练习：线性映射

首先：如果T是线性的，必有T(0)=0，从而有(b,0)=(0,0)，即b=0。

另外有T(1,1,1)=T(1,1,0)+T(0,0,1)，推出(1+b,6+c)=(−2+b,6)+(3+b,0)，即有c+0

接下来证明b=c=0所以T是线性的。因为b=c=0，则T可以写成： T(x,y,z)=(2x−4y+3z,6x) 这个映射是如下线性映射的特例。

从Fn到Fm，设m,n是正整数，Aj,k∈F,j=1,…,m,k=1,…,n，定义T∈L(Fn,Fm)为：

式1可以写成矩阵的形式为：

假设p,q∈P(R)，若T是线性映射则有： T(p+q)=Tp+Tq 把(3)带入上式，可得b=c=0

然后证明假设b=c=0 ,T是线性映射。按照线性映射的定义来。把定义附在下面，证明过程略。

我们这里准备提前使用一下矩阵的概念。

式5可以写成矩阵的形式为：

令：

则有y=Ax

进而y1+y2=A(x1+x2)

假设存在ai∈F,i=1,…,m使得：

则对两边使用线性映射：

根据线性映射的齐次可加性有：

因为T(v1),…,T(vm)是线性无关的，所以有ai=0,i=1,…,m

即证明了v1,…,vm是线性无关的。

因为dimV=1，说明V的基只有一个向量，即V中的任何一个向量都可以写成另一个非零向量的标量形式，即Tu=au。

现在考虑特定的 v∈V,v=bu，则有：

令ϕ(x,y)=3√x3+y3 。

这个函数满足齐次性，对于ϕ(λ(x,y))，有：

即ϕ满足齐次性。但是ϕ不满足可加性，即

想到了φ(z)=ℜ(z)满足

但是对于i∈F，有:

这个问题在复数域上很好证明，但是在实数域上暂时还没有想到什么好办法。因为实数域上的加法和标量乘法是等效的，即λu=u+…+u⏟λ

首先我们选择u∈U满足Su≠0，然后选择v∈V使得v∉U，那么肯定有u+v∉U

不然的话就会有v=(u+v)−u∈U，产生矛盾。因此u+v∉U. 又因为u∈U,且U是V的子空间，所以u∈V，所以u+v∈V，综上有u+v∈V u+v∉U

那么有T(u+v)=0，但是Tu+Tv=Su+0≠0，所以T不满足可加性。即T不是线性映射

首先因为U是V的子空间，dimU≤dimV,我们可以找到U的一个基U，通过对U扩展dimV−dimU个线性无关组，我们可以得到V的一个基V。所以根据3.5存在一个唯一的线性映射T:V→W，并且满足：

其中i∈{1,…,dimU}，j∈{dimU+1,…,dimV}

对于所有的u=a1u1+…+adimUudimU,ai∈F，有：

关于无限维空间我们之前做过一个证明：V是无限维的当且仅当V中存在一个向量序列v1,…,vm使得当m是任意整数时v1,…,vm都是线性无关的。

在这里我们令U=L(V,W)，即U是所有从V到W的线性映射的集合。由于W是无限维的，所以在W中存在wi,w2,…向量组使得对于任何的m都有w1,…,wm是线性独立的。

接下来定义Ti∈{V,W}满足Ti(v1)=wi. Ti保证存在，但是不一定唯一。我们接下来证明对任意m都有Ti是线性独立的。

假设∃ai∈F,i=1,…,m ,满足：

则有：

因为0映射，映射所有的元素到0. 接着式(25)，推导，我们有：

因为Ti(v1)=wi，所以：

因为wi是线性无关的，所以有ai=0,i={1,…,m}

结合式(24)我们有：Ti,…,Tm是线性独立的。因为m是我们选的任意整数，则有L(V,W)是无限维的。

通过这个题目和上一个题目在处理线性映射空间上的映射时需要把3.5的证明过程烂熟于心啊。要能够构造一些映射关系。

我们采用3.A.11,3.A.12类似的方法，构造一个映射不是线性的即可。

因为W≠0，所以我们可以定义T:V→W，使得：

又因为v1,…,vm是线性相关的所以存在不全为零的bi,i=1,…,m使得:

则有：

根据T的定义：

又因为wj≠0，式(29)和式(\req{eq:2017040424})矛盾。因此T不是线性映射。

假设e1,…,en是V的一组基dimV=n，定义T∈L(V,V)满足：

定义S∈L(V,V)满足：

则有TS(e1)=e2,TS(e2)=2e1 ST(e1)=2e2,ST(e2)=2e1

TSe1≠STe1