向量空间的积
设V1,…,Vm均为F上的向量空间。
- 定义积V1×…×Vm为：V1×…×Vm={(v1,…,vm):v1∈V1,…,vm∈Vm}
- 定义V1×…×Vm上的加法为：(u1,…,um)+(v1,…,vm)=(u1+v1,…,um+vm)
- 定义V1×…×Vm上的标量乘法为λ(v1,…,vm)=(λv1,λv2,…,λvm)
显然，向量空间的积也是向量空间，我们只需要证明其满足齐次可加性，并且零元也位于这个空间即可。
P2(R)×R3中的元素是长度为2的组，组的第一项是P2(R)中的元素，组的第二项是R3中的元素。比如(5−6x+x2,(5,8，6))∈P2(R)×R3
R2×R3等于R5么？ R2×R3与R5同构么？
首先根据定义，R2×R3=((x1,x2),(x3,x4,x5))，其中x1,x2,x3,x4,x5∈R 而R5中的元素为(x1,x2,x3,x4,x5)
R2×R3和R5看起来很像，但是这两个集合是不相等的，因为R2×R3 中的元素是二元组，其中第一个元素是个二元组，第二个元素是三元组，而R5中的元素是五元组，每一个元素都是实数。
但是R2×R3与R5显然是同构的，从R2×R3到R5的映射既单又满。
求P2(R)×R2的一个基。
有： (1,(0,0)),(x,(0,0)),(x2,(0,0)),(0,(1,0)),(0,(1,0))
推广上面的这个例子，我们有：
设V1,…,Vm均为有限维向量空间，则V1×…×Vm是有限维的，且: dim(V1×…×Vm)=dimV1+…+dimVm
我们可以选取每个Vj的一个基。对于每个Vj的每个基向量，考虑V1×…×Vm的如下元素:第j个位置为此基向量，其余位置为0。显然所有这些向量构成的组是线性无关的，且张成V1×…×Vm,因此是V1×…×Vm的基。这个基的长度是dimV1+…+dimVm
接下来我们考虑积与直和的关系
设U1,…,Um均为V的子空间。线性映射:Γ:U1×…×Um→U1+…+Um 定义为：Γ(u1,…,um)=u1+…+um，则U1+…+Um是直和当且仅当Γ是单射。
线性映射Γ是单的当且仅当0表示为u1+…+um时，每个uj都等于0. 根据直和的条件，我们知道线性映射Γ是单的与U1+…+Um是直和这两个命题是等价的。
设V是有限维的，U1,…,Um是V的子空间，则U1+…Um是直和当且仅当dim(U1+…+Um)=dimU1+…+dimUm
定义线性映射:Γ:U1×…×Um→U1+…+Um 定义为：Γ(u1,…,um)=u1+…+um。 当线性映射Γ是单的时，根据线性映射基本定理有dim(U1+…+Um)=dim(U1×…×Um)
又因为dim(U1×…×Um)=dim(U1)+…+dim(Um)，所以必有： dim(U1+…+Um)=dimU1+…+dimUm
首先定义向量与子空间的和，然后定义商空间。
设v∈V，U是V的子空间，则v+U是V的子集，定义如下：
v+U={v+u:u∈U}- V的仿射子集是V的形如v+U的子集，其中v∈V,U是V的子空间。
- 对于v∈V和V的子空间U，称仿射子集v+U平行于U
若U={(x,y,0)∈R3:x,y∈R}则R3的平行于U的仿射子集是R3中在通常意义下平行于xy平面U的那些平面（注意这里必须是平面，直线不行.）。
设U是V的子空间，则商空间V/U是指V中所有平行于U的仿射子集的集合。也就是说：
V/U={v+U:v∈V}- 若U={(x,2x)∈R2:x∈R}，则R2/U是R2中所有平行于U的直线的集合。
- 若U是R3中的包含原点的直线，则R3/U是R3中所有平行于U的直线的集合。
- 若U是R3中的包含原点的平面，则R3/U是R3中所有平行于U的平面的集合。
设U是V的子空间，v,w∈V，则一下陈述等价：
- v−w∈U
- v+U=w+U
- (v+U)∩(w+U)≠∅
假设1成立，则有对于任何的u∈U都有：
v+u=w+v−w+u=w+(v−w)+u∈w+U所以v+U⊆w+U
对于所有的uinU都有：
(w+u)=v+w−v+u=v+(w−v)+u∈v+U所以w+U⊆v+U
从2到3是显然的。
我们证明从3到1. 假设(v+U)∩(w+U)≠∅ ，则存在u1,u2使得：
v+u1=w+u2所以有v−w=u2−u1，显然有v−w∈U
定义V/U上的加法和标量乘法。设U是V的子空间，则V/U上的加法和标量乘法定义为：对任意v,w∈V和λ∈F：
(v+U)+(w+U)=(v+W)+Uλ(v+U)=(λv)+U设U是V的子空间。则V/U按照上面定义的加法和标量乘法构成向量空间。
在我们定义V/U的加法和标量乘法中，一个问题是平行于U的仿射子集的表示并不是唯一的。具体来说，设v,w∈V，假设ˆv,ˆw∈V使得v+U=ˆv+U和w+U=ˆw+U，要证明上面给出的V/U上的加法是有意义的，必须证明(v+w)+U=(ˆv+ˆw)+U
因为v−ˆv∈U， w−ˆw∈U，因为U是V的子空间，所以在加法下封闭，所以v−ˆv+w−ˆw∈U所以v+w−(ˆv+ˆw)∈U，所以有：
v+w+U=ˆv+ˆw+U同理，设λ∈F，因为U是V的子空间，所以在标量乘法下封闭从而有λ(v−ˆv)∈U,所以有：
λv+U=λˆv+U现在我们假设v+U,u+U∈V/U，则有v+U+u+U=(v+u)+U∈V/U，同理λ∈F则λ(v+U)=λv+U∈V/U
另外V/U中的加法零元是U.因为任何的v+U在加上U都是其本身。
设U是V的子空间. 商映射π是如下定义的线性映射π:V→V/U对任意的v∈V满足：π(v)=v+U
设V是有限维的，U是V的子空间，则：dimV/U=dimV−dimU
定义π:V→V/U，则有nullπ=U，根据线性映射基本定理则有：
dimV=dimnullπ+dimrangeπ因为rangeπ=V/U，所以dimV/U=dimV−dimU.
从商映射的一般形式可以推导出一个特别重要映射。
设T∈L(V,W)，定义˜T:V/(nullT)→W，如下：
˜T(v+nullT)=Tv现在对这个定义做一下简单的说明。设u,v∈V使得u+nullT=v+nullT则有u−v∈nullT,于是T(u−v)=0，则Tu=Tv，因此˜T的定义是有意义的。
设T∈L(V,W)，则：
- ˜T是V/(nullT)到W的线性映射；
- ˜T是单的。
- range˜T=rangeT
- V/nullT同构于rangeT