线性映射的矩阵表示

从同济大学的线性代数课本里第一次接触矩阵。接触矩阵之前刚刚被各种奇葩的行列式计算折磨。矩阵的到来又是一堆公式，实在让人摸不着头脑。《linear algebra done right》从线性映射出发，赋予矩阵更深层次的意义。我觉得矩阵的概念就应该从线性映射导出。

1 矩阵与线性映射的关系

接下来我们就用矩阵来表示线性映射。我们知道如果是的基，且是线性的，那么的值确定了在的任意向量上的值，因为我们之前证明过。马上就可以看到，利用矩阵和的基，矩阵可以有效地记录这些

设是正整数，矩阵是由的元素构成的行列的矩阵:

设，并设是的基，是的基。规定关于这些基的矩阵为矩阵，其中满足：

线性映射的矩阵依赖于的基和的基以及。把写成的线性组合：其中的系数就构成了的第列。如果是从维空间到维空间的一个线性映射，则是一个矩阵。

设定义如下：则关于和的标准基的矩阵为：

在这个例子中，我们需要从的标准基和的标准基构建的映射。显然有

设是微分映射 , 求关于和的标准基矩阵。（在考虑时，除非特别声明，总是用标准基）显然我们有 ,则有：

我们假定和总是有限维的，且已经确定和的基，对于每个从到的线性映射，我们都可以谈论它的矩阵（当然这个矩阵也是关于这些确定的基的。）。

首先我们探讨两个线性映射之和的矩阵是否是这两个线性映射矩阵之和。这个问题到现在还没有意义，因为我们还没有定义矩阵之和（当然这是严谨的做法，事实上，矩阵之和的定义相当简单）。

规定两个同样大小的矩阵的和是把矩阵中对应的元素相加得到的矩阵：

对于，假设都采用相同的基，则有

规定标量与矩阵的乘积就是用该标量乘以矩阵中的每个元素

假设线性映射和使用相同的基，则对于有

对于正整数和，元素取自的所有的矩阵构成的集合记为则是维向量空间。

对于是向量空间的证明只用参照向量空间的定义即可，另外我们可以发现对于，某个位置为其余位置为的元素构成了的基，共有个这样的矩阵，所以的维数等于. 我们可以先证明某个位置为1，其余位置为零的矩阵张成了，然后证明这些元素是线性无关的。

我们假设是的基，是的基，并设是另一个向量空间，是的基。考虑线性映射，他们的复合映射是从到的线性映射。那么是否等于乘以呢？

对于这个问题，我们的处理方法是，找到矩阵乘法的一种合适的定义，使其满足。

设, 则有：

因此是矩阵，它的第行第列元素等于

设是矩阵，是矩阵，定义为矩阵，其第行第列元素是

即，把的第行和的第列的对应元素相乘再求和就得到的第行第列元素。从定义我们也可以看出只有当一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数的时候才可以进行矩阵乘法计算。另外我们还可以发现，对于有，即的第列等于乘以的第列。我们可以把这个过程当做中第列的元素和中各个列构成的线性组合。

假设考虑和时使用的同一基，在考虑和是使用的同一基，在考虑和是使用的同一基，有