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练习:线性映射

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1 3.A.1

b,cR,定义T:R3R2 如下: T(x,y,z)=(2x4y+3z+b,6x+cxyz) 证明T是线性的当且仅当b=c=0

首先:如果T是线性的,必有T(0)=0,从而有(b,0)=(0,0),即b=0

另外有T(1,1,1)=T(1,1,0)+T(0,0,1),推出(1+b,6+c)=(2+b,6)+(3+b,0),即有c+0

接下来证明b=c=0所以T是线性的。因为b=c=0,则T可以写成: T(x,y,z)=(2x4y+3z,6x) 这个映射是如下线性映射的特例。

FnFm,设m,n是正整数,Aj,kF,j=1,,m,k=1,,n,定义TL(Fn,Fm)为:

T(x1,x2,,xn)=(A1,1x1++A1,nxn,,Am,1x1++Am,nxn)

1可以写成矩阵的形式为:

[y1y2ym]=[A1,1A1,2A1,nA2,1A2,2A2,nAm,1Am,2Am,n][x1x2xn]

2 3.A.2

b,cR,定义T:P(R)R2如下:

Tp=(3p(4)+5p(6)+bp(1)p(2),21x3p(x)dx+csinp(0))

证明T是线性的当且仅当b=c=0

假设p,qP(R),若T是线性映射则有: T(p+q)=Tp+Tq 把(3)带入上式,可得b=c=0

然后证明假设b=c=0 ,T是线性映射。按照线性映射的定义来。把定义附在下面,证明过程略。

VW的线性映射是具有以下性质的函数T:VW:

加性: 对所有u,vV都有 T(u+v)=T(u)+T(v)

齐次: 对所有的 λFvV 都有 T(λv)=λ(Tv)

3 3.A.3

TL(Fn,Fm),证明存在标量Aj,k,j=1,,m,k=1,,n使得对任意x1,,xnFn都有

T(x1,,xn)=(A1,1x1+A1,nxn,,Am,1x1++Am,nxn)

我们这里准备提前使用一下矩阵的概念。

T(x1,x2,,xn)=(A1,1x1++A1,nxn,,Am,1x1++Am,nxn)

5可以写成矩阵的形式为:

[y1y2ym]=[A1,1A1,2A1,nA2,1A2,2A2,nAm,1Am,2Am,n][x1x2xn]

令:

y=[y1y2ym] A=[A1,1A1,2A1,nA2,1A2,2A2,nAm,1Am,2Am,n] x=[x1x2xn]

则有y=Ax

进而y1+y2=A(x1+x2)

4 3.A.4

TL(V,W)v1,,vmV中的向量组,使得Tv1,,TvmW中是线性无关的,证明v1,,vm是线性无关的。

假设存在aiF,i=1,,m使得:

a1v1++amvm=0

则对两边使用线性映射:

T(a1v1++amvm)=T(0)=0

根据线性映射的齐次可加性有:

a1T(v1)++amT(vm)=0

因为T(v1),,T(vm)是线性无关的,所以有ai=0,i=1,,m

即证明了v1,,vm是线性无关的。

5 3.A.7

证明每个从一维向量空间到其自身的线性映射都是乘以某个标量。准确的说,证明:若dimV=1TL(V,V),则有λF使得对所有vV都有Tv=λv

因为dimV=1,说明V的基只有一个向量,即V中的任何一个向量都可以写成另一个非零向量的标量形式,即Tu=au

现在考虑特定的 vV,v=bu,则有:

Tv=T(bu)=bT(u)=bau=abu=av

6 3.A.8

给出一个函数ϕ:R2R使得对于所有aR和所有的vR2有:

ϕ(av)=a(ϕ(v))

但是ϕ不是线性的。

ϕ(x,y)=3x3+y3

这个函数满足齐次性,对于ϕ(λ(x,y)),有:

ϕ(λx,λy)=3(λx)3+(λy)3=λ3x3+y3=λϕ(x,y)

ϕ满足齐次性。但是ϕ不满足可加性,即

ϕ(x1+x2,y1+y2)ϕ(x1,y1)+ϕ(x2,y2)

7 3.A.9

给出一个函数φ:CC,使得对于所有的w,zC都有:

φ(w+z)=φ(w)+φ(z)

但是φ不是线性的。

想到了φ(z)=(z)满足

φ(u+v)=φ(u)+φ(v)

但是对于iF,有:

φ(iu)iφ(u)

这个问题在复数域上很好证明,但是在实数域上暂时还没有想到什么好办法。因为实数域上的加法和标量乘法是等效的,即λu=u++uλ

8 3.A.10

UV的子空间且UV,设SL(V,W)S0,定义T:VW如下:

Tv={SvvU0vV,vU

证明T不是V上的线性映射。

首先我们选择uU满足Su0,然后选择vV使得vU,那么肯定有u+vU

不然的话就会有v=(u+v)uU,产生矛盾。因此u+vU. 又因为uU,且UV的子空间,所以uV,所以u+vV,综上有u+vV u+vU

那么有T(u+v)=0,但是Tu+Tv=Su+00,所以T不满足可加性。即T不是线性映射

9 3.A.11

V是有限维的。证明V的子空间上的线性映射可以扩张成V上的线性映射。也就是说,证明如果UV的子空间,SL(U,W),那么存在TL(V,W)使得对于所有的uU都有Tu=Su

首先因为UV的子空间,dimUdimV,我们可以找到U的一个基U,通过对U扩展dimVdimU个线性无关组,我们可以得到V的一个基V。所以根据3.5存在一个唯一的线性映射T:VW,并且满足:

Tui=Sui,Tvi=0

其中i{1,,dimU}j{dimU+1,,dimV}

对于所有的u=a1u1++adimUudimU,aiF,有:

Tu=T(a1u1++adimUudimU)=a1T(u1)++adimUT(udimU)=a1S(u1)++adimUS(udimU)=S(a1u1++adimUudimU)=Su

10 3.A.12

V 是有限维的且dimV>0,再设W是无限维的,证明L(V,W)是无限维的。

关于无限维空间我们之前做过一个证明:V是无限维的当且仅当V中存在一个向量序列v1,,vm使得当m是任意整数时v1,,vm都是线性无关的。

在这里我们令U=L(V,W),即U是所有从VW的线性映射的集合。由于W是无限维的,所以在W中存在wi,w2,向量组使得对于任何的m都有w1,,wm是线性独立的。

接下来定义Ti{V,W}满足Ti(v1)=wi. Ti保证存在,但是不一定唯一。我们接下来证明对任意m都有Ti是线性独立的。

假设aiF,i=1,,m ,满足:

a1T1++amTm=0

则有:

(a1T1++amTm)(v1)=0

因为0映射,映射所有的元素到0. 接着式(25),推导,我们有:

a1(T1v1)++am(Tmv1)=0

因为Ti(v1)=wi,所以:

a1w1++amwm=0

因为wi是线性无关的,所以有ai=0,i={1,,m}

结合式(24)我们有:Ti,,Tm是线性独立的。因为m是我们选的任意整数,则有L(V,W)是无限维的。

通过这个题目和上一个题目在处理线性映射空间上的映射时需要把3.5的证明过程烂熟于心啊。要能够构造一些映射关系。

11 3.A.13

v1,,vmV中的一个线性相关向量组,并设W0,证明存在w1,,wmW使得没有TL(V,W)满足Tvk=wk,k=1,,m

我们采用3.A.11,3.A.12类似的方法,构造一个映射不是线性的即可。

因为W0,所以我们可以定义T:VW,使得:

T(a1v1++amvm)=a1w1++amwm,wj0

又因为v1,,vm是线性相关的所以存在不全为零的bi,i=1,,m使得:

b1v1++bmvm=0

则有:

T(b1v1++bmvm)=0

根据T的定义:

T(b1v1++bmvm)=b1w1++bmwm

又因为wj0,式(29)和式(\req{eq:2017040424})矛盾。因此T不是线性映射。

12 3.A.14

V是有限维的且dimV2.证明存在S,TL(V,V)使得STTS

假设e1,,enV的一组基dimV=n,定义TL(V,V)满足:

Te1=e2,Te2=e1,Tei=ei,i>2

定义SL(V,V)满足:

Se1=e1,Se2=2e2,Sei=ei,i>2

则有TS(e1)=e2,TS(e2)=2e1 ST(e1)=2e2,ST(e2)=2e1

TSe1STe1