向量空间的积

设\(V_{1},\ldots ,V_{m}\)均为\(\mathbf{F}\)上的向量空间。

  1. 定义积\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\)为：\[V_{1}\times \ldots \times V_{m} = \{(v_{1},\ldots ,v_{m}):v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{m}\in V_{m}\}\]
  2. 定义\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\)上的加法为：\[(u_{1},\ldots ,u_{m}) + (v_{1},\ldots ,v_{m}) = (u_{1}+v_{1},\ldots ,u_{m}+v_{m})\]
  3. 定义\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\)上的标量乘法为\[\lambda (v_{1},\ldots ,v_{m}) = (\lambda v_{1}, \lambda v_{2}, \ldots ,\lambda v_{m})\]

显然，向量空间的积也是向量空间，我们只需要证明其满足齐次可加性，并且零元也位于这个空间即可。

\(\mathcal{P}_{2}( \mathbf{R}) \times \mathbf{R}^{3}\)中的元素是长度为\(2\)的组，组的第一项是\( \mathcal{P}_{2}( \mathbf{R})\)中的元素，组的第二项是\( \mathbf{R}^{3}\)中的元素。比如\((5-6x+x^{2},(5,8，6))\in \mathcal{P}_{2}( \mathbf{R}) \times \mathbf{R}^{3}\)

\( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3}\)等于\( \mathbf{R}^{5}\)么？ \( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3}\)与\( \mathbf{R}^{5}\)同构么？

首先根据定义，\( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3} = ((x_1,x_2),(x_3,x_4,x_5))\)，其中\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\in \mathbf{R}\) 而\( \mathbf{R}^{5}\)中的元素为\((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\)

\( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3}\)和\( \mathbf{R}^{5}\)看起来很像，但是这两个集合是不相等的，因为\( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3}\) 中的元素是二元组，其中第一个元素是个二元组，第二个元素是三元组，而\(\mathbf{R}^{5}\)中的元素是五元组，每一个元素都是实数。

但是\( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3}\)与\( \mathbf{R}^{5}\)显然是同构的，从\( \mathbf{R}^{2}\times \mathbf{R}^{3}\)到\( \mathbf{R}^{5}\)的映射既单又满。

求\(\mathcal{P}_{2}{ (\mathbf{R})}\times \mathbf{R}^{2}\)的一个基。

有： \[(1,(0,0)),(x,(0,0)),(x^{2},(0,0)),(0,(1,0)),(0,(1,0))\]

推广上面的这个例子，我们有：

设\(V_{1},\ldots ,V_{m}\)均为有限维向量空间，则\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\)是有限维的，且: \[\dim(V_{1}\times \ldots \times V_{m}) = \dim V_{1} + \ldots + \dim V_{m}\]

我们可以选取每个\(V_{j}\)的一个基。对于每个\(V_{j}\)的每个基向量，考虑\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\)的如下元素:第\(j\)个位置为此基向量，其余位置为\(0\)。显然所有这些向量构成的组是线性无关的，且张成\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\),因此是\(V_{1}\times \ldots \times V_{m}\)的基。这个基的长度是\(\dim V_{1} + \ldots + \dim V_{m}\)

接下来我们考虑积与直和的关系

设\(U_{1},\ldots ,U_{m}\)均为\(V\)的子空间。线性映射:\(\Gamma: U_{1}\times \ldots \times U_{m}\rightarrow U_{1} + \ldots +U_{m}\) 定义为：\(\Gamma(u_{1},\ldots ,u_{m}) = u_{1} + \ldots + u_{m}\)，则\(U_{1} + \ldots + U_{m}\)是直和当且仅当\(\Gamma\)是单射。

线性映射\(\Gamma\)是单的当且仅当\(0\)表示为\(u_{1} + \ldots + u_{m}\)时，每个\(u_{j}\)都等于\(0\). 根据直和的条件，我们知道线性映射\(\Gamma\)是单的与\(U_{1}+ \ldots + U_{m}\)是直和这两个命题是等价的。

设\(V\)是有限维的，\(U_{1},\ldots ,U_{m}\)是\(V\)的子空间，则\(U_{1} + \ldots U_{m}\)是直和当且仅当\(\dim(U_{1} + \ldots + U_{m}) = \dim U_{1} + \ldots + \dim U_{m}\)

定义线性映射:\(\Gamma: U_{1}\times \ldots \times U_{m}\rightarrow U_{1} + \ldots +U_{m}\) 定义为：\(\Gamma(u_{1},\ldots ,u_{m}) = u_{1} + \ldots + u_{m}\)。 当线性映射\(\Gamma\)是单的时，根据线性映射基本定理有\(\dim(U_{1} +\ldots + U_{m}) = \dim(U_{1}\times \ldots \times U_{m})\)

又因为\(\dim(U_{1}\times \ldots \times U_{m}) = \dim(U_{1}) + \ldots + \dim(U_{m})\)，所以必有： \(\dim(U_{1} + \ldots + U_{m}) = \dim U_{1} + \ldots + \dim U_{m}\)

首先定义向量与子空间的和，然后定义商空间。

设\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空间，则\(v+U\)是\(V\)的子集，定义如下：

\begin{equation} \label{eq:1} v+U = \{v+u:u\in U\} \end{equation}
  1. \(V\)的仿射子集是\(V\)的形如\(v+U\)的子集，其中\(v\in V\),\(U\)是\(V\)的子空间。
  2. 对于\(v\in V\)和\(V\)的子空间\(U\)，称仿射子集\(v+U\)平行于\(U\)

若\(U=\{(x,y,0)\in \mathbf{R}^{3}:x,y\in \mathbf{R}\}\)则\(\mathbf{R}^{3}\)的平行于\(U\)的仿射子集是\(\mathbf{R}^{3}\)中在通常意义下平行于\(xy\)平面\(U\)的那些平面（注意这里必须是平面，直线不行.）。

设\(U\)是\(V\)的子空间，则商空间\(V/U\)是指\(V\)中所有平行于\(U\)的仿射子集的集合。也就是说：

\begin{equation} \label{eq:2} V/U = \{v+U:v\in V\} \end{equation}
  1. 若\(U = \{(x,2x)\in \mathbf{R}^{2}:x\in \mathbf{R}\}\)，则\(\mathbf{R}^{2}/U\)是\(\mathbf{R}^{2}\)中所有平行于\(U\)的直线的集合。
  2. 若\(U\)是\(\mathbf{R}^{3}\)中的包含原点的直线，则\(\mathbf{R}^{3}/U\)是\(\mathbf{R}^{3}\)中所有平行于\(U\)的直线的集合。
  3. 若\(U\)是\(\mathbf{R}^{3}\)中的包含原点的平面，则\(\mathbf{R}^{3}/U\)是\(\mathbf{R}^{3}\)中所有平行于\(U\)的平面的集合。

设\(U\)是\(V\)的子空间，\(v,w\in V\)，则一下陈述等价：

  1. \(v-w \in U\)
  2. \(v+U = w+U\)
  3. \((v+U)\cap (w+U) \neq \varnothing\)

假设1成立，则有对于任何的\(u\in U\)都有：

\begin{equation} \label{eq:3} v+ u = w + v-w +u = w + (v-w) +u \in w + U \end{equation}

所以\(v+U\subseteq w + U\)

对于所有的\(u in U\)都有：

\begin{equation} \label{eq:4} (w+u) = v+w -v +u = v + (w-v) + u \in v + U \end{equation}

所以\(w+U\subseteq v + U\)

从2到3是显然的。

我们证明从3到1. 假设\((v+U)\cap (w+U) \neq \varnothing\) ，则存在\(u_{1},u_{2}\)使得：

\begin{equation} \label{eq:5} v+u_{1} = w + u_{2} \end{equation}

所以有\(v-w = u_{2} - u_{1}\)，显然有\(v-w\in U\)

定义\(V/U\)上的加法和标量乘法。设\(U\)是\(V\)的子空间，则\(V/U\)上的加法和标量乘法定义为：对任意\(v,w\in V\)和\(\lambda \in \mathbf{F}\)：

\begin{eqnarray} \label{eq:6} (v+U)+(w+U)&=&(v+W) + U \\ \lambda(v+U) &=&(\lambda v) + U \end{eqnarray}

设\(U\)是\(V\)的子空间。则\(V/U\)按照上面定义的加法和标量乘法构成向量空间。

在我们定义\(V/U\)的加法和标量乘法中，一个问题是平行于\(U\)的仿射子集的表示并不是唯一的。具体来说，设\(v,w\in V\)，假设\(\hat{v},\hat{w}\in V\)使得\(v+U = \hat{v} + U\)和\(w +U = \hat{w} + U\)，要证明上面给出的\(V/U\)上的加法是有意义的，必须证明\((v+w) + U = (\hat{v} + \hat{w}) + U\)

因为\(v-\hat{v}\in U\)， \(w- \hat{w} \in U\)，因为\(U\)是\(V\)的子空间，所以在加法下封闭，所以\(v- \hat{v} + w - \hat{w} \in U\)所以\(v + w - ( \hat{v} + \hat{w}) \in U\)，所以有：

\begin{equation} \label{eq:7} v + w + U = \hat{v} + \hat{w} + U \end{equation}

同理，设\( \lambda \in \mathbf{F}\)，因为\(U\)是\(V\)的子空间，所以在标量乘法下封闭从而有\(\lambda (v - \hat{v})\in U\),所以有：

\begin{equation} \label{eq:8} \lambda v + U = \lambda \hat{v} + U \end{equation}

现在我们假设\(v+U,u+U\in V/U\)，则有\(v+U + u + U = (v+u) + U\in V/U\)，同理\(\lambda \in \mathbf{F}\)则\(\lambda (v + U) = \lambda v + U \in V/U\)

另外\(V/U\)中的加法零元是\(U\).因为任何的\(v+U\)在加上\(U\)都是其本身。

设\(U\)是\(V\)的子空间. 商映射\(\pi\)是如下定义的线性映射\(\pi :V\rightarrow V/U\)对任意的\(v\in V\)满足：\(\pi(v) = v+U\)

设\(V\)是有限维的，\(U\)是\(V\)的子空间，则：\(\dim V/U = \dim V - \dim U \)

定义\(\pi : V\rightarrow V/U\)，则有\(null\pi = U\)，根据线性映射基本定理则有：

\begin{equation} \label{eq:9} \dim V = \dim null\pi + \dim range \pi \end{equation}

因为\(range\pi = V/U\)，所以\(\dim V/U = \dim V - \dim U\).

从商映射的一般形式可以推导出一个特别重要映射。

设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，定义\(\tilde{T}:V/(nullT) \rightarrow W\)，如下：

\begin{equation} \label{eq:10} \tilde{T}(v + nullT) = Tv \end{equation}

现在对这个定义做一下简单的说明。设\(u,v\in V\)使得\(u+nullT = v+ nullT\)则有\(u-v\in nullT\),于是\(T(u-v) = 0\)，则\(Tu=Tv\)，因此\(\tilde{T}\)的定义是有意义的。

设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，则：

  1. \(\tilde{T}\)是\(V/(nullT)\)到\(W\)的线性映射；
  2. \(\tilde{T}\)是单的。
  3. \(range \tilde{T} = range T\)
  4. \(V/nullT\)同构于\(rangeT\)