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线性映射的矩阵表示

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从同济大学的线性代数课本里第一次接触矩阵。接触矩阵之前刚刚被各种奇葩的行列式计算折磨。矩阵的到来又是一堆公式,实在让人摸不着头脑。《linear algebra done right》从线性映射出发,赋予矩阵更深层次的意义。我觉得矩阵的概念就应该从线性映射导出。

1 矩阵与线性映射的关系

接下来我们就用矩阵来表示线性映射。我们知道如果v1,,vnV的基,且T:VW是线性的,那么Tv1,,Tvn的值确定了TV的任意向量上的值,因为我们之前证明过 dimV=dimnullT+dimrangeT。 马上就可以看到,利用矩阵和W的基,矩阵可以有效地记录这些Tvj

m,n是正整数,m×n矩阵A是由F的元素构成的mn列的矩阵:

A=[A1,1A1,nAm,1Am,n]

TL(V,W),并设 v1,,vnV的基,w1,,wnW的基。规定T关于这些基的矩阵为m×n矩阵M(T),其中Aj,k满足: Tvk=A1,kw1++Am,kwm

线性映射TL(V,W)的矩阵M(T)依赖于V的基v1,,vnW的基w1,,wn以及T。把Tvk写成w1,,wn的线性组合:Tvk=A1,kw1++Am,kwm 其中的系数就构成了M(T)的第k列。如果T是从n维空间到m维空间的一个线性映射,则M(T)是一个m×n矩阵。

TL(F2,F3)定义如下: T(x,y)=(x+3y,2x+5y,7x+9y)T关于F2F3的标准基的矩阵为:

M(T)=[132579]

在这个例子中,我们需要从F2 的标准基(1,0),(0,1)F3的标准基构建T(x,y)=(x+3y,2x+5y,7x+9y)的映射。显然有T(1,0)=(1,2,7),T(0,1)=(3,5,9)

DL(P3(R),P2(R))是微分映射 Dp=p, 求D关于 P3(R)P2(R)的标准基矩阵。(在考虑Pm(F)时,除非特别声明,总是用标准基1,x,x2,,xm) 显然我们有 D(1)=0,D(x)=1,D(x2)=2x,D(x3)=3x2 ,则有:

M(D)=[010000200003]

2 矩阵加法和标量乘法与线性映射的关系

我们假定VW总是有限维的,且已经确定VW的基,对于每个从VW的线性映射,我们都可以谈论它的矩阵(当然这个矩阵也是关于这些确定的基的。)。

首先我们探讨两个线性映射之和的矩阵是否是这两个线性映射矩阵之和。这个问题到现在还没有意义,因为我们还没有定义矩阵之和(当然这是严谨的做法,事实上,矩阵之和的定义相当简单)。

规定两个同样大小的矩阵的和是把矩阵中对应的元素相加得到的矩阵:

[A1,1A1,nAm,1Am,n]+[C1,1C1,nCm,1Cm,n]=[A1,1+C1,1A1,n+C1,nAm,1+Cm,1Am,n+Cm,n]

对于S,TL(V,W),假设S+T,S,T都采用相同的基,则有M(S+T)=M(S)+M(T)

规定标量与矩阵的乘积就是用该标量乘以矩阵中的每个元素

λ[A1,1A1,nAm,1Am,n]=[λA1,1λA1,nλAm,1λAm,n]

假设线性映射λTT使用相同的基,则对于TL(V,W)M(λT)=λM(T)

对于正整数mn,元素取自F的所有m×n的矩阵构成的集合记为Fm,nFm,nmn维向量空间。

对于Fmn是向量空间的证明只用参照向量空间的定义即可,另外我们可以发现对于Fm,n,某个位置为1其余位置为0的元素构成了Fm,n的基,共有mn个这样的矩阵,所以Fmn的维数等于mn. 我们可以先证明某个位置为1,其余位置为零的矩阵张成了Fmn,然后证明这些元素是线性无关的。

3 矩阵乘法与线性映射的关系

我们假设v1,,vnV的基,w1,,wmW的基,并设U是另一个向量空间,u1,,upU的基。考虑线性映射S:UV,T:VW,他们的复合映射ST是从UW的线性映射。那么M(ST)是否等于M(S)乘以M(T)呢?

对于这个问题,我们的处理方法是,找到矩阵乘法的一种合适的定义,使其满足M(ST)=M(S)M(T)

M(S)=A,M(T)=C, 则有:

(ST)uk=S(Tuk)=S(ni=1Ci,kvi)=ni=1Ci,kS(vi)=ni=1Ci,kmj=1Aj,iwj=ni=1mj=1Ci,kAj,iwj=mj=1ni=1(Aj,iCi,k)wj

因此M(ST)m×p矩阵,它的第j行第k列元素等于ni=1Aj,iCi,k

Am×n矩阵,Cn×p矩阵,AC定义为m×p矩阵,其第j行第k列元素是(AC)j,k=ni=1Aj,iCi,k

即,把A的第j行和C的第k列的对应元素相乘再求和就得到AC的第j行第k列元素。从定义我们也可以看出只有当一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数的时候才可以进行矩阵乘法计算。另外我们还可以发现,对于1kp(AC),k=AC,k,即AC的第k列等于A乘以C的第k列。我们可以把这个过程当做C中第k列的元素和A中各个列构成的线性组合。

假设考虑TL(U,V)SL(V,W)时使用V的同一基,在考虑SL(V,W)STL(U,W)是使用W的同一基,在考虑TL(U,V)STL(U,W)是使用U的同一基,有M(ST)=M(S)M(T)