向量空间的商

为了定义向量空间的商，我们先定义向量与子空间的和。

设 \(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空间，则\(v+U\)是\(V\)的子集，定义如下： \[v+U = \{v + u:u\in U\}\]

设 \(U = \{(x,2x)\in \mathbf{R}^{2}: x\in \mathbf{R}\}\)。显然\(U\)是\( \mathbf{R}^{2}\)中过原点的斜率为\(2\)的直线。因此\((17,20) + U\)是过\((17,20)\)且斜率为2的直线。

\(V\)的仿射子集是\(V\)的形如\(v+U\)的子集，其中\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空间。对于\(v\in V\)和\(V\)的子空间\(U\)，称仿射子集\(v+U\)平行于\(U\).

设\(U\)是\(V\)的子空间，则商空间\(V/U\)是指\(V\)的所有平行于\(U\)的仿射子集的集合，也就是说:\[V/U = \{v+ U:v\in V\}\]

  1. 若\(U = \{(x,2x)\in \mathbf{R}^{2}:x\in \mathbf{R}\}\)，则\( \mathbf{R}^{2}/U\)是\( \mathbf{R}^{2}\)中所有斜率为\(2\)的直线的集合。
  2. 若\(U\)是\(\mathbf{R}^{3}\)中包含远点的直线，则\(\mathbf{R}^{3}/U\)是所有平行于\(U\)的直线的集合。
  3. 若\(U\)是\(\mathbf{R}^{3}\)中包含远点的平面，则\( \mathbf{R}^{3}/U\) 是 \(\mathbf{R}^{3}\)中所有平行于\(U\)的平面的集合。

设\(U\)是\(V\)的子空间，\(v,w\in V\)，则以下陈述等价：

  1. \(v-w\in U\)
  2. \(v+ U = w + U\)
  3. \((v+U) \cap (w+U) \neq \emptyset\)

首先证明 1. \(\rightarrow\) 2. 假设\(v-w\in U\) 我们有对于任意\(u\in U\)\(v+ u = w + ( (v-w) +u) \in w+U\)，因此\(v+U \subset w+U\)，类似的我们可以证明\(w+U \subset v+U\)，因此\(v+U = w+U\).

2 \(\rightarrow\) 3 是显然的。

最后我们证明 3 \(\rightarrow\) 1. 假设\((v+U) \cap (w+U) \neq \emptyset\)则有 \(u_{1},u_{2}\in U\)使得\[v+u_{1} = w+u_{2}\] 则有\(v-w = u_{2} - u_{1} \)，因此\( v-w \in U\).

设\(U\)是\(V\)的子空间，则\(V/U\)上的加法和标量乘法定义为：对任意\(v,w\in V\)和\(\lambda in \mathbf{F}\) \[(v+U) + (w+U) = (v+w) + U\] \[\lambda(v+U) = (\lambda v) + U\]

设\(U\)是\(V\)的子空间，则\(V/U\)按照商空间上加法和标量乘法定义构成向量空间。

在上面定义的\(V/U\)上的加法和标量乘法中，一个潜在的问题是平行于\(U\)的仿射子集的表示并不是唯一的。具体来讲，设\(v,w\in V\)，假设\(\hat{v},\hat{w}\in V\)使得\(v+U = \hat{w} + U\)，要证明上面给出的\(V/U\)上的加法是有意义的，必须证明\((v+W) + U = (\hat{v} + \hat{w}) + U\)，于是有\[v-\hat{v}\in U,w-\hat{w}\in U\] 因为\(U\)是\(V\)的子空，所以在加法下封闭，这说明\( (v-\hat{v}) + (w-\hat{w}) \in U\).所以 \[(v+w) - (\hat{v}+\hat{w}) \in U\]然后有：\[(v+w) +U = (\hat{v}+\hat{w}) + U\]因此\(V/U\)上定义的加法是合理的。

假设\(\lambda \in \mathbf{F}\)，因为\(U\)是\(V\)的子空间，所以在标量乘法下封闭，从而有\(\lambda (v-\hat{v}) \in U\)，于是\(\lambda u - \lambda \hat{u} \in U\). 所以\(\lambda u + U = \lambda \hat{u} + U\)，即\(V/U\)上的标量乘法是有意义的。

接下来我们只需要证明\(0\)元存在，加法和标量乘法封闭即可。

设\(U\)是\(V\)的子空间。 商映射\(\pi\)定义为\(\pi: V\rightarrow V/U\)对任意的\(v\in V\)，有\(\pi(v) = v+ U\)

设\(V\)是有限维的，\(U\)是\(V\)的子空间，则\(\dim V/U = \dim V - \dim U\)

设\(\pi \)是\(V\)到\(V/U\)的商映射。则\(null\pi = U,range\pi = V/U\),则\(\dim V = \dim U + \dim V/U\)

设\(T\in \mathcal{L}(V,W) \)，定义\(\tilde{T}:V/(nullT)\rightarrow W\)为：\[\tilde(T)(v + nullT) = Tv\]

设\(T\in \mathcal{L}(V,W)\),则

  1. \(\tilde{T}\)是\(V/(nullT)\)到\(W\)的线性映射；
  2. \(\tilde{T}\)是单的；
  3. \(range{\tilde{T}} = rangeT\);
  4. \(V/(nullT)\)同构于\(rangeT\)