二次型及其应用

任意一个方阵A的二次型xTAx 是一个标量。举 个例子，假设

A=[142−175−163]

为例。

其二次型为：

xTAx=[x1,x2,x3][142−175−163][x1x2x3]=x21+7x22+3x23+3x1x2+x1x3+11x2x3

上式的计算可以简单的做出来，可以观察到，对于A上对角线的元素对应的 分别是x21,x22,x23的系数, Aij+Aji对应 的是xixj的系数。另外可以看到上式的计算结果中最高的幂次是 2，称这是变元x的二次型函数，称xTAx为 矩阵A的二次型。

推而广之，若x=[x1,x2,…,xn]T，且 n×n矩阵A的元素aij，则二次型：

xTAx=n∑i=1n∑j=1xixjaij

进一步计算：

n∑i=1n∑j=1xixjaij=n∑i=1aiix2i+n∑i=1,i≠jn∑j=1aijxixj=n∑i=1aiix2i+n−1∑i=1n∑j=i+1(aij+aji)xixj

根据式 (5) 我们发现，同一个二次型函数可以对应不同的矩阵，比如：

B=[121173183]

和A具有相同的二次型函数。即，对于一个二次型函数：

f(x1,x2,…,xn)=n∑iαiix2i+n∑i=1,i≠jn∑j=1αijxixj

存在许多矩阵A，它们的二次型xTAx相同。但是 只有一个对称矩阵A满足xTAx=f(x1,…,xn)，其元素aii=αii,aij=aji=12(αij+αji) 其中i=1,…,n;j=1,…,n,i≠j，因此讨论二次型的时候通常假定矩阵A为对称 矩阵或者Hermitian矩阵。Hermitian矩阵是复对称矩阵，所以实对称矩阵是 Hermitian矩阵的特殊形式。

如果将大于零的二次型xTAx称为正定的二次型，则 与之对应的Hermitian矩阵称为正定矩阵。类似的还可以定义Hermitian矩阵的半 正定性，负定性和半负定性。

表 1: 矩阵定性定义

条件	定义
xTAx>0,∀x≠0	正定矩阵
xTAx≥0,∀x≠0	半正定矩阵
xTAx<0,∀x≠0	负定矩阵
xTAx≤0,∀x≠0	半负定矩阵

若xTAx 的取值即可能为正，也可能为负，则对应的 Hermitian矩阵为不定矩阵。

我们之前提到过，对于一个二次型，有多个矩阵A与之对应。但是，只有一 个矩阵是对称的。我们这么做不仅仅是因为这个Hermitian矩阵的唯一性，还因 为这个矩阵具有非常多的特性。另外，我们在实际的工程应用中也有很多矩阵是 Hermitian矩阵，所以深入的研究Hermitian矩阵很有必要。

定义Hermitian二次型为：

H(x,x)=⟨x,Ax⟩=xTAx=n∑i=1n∑j=1rijxTixj

称A为二次型的核或者矩阵。核为单位阵时，二次型退化为向量 x和它自己的内积xTx。因此，二次型 可以视为内积的推广。

考虑酉变换之后的二次型。定义线性变换x=Ry，其 中R是酉矩阵。此时，可以将原来的二次型改写为：

H(x,x)=yTRTARy=yTPy

式中，P=RTAR=R−1AR 。特别地，若选择酉矩阵R使得 P为对角矩阵，则称：

xTAx=yT(RTAR)y=yTdiag(λ1,…,λn)y

为标准二次型。因为这样的二次型，只有核对角线上的元素非零。因为R是 酉矩阵，则有R−1=RT。令A=UΣUT是A的特征 值分解，并将它带入二次型H(x,x)，得到：

H(x,x)=xTAx=xTUΣUTx

令R=U, 则x=Ry=Uy, y=UTx, 所以式 (12) 变为：

H(x,x)=yTΣy=⟨x,Ax⟩=n∑i=1λi|yi|2

经过酉变换x=Ry之后，二次型 xTAx的值等于二次型核矩阵A的特征值与 yi的模值平方的乘积之和。

通过观察式 (13) ，我们可以很容易的判定Hermitian 的正定性。一 个n×n的Hermitian矩阵是正定的，当且仅当其满足如下条件：

1. 二次型xTAx>0,∀x≠0
2. 矩阵A的所有特征值都大于零。
3. 所有主子矩阵Ak都具有正的行列式，Ak=A(1:k,1:k)由矩阵 A的第1∼k行和第1∼k列组成。
4. 存在一个非奇异的n×n矩阵R使得 A=RTR
5. 存在一个非奇异的n×n矩阵P使得PTAP是正定的。