度量空间以及由此引出的一些概念

定义 设X是一个集，它的元素叫做点，如果 X的任意两点 p和q联系于一个实数d(p,q)，叫做从p到q的 距离 ， 他们满足条件：

1. 如果p≠q，那么 d(p,q)>0;d(p,p)=0;
2. d(p,q)=d(p,p);
3. 对于任意 r∈X, d(p,q)≤d(p,r)+d(r,q);

就称X是一个 度量空间 。

从定义可知，度量空间中有距离的概念。有距离才有度量，就像在Viterbi译码过程中，有欧氏距离或者汉明距离的定义，才会有幸存路径度量的概念。在度量空间中，距离函数的定义非常重要。最常见的度量空间是欧式空间Rk，特别是 R1（实数轴）和 R2（复平面）。在Rk中，距离定义为 d(x,y)=|x−y|,x,y∈Rk

度量空间中有一些非常重要的概念。这些概念互相关联为度量空间中的分析奠定了基础，特别是以下几个概念的引出更是环环相扣(以下提到的点和集都是度量空间 X中的点和集)：

1. 点p的邻域 Nr(p)指的是满足条件 d(p,q)<r的一切点q所成的集。 r叫做Nr(p)的半径。
2. 点p叫做集E的极限点，如果 p的每个邻域都有一点 q∈E 而 q≠p。
3. 如果 p∈E但 p不是 E的极限点，则p是E的孤立点。
4. E是闭集，如果 E的每个极限点都是E的点.
5. 点p叫做E的内点，如果存在p的一个邻域N，有N⊂E。
6. E是开集，如果 E的所有点都是E的内点。
7. {p|p∈X,∉E}构成E的余集Ec.
8. E叫做完全的，如果E是闭集，并且E的每个点都是E的极限点。
9. E叫做有界的，如果有一个实数M和一个点q∈X，使得一切p∈E都满足d(p,q)<M
10. E叫做在X中稠密，如果X的每个点或是E的极限点，或是E的点。

显然，在R1中，邻域就是开区间；在R2中，邻域就是圆的内部（不包含圆的边）。这里特别要强调的极限点的定义，根据极限点的定义，极限点有可能不是E的点。比如，在R2中，对于集合|z<1|，满足z=1的那些点都是|z<1|的极限点，但是这些点却不是|z<1|的点。另外一个例子{1n|n=1,2,…}有一个极限点0，但是0却不是这个集合中的点。所以，对于集合拥有极限点和集合包含极限点是两个概念。

在Rudin的教材中，从度量空间以及刚才引出的那些定义出发，还有几个定理，如下：

定理 邻域必是开集

证明 ：假设有一邻域 E=Nr(p)，令 q是 E中的任意一点，于是有一正实数 h使得 d(p,q)=r−h 对于一切 d(q,s)<h 的点 s，我们有 d(p,s)≤d(p,q)+d(q,s)<r−h+h=r 所以s∈E。 因此, q是E的内点。

这个证明相当简洁，在证明过程中，两次用到邻域概念，一次用到开集概念。巩固了对开集和邻域定义的理解。

定理 如果p是集E的一个极限点，那么p的每个邻域都含有E的无限多个点。

证明 ：假设 p的某个邻域N只含有 E 的有限多个极限点， 令 q1,…,qn是 N∩E 中这有限个异于 p 的点。 又令 r=min1≤m≤nd(p,qm) 显然有 r>0。那么邻域 Nr(p)中不能再含有E的点q并且q≠p。所以 p不是 E的极限点，矛盾。

定理 有限的点集没有极限点

定理 E是开集，当且仅当它的余集是闭集。

证明 ：首先假设 Ec是闭集，我们证明E是开集。假设x∈E，所以x∉Ec。另外x也不可能是Ec的极限点（因为我们假设Ec是闭集，闭集所有的极限点都是该集合的点。）。于是x有一个邻域N，使得N∩E=∅，即：N⊂E。所以x是E的内点，所以E是开集。

反过来，假设E是开集，我们证明Ec是闭集。假设x是Ec的一个极限点，那么x的每个邻域都含有Ec的点，所以x不是E的内点。因为E是开集，所以x∈Ec，Ec是闭集。

这个定理的证明过程紧扣开集，闭集，极限点和内点的定义

定理 设 {Eα}是若干（有限个或无限多个）集Eα的一个组，那么(∪αEα)c=∩α(Ecα)

证明 ：令 A=(∪αEα)c, B=∩α(Ecα)，若x∈A，则x∉(∪αEα)，对于任意的α，有x∉Eα，从而∀α,x∈Ecα，所以x∈Ecα，即 A⊂B.

反过来，如果x∈B，那么对于每个α，x∈Ecα。也即对于每个α，x∉E。因此 x∉∪αEα。即x∈(∪αEα)c，于是B⊂A

定理 (a) 任意一组开集{Gα}的并 ∪αGα是开集。 (b) 任意一组闭集{Fα}的交 ∩αFα是闭集。(c) 任意一组有限个开集 G1,…,Gn的交 n⋃i=1Gi是开集。(d) 任意一组有限个闭集 F1,…,Fn的并 n⋂i=1Fi是闭集。

证明 ：令G=∪αGα。如果x∈G，就有某个α，使得 x∈Gα。从开集的定义出发（如果集合中所有的点都是内点，则该集合为开集），我们知道 x是Gα的内点，从而x也是G的内点。由于x的任意性，所以G是开集。 这样我们就证明了定理的(a)。

接下来我们证明(b)： Fa是闭集，闭集的余集是开集，意味着 Fca是开集，根据(a)，我们有 ∪αFcα是开集。我们还知道 设 {Eα}是若干（有限个或无限多个）集Eα的一个组，那么(∪αEα)c=∩α(Ecα) 。 所以 (∩α)c是开集。开集的余集是闭集，意味着 ∩αFα是闭集。

今天还不是很累，觉得应该可以把闭包和相关的定理给学习完毕。

闭包 设X是度量空间，如果 E⊂X， E′表示 E在X中所有极限点组成的集，那么，把¯E=E∪E′叫做 E的闭包。

解读：E′中的点不一定属于E。E′中的点是E在X中的极限点，根据极限点的定义，我们知道E的极限点不一定属于E。从而，E′中的点也不一定属于E。E的闭包ˉE包含的点有属于E的点，也有不属于E的点。ˉE中属于E的那些点，或者是E的极限点，或者是E的孤立点。总之E⊂ˉE，但是ˉE不一定等于E。

定理 设X是度量空间，而E⊂X，那么 (a) ˉE闭 ;(b) E=ˉE当前仅当E闭;(c) 如果闭集F⊂X且E⊂F，那么ˉE⊂F。 由(a)和(c)，ˉE是X中包含E的最小闭子集。

证明 如果p∈X而p∉ˉE，根据闭包的定义，p既不是E的点，也不是E的极限点。因此，p有某个邻域与E不交。所以ˉE的余集是开集，因此ˉE是闭集。

证明(b)：如果E=ˉE，(a)表明E闭。如果E闭，那么E的极限点是E的点，那么E′⊂E。所以ˉE=E。

证明(c)：如果F闭，且F⊂X，则F′⊂F。根据闭集定义，F的所有极限点都属于F，即F′⊂F，因此E′⊂F，于是ˉE⊂F。

由(a)和(c)，我们知道 ˉE是X中包含E的最小闭子集。具体为，根据(c)，由于F的任意性，ˉE属于F。根据定义ˉE=E∪E′，我们知道E⊂ˉE。可以说，除了闭包ˉE外，任何包含E的闭集，都至少包含了闭包ˉE。这样说或许有些不严密，但是是一个理解过程。

解读 上面这个定理告诉我们，闭包是包含该集合的最小闭集。上述定理也提出了一种从一个集合构建包含该集合最小闭集的步骤。

定理 设E是一个非空实数集，上有界，令y=supE，那么y∈ˉE。特别的，如果E闭，那么，y∈E

证明 如果y∈E，那么y∈ˉE。接下来我们考虑y∉E的情形，对于每个h>0,存在x∈E，使得y−h<x<y。因为如果这样的h不存在的话，y−h就是E的上界了。所以y是E的极限点。

解读 这是根据极限点的定义来的。(点p叫做集E的极限点，如果点p的每个邻域都含有一点q∈E而q≠p)。鉴于h的任意性和x的任意性，在y的任意邻域内，总有一点属于E，所以y符合极限点的定义，故y是E的极限点。这个定理告诉我们：一个集合的上确界属于这个集合的闭包。几乎不假思索我们可以知道，一个集合的下确界也属于这个集合的闭包。

定义X是度量空间，设E⊂Y⊂X，我们说E是X的开子集，就是说给每个p∈E配备一个正数r，使得d(p,q)<r 和 q∈X 能保证q∈E。p是E的内点。特别的，如果能给每个p∈E配备一个r>0， 当d(p,q)<r且q∈Y时，就有q∈E，我们就说E关于Y是开的。一个集合可以关于Y是开的，然而却不是X的开子集。

比如开区间(a,b)⊂R1⊂R2。显然，对于每个p∈(a,b)，配备一个正数r，使得d(p,q)<r和q∈R2，但是我们不能保证q∈E。因此(a,b)不是R2的开子集。但是对于每个p∈(a,b)，配备一个整数r，使得d(p,q)<r和q∈Y。即(a,b)关于Y是开的。关于"一个集合可以关于Y是开的，然而却不是X的开子集。" 有如下定理：

定理 设Y⊂X, Y的子集E关于Y是开的，当且仅当X有某个开子集G，使E=Y∩G。

证明 设E关于Y是开集。那么对于每个p∈E，有正数rp使得条件d(p,q)<rp与 q∈Y保证q∈E。令Vp是一切合于d(p,q)<rp的q∈X的集，并定义G=∪p∈EVp 则G是X的开子集。因为一切p∈E都有p∈Vp，显然E⊂G∩Y。根据Vp的构造过程，对于每个p∈E，我们有Vp∩Y⊂E，从而G∩Y⊂E。这样E=G∩Y。

反过来，如果G是X的一个开集，而E=G∩Y，那么每个p∈E有一个邻域Vp⊂G。于是Vp∩Y⊂E，所以E关于Y是开集。