练习：矩阵
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本章的题目都不难，只要紧扣线性映射矩阵的定义和矩阵加法，矩阵标量乘法，矩阵乘法的定义即可轻松完成所有题目。为节省时间，最后几个题目略去不提。
1 3.C.1
设V和W都是有限维的，T∈L(V,W),证明对于V和W的任意基，T的矩阵都至少有dimrangeT个非零元
首先我们知道rangeT中一定有dimrangeT个线性无关的向量u1,u2,…,um, m=dimrangeT。rangeT就是由这些向量张成的子空间。
2 3.C.2
设D∈L(P3(R),P2(R))是微分映射Dp=p′，求P3(R)的一个基和P2(R)的一个基，使得D 关于这些基的矩阵为：
[100001000010]这里在重复一下根据线性映射定义矩阵的过程。假设V的基是v1,…,vn，W的基是w1,…,wm，有线性映射T∈L(V,W)，则T关于V和W的两个基定义的矩阵是A，则有
Tvk=A1,kw1+…+Am,kwm对于题目中给定的矩阵。我们有：
Tv1=w1Tv2=w2Tv3=w3Tv4=0一个可能的组合是:V的基为{x,x22,x33,1}，W的基为1,x,x2 。
显然有：
T(x)=1T(x2/2)=xT(x3/3)=x2T(1)=03 3.C.3
设V和W都是有限维的，T∈L(V,W).证明存在V的一个基和W的一个基使得关于这些基，M(T)除了第j行第j列1≤j≤dimrangeT的元素意外，其余元素都为0
根据线性映射矩阵定义，M(T)的行是rangeT基的大小。我们定义线性映射：
Tvk=wk,k=1,…,dimrangeT这个映射对应的矩阵就是题目中所描述的矩阵。
在证明过程中，采用的思路和证明线性映射基本定理相同。
4 3.C.4
设v1,…,vm是V的基，且W是有限维的。设T∈L(V,W)。证明存在W的一个基w1,…,wn使得在T关于基v1,…,vm和w1,…,wn的矩阵M(T)中，除了第一行第一列的元素可能为1之外，第一列的其余元素均为0.
存在映射：T∈(V,W)满足：
Tv1=w1Tv2=w1+w2⋮⋮Tvn=wn−1+wn5 3.C.5
设w1,…,wn是W的一个基，且V是有限维的。设T∈L(V,W)。证明存在V的一个基v1,…,vm使得，在T关于v1,…,vm和w1,…,wn的矩阵M(T)中，除了第一行第一列的元素可能为1之外，第一行的其余元素均为0。
这个题目的证明和3.C.4类似。略。做这样的题目的时候最好把从线性映射定义矩阵的过程给默想一遍。
6 3.C.6
设V和W都是有限维的，T∈L(V,W) 证明dimrangeT=1当且仅当V和W各有一个基使得关于这些基M(T)的所有元素都是1.
我们先从当V和W各有一个基使得关于这些基M(T)的所有元素都是1导出dimrangeT=1
根据线性映射基本定理的证明过程，我们知道V的基中存在一个线性无关组u1,…,un张成了nullT，而另外一些线性无关向量v1,…,vm是基于u1,…,un扩展而来的。
假设 w1,…,wp是W的一个基，定义线性映射：
Tv1=w1+…+wp⋮⋮Tvn=w1+…+wp这个线性映射满足dimrangeT=1
接下来我们证明另外一方面.因为dimrangeT=1，我们有以上定义的线性映射满足M(T)的所有元素都是1。
证明这个命题，主要还是采用线性映射基本定理中的方法。
7 3.C.7
验证 3.36
从线性映射的矩阵定义出发。略。
8 3.C.8
验证3.38
从线性映射的矩阵定义出发。
9 3.C.9
证明3.52
从矩阵乘法定义出发。假设
A=[A1,1…A1,n⋮⋱⋮Am,1…Am,n]则Ac是一个m×1的列向量。并且有：
Ac=[∑ni=1A1,ici∑ni=1A2,ici⋮∑ni=1Amici]通过对上式右端展开，得：
Ac=[∑ni=1A1,ici∑ni=1A2,ici⋮∑ni=1Amici]=c1[A1,1A2,1⋮Am,1]+c2[A1,2A2,2⋮Am,2]+…+cn[A1,nA2,n⋮Am,n]10 3.C.10
设A是m×n矩阵，C是n×p矩阵。证明对于1≤j≤m (AC)j,⋅=Aj,⋅C
也就是说，证明AC的第j行等于A的第j行乘以C
略去证明。
在学习MIT Strang教授的线性代数时掌握这种观点。AC的每一行是C的行向量的线性组合，线性组合系数是A对应的行的元素。
11 3.C.11
设a=(a1…an)是1×n矩阵，C是n×p矩阵。证明aC=a1C1,⋅+…+anCn,⋅
此题是3.C.10 的特例。