练习：向量空间的积与商

正式的将，V到W的函数T是V×W的一个子集T，使得对于每个v∈V都有一个元素(v,w)∈T，也就是说，函数正式的讲就是上面所谓的图。我们通常并不把函数看成上面的这种正式形式。然而，如果采用上面的正式形式，则本题可以重述为：证明V到W的函数T是线性映射当且仅当T是V×W的子空间。

假设T是线性映射则，对于u,v∈V,λ∈F有:T(u+v)=Tu+Tv,T(λu)=λTu.

基对于(u,Tu),(v,Tv)∈T,则有(u+v,T(u+v))∈T，齐次性的证明类似。

所以我们可以从T是线性映射推出T的图是V×W的子空间。

另一方面，假设 T 的图是V×W的一个子空间，则对于(v,Tv),(u,Tu)有(u+v,T(u+v))也属于T的图，根据线性映射的定义有Tv+Tw=T(v+W)。另外T的齐次性证明类似。

综上，命题得证。

根据 3.76，命题得证。dim(V1×V2…×Vm)=∑mj=1dimVj

这种问题的证明一般是先证明U⊆W，然后W⊆U.

首先我们证明U⊆W。因为v+U=x+W，则存在w1∈W使得v=x+w1。所以有v−x∈W，对于任何的u∈U，存在w2∈W有v+u=x+w2

所以有：u=(x−v)+w2∈W 所以有U⊆W。类似的有W⊆U

首先假设A是V的一个仿射子集，则存在a∈V和V的子空间U，使得A=a+U。对于A中的任何向量v,w都存在u1,u2∈U可以写成v=a+u1,w=a+u2.因此： λv+(1−λ)w=a+[λu1+(1−λ)u2]∈a+U=A

另一方面，因为A非空，假设a∈A，只要我们证明A−a={x−a:x∈A}

是V的一个子空间。因为只要证明A−a是V的子空间，则A=a+A−a，我们就可以得到A是V的仿射子集。

对于x−a∈A−a，λ∈F，那么：

λx+(1−λ)a∈A→λ(x−a)=λx+(1−λ)a−a∈A−a

这意味着A−a标量乘法封闭。对于x−a∈A−a和y−a∈A−a，其中x,y∈A,我们有： x2+y2−a∈A−a 因为A−a在标量乘法下封闭，所以(x−a)+(y−a)=2(x/2+y/2−a)∈A−a

即，A−a加法封闭，所以A−a是V的一个子空间。

假设A1∩A2=∅，那么对于x,y∈A1∩A2 和λ∈F，根据上一题，我们有：

λx+(1−λ)y∈A1 λx+(1−λ)y∈A2

，所以λx+(1−λ)y∈A1∩A2

再次利用上一题的结论，A1∩A2是V的一个仿射子集。

证明过程如上一题。

1. 设v=λ1v1+…+λmvm∈A，w=η1v1+…+ηmvm∈A，其中λ1,…,λm∈F， λ1+…+λm=1，η1,…,ηm∈F， η1+…+ηm=1，

对任意的λ∈F，有：

λv+(1−λ)w=m∑i=1(λλi+(1−λ)ηi)vi

注意到：

m∑i=1(λλi+(1−λ)ηi)=λm∑i=1λi+(1−λ)m∑i=1ηi=λ+(1−λ)=1

所以有：λv+(1−λ)w∈A，根据第 8 题，我们有：A是V的仿射子集。

这个问题 告诉我们证明一个子集是仿射子集不一定要按照定义来，也可以从第 8 题的思路出发。

1. 接下来使用数学归纳法来证明对人包含v1,…,vm的仿射子集包含A.

对于k≤m，如果∑ki=1λi=1，我们有：

k∑j=1λjvj∈W

对于k=1,2，根据 3.E.8，我们有命题成立。

假设对于k命题成立，则对于k+1≤m，假设有∑k+1iλi=1，如果λk+1=1，那么

k+1∑j=1λjvj=vk+1∈W

如果λk+1≠1,那么：

11−λk+1(λ1v1+…+λkvk)∈W

也就是说：

λ1v1+…+λk+1vk+1∈W

所以λ1v1+…+λmvm∈W

1. 因为λ1+…λm=1，那么：

λ1v1+…+λmvm=v1+λ2(v2−v1)+…+λm(vm−v1)

因此A⊆v1+span(v2−v1,…,vm−v1), v可以写为另外一种形式：

v1+m∑j=2λi(vi−v1)=(1−λ2−…−λm)+m∑i=2λivi

注意:1−λ2−…−λm+∑mj=2λi=1，所以

v1+span(v2−v1,…,vm−v1)⊆A

继而有：

A=v1+span(v2−v1,…,vm−v1)

令v=v1，U=span(v2−v1)，则有dimU≤m−1