练习:线性映射
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1 3.A.1
设b,c∈R,定义T:R3→R2 如下: T(x,y,z)=(2x−4y+3z+b,6x+cxyz) 证明T是线性的当且仅当b=c=0
首先:如果T是线性的,必有T(0)=0,从而有(b,0)=(0,0),即b=0。
另外有T(1,1,1)=T(1,1,0)+T(0,0,1),推出(1+b,6+c)=(−2+b,6)+(3+b,0),即有c+0
接下来证明b=c=0所以T是线性的。因为b=c=0,则T可以写成: T(x,y,z)=(2x−4y+3z,6x) 这个映射是如下线性映射的特例。
从Fn到Fm,设m,n是正整数,Aj,k∈F,j=1,…,m,k=1,…,n,定义T∈L(Fn,Fm)为:
T(x1,x2,…,xn)=(A1,1x1+…+A1,nxn,…,Am,1x1+…+Am,nxn)式1可以写成矩阵的形式为:
[y1y2⋮ym]=[A1,1A1,2…A1,nA2,1A2,2…A2,n⋮⋮⋱⋮Am,1Am,2…Am,n][x1x2⋮xn]2 3.A.2
设b,c∈R,定义T:P(R)→R2如下:
Tp=(3p(4)+5p′(6)+bp(1)p(2),∫2−1x3p(x)dx+csinp(0))证明T是线性的当且仅当b=c=0
假设p,q∈P(R),若T是线性映射则有: T(p+q)=Tp+Tq 把(3)带入上式,可得b=c=0
然后证明假设b=c=0 ,T是线性映射。按照线性映射的定义来。把定义附在下面,证明过程略。
从V 到W的线性映射是具有以下性质的函数T:V→W:
加性: 对所有u,v∈V都有 T(u+v)=T(u)+T(v)
齐次: 对所有的 λ∈F 和v∈V 都有 T(λv)=λ(Tv)
3 3.A.3
设T∈L(Fn,Fm),证明存在标量Aj,k,j=1,…,m,k=1,…,n使得对任意x1,…,xn∈Fn都有
T(x1,…,xn)=(A1,1x1+…A1,nxn,…,Am,1x1+…+Am,nxn)我们这里准备提前使用一下矩阵的概念。
T(x1,x2,…,xn)=(A1,1x1+…+A1,nxn,…,Am,1x1+…+Am,nxn)式5可以写成矩阵的形式为:
[y1y2⋮ym]=[A1,1A1,2…A1,nA2,1A2,2…A2,n⋮⋮⋱⋮Am,1Am,2…Am,n][x1x2⋮xn]令:
y=[y1y2⋮ym] A=[A1,1A1,2…A1,nA2,1A2,2…A2,n⋮⋮⋱⋮Am,1Am,2…Am,n] x=[x1x2⋮xn]则有y=Ax
进而y1+y2=A(x1+x2)
4 3.A.4
设T∈L(V,W) 且v1,…,vm是V中的向量组,使得Tv1,…,Tvm在W中是线性无关的,证明v1,…,vm是线性无关的。
假设存在ai∈F,i=1,…,m使得:
a1v1+…+amvm=0则对两边使用线性映射:
T(a1v1+…+amvm)=T(0)=0根据线性映射的齐次可加性有:
a1T(v1)+…+amT(vm)=0因为T(v1),…,T(vm)是线性无关的,所以有ai=0,i=1,…,m
即证明了v1,…,vm是线性无关的。
5 3.A.7
证明每个从一维向量空间到其自身的线性映射都是乘以某个标量。准确的说,证明:若dimV=1且T∈L(V,V),则有λ∈F使得对所有v∈V都有Tv=λv
因为dimV=1,说明V的基只有一个向量,即V中的任何一个向量都可以写成另一个非零向量的标量形式,即Tu=au。
现在考虑特定的 v∈V,v=bu,则有:
Tv=T(bu)=bT(u)=bau=abu=av6 3.A.8
给出一个函数ϕ:R2→R使得对于所有a∈R和所有的v∈R2有:
ϕ(av)=a(ϕ(v))但是ϕ不是线性的。
令ϕ(x,y)=3√x3+y3 。
这个函数满足齐次性,对于ϕ(λ(x,y)),有:
ϕ(λx,λy)=3√(λx)3+(λy)3=λ3√x3+y3=λϕ(x,y)即ϕ满足齐次性。但是ϕ不满足可加性,即
ϕ(x1+x2,y1+y2)≠ϕ(x1,y1)+ϕ(x2,y2)7 3.A.9
给出一个函数φ:C→C,使得对于所有的w,z∈C都有:
φ(w+z)=φ(w)+φ(z)但是φ不是线性的。
想到了φ(z)=ℜ(z)满足
φ(u+v)=φ(u)+φ(v)但是对于i∈F,有:
φ(iu)≠iφ(u)这个问题在复数域上很好证明,但是在实数域上暂时还没有想到什么好办法。因为实数域上的加法和标量乘法是等效的,即λu=u+…+u⏟λ
8 3.A.10
设U是V的子空间且U≠V,设S∈L(V,W)且S≠0,定义T:V→W如下:
Tv={Svv∈U0v∈V,v∉U证明T不是V上的线性映射。
首先我们选择u∈U满足Su≠0,然后选择v∈V使得v∉U,那么肯定有u+v∉U
不然的话就会有v=(u+v)−u∈U,产生矛盾。因此u+v∉U. 又因为u∈U,且U是V的子空间,所以u∈V,所以u+v∈V,综上有u+v∈V u+v∉U
那么有T(u+v)=0,但是Tu+Tv=Su+0≠0,所以T不满足可加性。即T不是线性映射
9 3.A.11
设V是有限维的。证明V的子空间上的线性映射可以扩张成V上的线性映射。也就是说,证明如果U是V的子空间,S∈L(U,W),那么存在T∈L(V,W)使得对于所有的u∈U都有Tu=Su
首先因为U是V的子空间,dimU≤dimV,我们可以找到U的一个基U,通过对U扩展dimV−dimU个线性无关组,我们可以得到V的一个基V。所以根据3.5存在一个唯一的线性映射T:V→W,并且满足:
Tui=Sui,Tvi=0其中i∈{1,…,dimU},j∈{dimU+1,…,dimV}
对于所有的u=a1u1+…+adimUudimU,ai∈F,有:
Tu=T(a1u1+…+adimUudimU)=a1T(u1)+…+adimUT(udimU)=a1S(u1)+…+adimUS(udimU)=S(a1u1+…+adimUudimU)=Su10 3.A.12
设V 是有限维的且dimV>0,再设W是无限维的,证明L(V,W)是无限维的。
关于无限维空间我们之前做过一个证明:V是无限维的当且仅当V中存在一个向量序列v1,…,vm使得当m是任意整数时v1,…,vm都是线性无关的。
在这里我们令U=L(V,W),即U是所有从V到W的线性映射的集合。由于W是无限维的,所以在W中存在wi,w2,…向量组使得对于任何的m都有w1,…,wm是线性独立的。
接下来定义Ti∈{V,W}满足Ti(v1)=wi. Ti保证存在,但是不一定唯一。我们接下来证明对任意m都有Ti是线性独立的。
假设∃ai∈F,i=1,…,m ,满足:
a1T1+…+amTm=0则有:
(a1T1+…+amTm)(v1)=0因为0映射,映射所有的元素到0. 接着式(25),推导,我们有:
a1(T1v1)+…+am(Tmv1)=0因为Ti(v1)=wi,所以:
a1w1+…+amwm=0因为wi是线性无关的,所以有ai=0,i={1,…,m}
结合式(24)我们有:Ti,…,Tm是线性独立的。因为m是我们选的任意整数,则有L(V,W)是无限维的。
通过这个题目和上一个题目在处理线性映射空间上的映射时需要把3.5的证明过程烂熟于心啊。要能够构造一些映射关系。
11 3.A.13
设v1,…,vm是V中的一个线性相关向量组,并设W≠0,证明存在w1,…,wm∈W使得没有T∈L(V,W)满足Tvk=wk,k=1,…,m
我们采用3.A.11,3.A.12类似的方法,构造一个映射不是线性的即可。
因为W≠0,所以我们可以定义T:V→W,使得:
T(a1v1+…+amvm)=a1w1+…+amwm,wj≠0又因为v1,…,vm是线性相关的所以存在不全为零的bi,i=1,…,m使得:
b1v1+…+bmvm=0则有:
T(b1v1+…+bmvm)=0根据T的定义:
T(b1v1+…+bmvm)=b1w1+…+bmwm又因为wj≠0,式(29)和式(\req{eq:2017040424})矛盾。因此T不是线性映射。
12 3.A.14
设V是有限维的且dimV≥2.证明存在S,T∈L(V,V)使得ST≠TS
假设e1,…,en是V的一组基dimV=n,定义T∈L(V,V)满足:
Te1=e2,Te2=e1,Tei=ei,i>2定义S∈L(V,V)满足:
Se1=e1,Se2=2e2,Sei=ei,i>2则有TS(e1)=e2,TS(e2)=2e1 ST(e1)=2e2,ST(e2)=2e1
TSe1≠STe1