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向量空间的商

为了定义向量空间的商，我们先定义向量与子空间的和。

设 v∈V，U是V的子空间，则v+U是V的子集，定义如下： v+U={v+u:u∈U}

设 U={(x,2x)∈R2:x∈R}。显然U是R2中过原点的斜率为2的直线。因此(17,20)+U是过(17,20)且斜率为2的直线。

V的仿射子集是V的形如v+U的子集，其中v∈V，U是V的子空间。对于v∈V和V的子空间U，称仿射子集v+U平行于U.

设U是V的子空间，则商空间V/U是指V的所有平行于U的仿射子集的集合，也就是说:V/U={v+U:v∈V}

  1. 若U={(x,2x)∈R2:x∈R}，则R2/U是R2中所有斜率为2的直线的集合。
  2. 若U是R3中包含远点的直线，则R3/U是所有平行于U的直线的集合。
  3. 若U是R3中包含远点的平面，则R3/U 是 R3中所有平行于U的平面的集合。

设U是V的子空间，v,w∈V，则以下陈述等价：

  1. v−w∈U
  2. v+U=w+U
  3. (v+U)∩(w+U)≠∅

首先证明 1. → 2. 假设v−w∈U 我们有对于任意u∈Uv+u=w+((v−w)+u)∈w+U，因此v+U⊂w+U，类似的我们可以证明w+U⊂v+U，因此v+U=w+U.

2 → 3 是显然的。

最后我们证明 3 → 1. 假设(v+U)∩(w+U)≠∅则有 u1,u2∈U使得v+u1=w+u2 则有v−w=u2−u1，因此v−w∈U.

设U是V的子空间，则V/U上的加法和标量乘法定义为：对任意v,w∈V和λinF (v+U)+(w+U)=(v+w)+U λ(v+U)=(λv)+U

设U是V的子空间，则V/U按照商空间上加法和标量乘法定义构成向量空间。

在上面定义的V/U上的加法和标量乘法中，一个潜在的问题是平行于U的仿射子集的表示并不是唯一的。具体来讲，设v,w∈V，假设ˆv,ˆw∈V使得v+U=ˆw+U，要证明上面给出的V/U上的加法是有意义的，必须证明(v+W)+U=(ˆv+ˆw)+U，于是有v−ˆv∈U,w−ˆw∈U 因为U是V的子空，所以在加法下封闭，这说明(v−ˆv)+(w−ˆw)∈U.所以 (v+w)−(ˆv+ˆw)∈U然后有：(v+w)+U=(ˆv+ˆw)+U因此V/U上定义的加法是合理的。

假设λ∈F，因为U是V的子空间，所以在标量乘法下封闭，从而有λ(v−ˆv)∈U，于是λu−λˆu∈U. 所以λu+U=λˆu+U，即V/U上的标量乘法是有意义的。

接下来我们只需要证明0元存在，加法和标量乘法封闭即可。

设U是V的子空间。 商映射π定义为π:V→V/U对任意的v∈V，有π(v)=v+U

设V是有限维的，U是V的子空间，则dimV/U=dimV−dimU

设π是V到V/U的商映射。则nullπ=U,rangeπ=V/U,则dimV=dimU+dimV/U

设T∈L(V,W)，定义˜T:V/(nullT)→W为：˜(T)(v+nullT)=Tv

设T∈L(V,W),则

  1. ˜T是V/(nullT)到W的线性映射；
  2. ˜T是单的；
  3. range˜T=rangeT;
  4. V/(nullT)同构于rangeT