所以对任何SL(V)都有 S=SIE,也就是说E=L(V)

这个题目太难想了。

18 3.D.18

证明VL(F,V)是同构的向量空间