向量空间的商
为了定义向量空间的商,我们先定义向量与子空间的和。
设 v∈V,U是V的子空间,则v+U是V的子集,定义如下: v+U={v+u:u∈U}
设 U={(x,2x)∈R2:x∈R}。显然U是R2中过原点的斜率为2的直线。因此(17,20)+U是过(17,20)且斜率为2的直线。
V的仿射子集是V的形如v+U的子集,其中v∈V,U是V的子空间。对于v∈V和V的子空间U,称仿射子集v+U平行于U.
设U是V的子空间,则商空间V/U是指V的所有平行于U的仿射子集的集合,也就是说:V/U={v+U:v∈V}
- 若U={(x,2x)∈R2:x∈R},则R2/U是R2中所有斜率为2的直线的集合。
- 若U是R3中包含远点的直线,则R3/U是所有平行于U的直线的集合。
- 若U是R3中包含远点的平面,则R3/U 是 R3中所有平行于U的平面的集合。
设U是V的子空间,v,w∈V,则以下陈述等价:
- v−w∈U
- v+U=w+U
- (v+U)∩(w+U)≠∅
首先证明 1. → 2. 假设v−w∈U 我们有对于任意u∈Uv+u=w+((v−w)+u)∈w+U,因此v+U⊂w+U,类似的我们可以证明w+U⊂v+U,因此v+U=w+U.
2 → 3 是显然的。
最后我们证明 3 → 1. 假设(v+U)∩(w+U)≠∅则有 u1,u2∈U使得v+u1=w+u2 则有v−w=u2−u1,因此v−w∈U.
设U是V的子空间,则V/U上的加法和标量乘法定义为:对任意v,w∈V和λinF (v+U)+(w+U)=(v+w)+U λ(v+U)=(λv)+U
设U是V的子空间,则V/U按照商空间上加法和标量乘法定义构成向量空间。
在上面定义的V/U上的加法和标量乘法中,一个潜在的问题是平行于U的仿射子集的表示并不是唯一的。具体来讲,设v,w∈V,假设ˆv,ˆw∈V使得v+U=ˆw+U,要证明上面给出的V/U上的加法是有意义的,必须证明(v+W)+U=(ˆv+ˆw)+U,于是有v−ˆv∈U,w−ˆw∈U 因为U是V的子空,所以在加法下封闭,这说明(v−ˆv)+(w−ˆw)∈U.所以 (v+w)−(ˆv+ˆw)∈U然后有:(v+w)+U=(ˆv+ˆw)+U因此V/U上定义的加法是合理的。
假设λ∈F,因为U是V的子空间,所以在标量乘法下封闭,从而有λ(v−ˆv)∈U,于是λu−λˆu∈U. 所以λu+U=λˆu+U,即V/U上的标量乘法是有意义的。
接下来我们只需要证明0元存在,加法和标量乘法封闭即可。
设U是V的子空间。 商映射π定义为π:V→V/U对任意的v∈V,有π(v)=v+U
设V是有限维的,U是V的子空间,则dimV/U=dimV−dimU
设π是V到V/U的商映射。则nullπ=U,rangeπ=V/U,则dimV=dimU+dimV/U
设T∈L(V,W),定义˜T:V/(nullT)→W为:˜(T)(v+nullT)=Tv
设T∈L(V,W),则
- ˜T是V/(nullT)到W的线性映射;
- ˜T是单的;
- range˜T=rangeT;
- V/(nullT)同构于rangeT