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向量空间的商

为了定义向量空间的商,我们先定义向量与子空间的和。

vVUV的子空间,则v+UV的子集,定义如下: v+U={v+u:uU}

U={(x,2x)R2:xR}。显然UR2中过原点的斜率为2的直线。因此(17,20)+U是过(17,20)且斜率为2的直线。

V的仿射子集是V的形如v+U的子集,其中vVUV的子空间。对于vVV的子空间U,称仿射子集v+U平行于U.

UV的子空间,则商空间V/U是指V的所有平行于U的仿射子集的集合,也就是说:V/U={v+U:vV}

  1. U={(x,2x)R2:xR},则R2/UR2中所有斜率为2的直线的集合。
  2. UR3中包含远点的直线,则R3/U是所有平行于U的直线的集合。
  3. UR3中包含远点的平面,则R3/UR3中所有平行于U的平面的集合。

UV的子空间,v,wV,则以下陈述等价:

  1. vwU
  2. v+U=w+U
  3. (v+U)(w+U)

首先证明 1. 2. 假设vwU 我们有对于任意uUv+u=w+((vw)+u)w+U,因此v+Uw+U,类似的我们可以证明w+Uv+U,因此v+U=w+U.

2 3 是显然的。

最后我们证明 3 1. 假设(v+U)(w+U)则有 u1,u2U使得v+u1=w+u2 则有vw=u2u1,因此vwU.

UV的子空间,则V/U上的加法和标量乘法定义为:对任意v,wVλinF (v+U)+(w+U)=(v+w)+U λ(v+U)=(λv)+U

UV的子空间,则V/U按照商空间上加法和标量乘法定义构成向量空间。

在上面定义的V/U上的加法和标量乘法中,一个潜在的问题是平行于U的仿射子集的表示并不是唯一的。具体来讲,设v,wV,假设ˆv,ˆwV使得v+U=ˆw+U,要证明上面给出的V/U上的加法是有意义的,必须证明(v+W)+U=(ˆv+ˆw)+U,于是有vˆvU,wˆwU 因为UV的子空,所以在加法下封闭,这说明(vˆv)+(wˆw)U.所以 (v+w)(ˆv+ˆw)U然后有:(v+w)+U=(ˆv+ˆw)+U因此V/U上定义的加法是合理的。

假设λF,因为UV的子空间,所以在标量乘法下封闭,从而有λ(vˆv)U,于是λuλˆuU. 所以λu+U=λˆu+U,即V/U上的标量乘法是有意义的。

接下来我们只需要证明0元存在,加法和标量乘法封闭即可。

UV的子空间。 商映射π定义为π:VV/U对任意的vV,有π(v)=v+U

V是有限维的,UV的子空间,则dimV/U=dimVdimU

πVV/U的商映射。则nullπ=U,rangeπ=V/U,则dimV=dimU+dimV/U

TL(V,W),定义˜T:V/(nullT)W为:˜(T)(v+nullT)=Tv

TL(V,W),则

  1. ˜TV/(nullT)W的线性映射;
  2. ˜T是单的;
  3. range˜T=rangeT;
  4. V/(nullT)同构于rangeT