练习：向量空间的积与商

正式的将，\(V\)到\(W\)的函数\(T\)是\(V\times W\)的一个子集\(T\)，使得对于每个\(v\in V\)都有一个元素\((v,w)\in T\)，也就是说，函数正式的讲就是上面所谓的图。我们通常并不把函数看成上面的这种正式形式。然而，如果采用上面的正式形式，则本题可以重述为：证明\(V\)到\(W\)的函数\(T\)是线性映射当且仅当\(T\)是\(V\times W\)的子空间。

假设\(T\)是线性映射则，对于\(u,v\in V, \lambda \in \mathbf{F}\)有:\(T(u+v) = Tu + Tv, T(\lambda u) = \lambda Tu\).

基对于\((u,Tu),(v,Tv)\in T\),则有\((u+v,T(u+v)) \in T\)，齐次性的证明类似。

所以我们可以从\(T\)是线性映射推出\(T\)的图是\(V\times W\)的子空间。

另一方面，假设 T 的图是\(V\times W\)的一个子空间，则对于\((v,Tv),(u,Tu)\)有\((u+v,T(u+v))\)也属于\(T\)的图，根据线性映射的定义有\(Tv+ Tw = T(v+W)\)。另外\(T\)的齐次性证明类似。

综上，命题得证。

根据 3.76，命题得证。\(\dim (V_{1}\times V_{2} \ldots \times V_{m}) = \sum_{j=1}^{m}\dim V_{j}\)

这种问题的证明一般是先证明\(U\subseteq W\)，然后\(W\subseteq U\).

首先我们证明\(U\subseteq W\)。因为\(v+U = x + W\)，则存在\(w_{1}\in W\)使得\(v = x+ w_{1}\)。所以有\(v-x \in W\)，对于任何的\(u\in U\)，存在\(w_{2}\in W\)有\[v+u = x+ w_{2}\] 所以有：\[u = (x-v) + w_{2}\in W\] 所以有\(U\subseteq W\)。类似的有\(W\subseteq U\)

首先假设\(A\)是\(V\)的一个仿射子集，则存在\(a\in V\)和\(V\)的子空间\(U\)，使得\(A = a+ U\)。对于\(A\)中的任何向量\(v,w\)都存在\(u_{1},u_{2}\in U\)可以写成\(v = a+ u_{1}\),\(w = a+ u_{2}\).因此： \[\lambda v + (1-\lambda)w = a + [\lambda u_{1} + (1-\lambda)u_{2}] \in a + U = A\]

另一方面，因为\(A\)非空，假设\(a\in A\)，只要我们证明\[A-a = \{x-a:x\in A\}\] 是\(V\)的一个子空间。因为只要证明\(A-a\)是\(V\)的子空间，则\(A = a+A-a\)，我们就可以得到\(A\)是\(V\)的仿射子集。

对于\(x-a\in A -a \)，\(\lambda \in \mathbf{F}\)，那么：

\begin{equation} \label{eq:1} \lambda x + (1-\lambda)a \in A \rightarrow \lambda(x-a) = \lambda x + (1-\lambda)a -a \in A -a \end{equation}

这意味着\(A-a\)标量乘法封闭。对于\(x-a\in A-a\)和\(y-a\in A-a\)，其中\(x,y\in A\),我们有： \(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} -a \in A -a\) 因为\(A-a\)在标量乘法下封闭，所以\[(x-a) + (y-a) = 2(x/2 + y/2 -a) \in A-a\]

即，\(A-a\)加法封闭，所以\(A-a\)是\(V\)的一个子空间。

假设\(A_{1}\cap A_{2} = \varnothing\)，那么对于\(x,y\in A_{1}\cap A_{2}\) 和\(\lambda \in \mathbf{F}\)，根据上一题，我们有：

\begin{equation} \label{eq:2} \lambda x + (1-\lambda)y \in A_{1} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:3} \lambda x + (1-\lambda)y \in A_{2} \end{equation}

，所以\(\lambda x + (1-\lambda)y \in A_{1} \cap A_{2} \)

再次利用上一题的结论，\(A_{1}\cap A_{2}\)是\(V\)的一个仿射子集。

证明过程如上一题。

1. 设\(v = \lambda_{1}v_{1} + \ldots + \lambda_{m}v_{m} \in A\)，\(w = \eta_{1}v_{1} + \ldots + \eta_{m}v_{m} \in A\)，其中\(\lambda_{1} ,\ldots ,\lambda_{m}\in \mathbf{F}\)， \(\lambda_{1} + \ldots + \lambda_{m} = 1\)，\(\eta_{1} ,\ldots ,\eta_{m}\in \mathbf{F}\)， \(\eta_{1} + \ldots + \eta_{m} = 1\)，

对任意的\(\lambda \in \mathbf{F}\)，有：

\begin{equation} \label{eq:5} \lambda v + (1-\lambda)w = \sum_{i=1}^{m}(\lambda\lambda_{i} + (1-\lambda)\eta_{i})v_{i} \end{equation}

注意到：

\begin{equation} \label{eq:6} \sum_{i=1}^{m}(\lambda\lambda_{i} + (1-\lambda)\eta_{i}) = \lambda \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i} + (1-\lambda) \sum_{i=1}^{m}\eta_{i} = \lambda + (1-\lambda) = 1 \end{equation}

所以有：\(\lambda v + (1-\lambda)w \in A\)，根据第 8 题，我们有：\(A\)是\(V\)的仿射子集。

这个问题 告诉我们证明一个子集是仿射子集不一定要按照定义来，也可以从第 8 题的思路出发。

1. 接下来使用数学归纳法来证明对人包含\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)的仿射子集包含\(A\).

对于\(k\leq m\)，如果\(\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i} = 1\)，我们有：

\begin{equation} \label{eq:7} \sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}v_{j} \in W \end{equation}

对于\(k=1,2\)，根据 3.E.8，我们有命题成立。

假设对于\(k\)命题成立，则对于\(k+1\leq m\)，假设有\(\sum_{i}^{k+1}\lambda_{i} = 1\)，如果\(\lambda_{k+1} = 1\)，那么

\begin{equation} \label{eq:8} \sum_{j=1}^{k+1}\lambda_{j}v_{j} = v_{k+1} \in W \end{equation}

如果\(\lambda_{k+1} \neq 1\),那么：

\begin{equation} \label{eq:9} \frac{1}{1-\lambda_{k+1}}(\lambda_{1}v_{1} + \ldots + \lambda_{k}v_{k}) \in W \end{equation}

也就是说：

\begin{equation} \label{eq:10} \lambda_{1}v_{1} + \ldots + \lambda_{k+1}v_{k+1} \in W \end{equation}

所以\(\lambda_{1}v_{1} + \ldots + \lambda_{m}v_{m}\in W\)

1. 因为\(\lambda_{1} + \ldots \lambda_{m} = 1\)，那么：

\begin{equation} \label{eq:11} \lambda_{1}v_{1} + \ldots + \lambda_{m}v_{m} = v_{1} + \lambda_{2}(v_{2} -v_{1}) + \ldots + \lambda_{m}(v_{m} - v_{1}) \end{equation}

因此\(A\subseteq v_{1} + span(v_{2} - v_{1},\ldots ,v_{m}-v_{1})\), \(v\)可以写为另外一种形式：

\begin{equation} \label{eq:12} v_{1} + \sum_{j=2}^{m}\lambda_{i}(v_{i} - v_{1}) = (1-\lambda_{2} - \ldots -\lambda_{m}) + \sum_{i=2}^{m}\lambda_{i}v_{i} \end{equation}

注意:\(1-\lambda_{2} - \ldots -\lambda_{m} + \sum_{j=2}^{m}\lambda_{i} = 1\)，所以

\begin{equation} \label{eq:13} v_{1} + span(v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{m} - v_{1}) \subseteq A \end{equation}

继而有：

\begin{equation} \label{eq:14} A = v_{1} + span(v_{2} - v_{1},\ldots ,v_{m}-v_{1}) \end{equation}

令\(v=v_{1}\)，\(U = span(v_{2} -v_{1})\)，则有\(\dim U \leq m-1\)