度量空间以及由此引出的一些概念

定义 设\(X\)是一个集，它的元素叫做点，如果 \(X\)的任意两点 \(p\)和\(q\)联系于一个实数\(d(p,q)\)，叫做从\(p\)到\(q\)的 距离 ， 他们满足条件：

1. 如果\(p\neq q\)，那么 \(d(p,q)>0;d(p,p)=0\);
2. \(d(p,q)=d(p,p)\);
3. 对于任意 \(r\in X\), \(d(p,q)\leq d(p,r)+d(r,q)\);

就称\(X\)是一个 度量空间 。

从定义可知，度量空间中有距离的概念。有距离才有度量，就像在Viterbi译码过程中，有欧氏距离或者汉明距离的定义，才会有幸存路径度量的概念。在度量空间中，距离函数的定义非常重要。最常见的度量空间是欧式空间\(R^{k}\)，特别是 \(R^{1}\)（实数轴）和 \(R^{2}\)（复平面）。在\(R^{k}\)中，距离定义为 \[d(x,y) = |x-y|, x,y\in R^{k}\]

度量空间中有一些非常重要的概念。这些概念互相关联为度量空间中的分析奠定了基础，特别是以下几个概念的引出更是环环相扣(以下提到的点和集都是度量空间 \(X\)中的点和集)：

1. 点\(p\)的邻域 \(N_{r}(p)\)指的是满足条件 \(d(p,q) < r \)的一切点\(q\)所成的集。 \(r\)叫做\(N_{r}(p)\)的半径。
2. 点\(p\)叫做集\(E\)的极限点，如果 \(p\)的每个邻域都有一点 \(q\in E\) 而 \(q\neq p\)。
3. 如果 \(p\in E\)但 \(p\)不是 \(E\)的极限点，则\(p\)是\(E\)的孤立点。
4. \(E\)是闭集，如果 \(E\)的每个极限点都是\(E\)的点.
5. 点\(p\)叫做\(E\)的内点，如果存在\(p\)的一个邻域\(N\)，有\(N\subset E\)。
6. \(E\)是开集，如果 \(E\)的所有点都是\(E\)的内点。
7. \(\{p|p\in X,\notin E\}\)构成\(E\)的余集\(E^{c}\).
8. \(E\)叫做完全的，如果\(E\)是闭集，并且\(E\)的每个点都是\(E\)的极限点。
9. \(E\)叫做有界的，如果有一个实数\(M\)和一个点\(q\in X\)，使得一切\(p\in E\)都满足\(d(p,q) < M\)
10. \(E\)叫做在\(X\)中稠密，如果\(X\)的每个点或是\(E\)的极限点，或是\(E\)的点。

显然，在\(R^{1}\)中，邻域就是开区间；在\(R^{2}\)中，邻域就是圆的内部（不包含圆的边）。这里特别要强调的极限点的定义，根据极限点的定义，极限点有可能不是\(E\)的点。比如，在\(R^{2}\)中，对于集合\(|z<1|\)，满足\(z=1\)的那些点都是\(|z<1|\)的极限点，但是这些点却不是\(|z<1|\)的点。另外一个例子\(\{\frac{1}{n}|n=1,2,\ldots\}\)有一个极限点0，但是0却不是这个集合中的点。所以，对于集合拥有极限点和集合包含极限点是两个概念。

在Rudin的教材中，从度量空间以及刚才引出的那些定义出发，还有几个定理，如下：

定理 邻域必是开集

证明 ：假设有一邻域 \(E= N_{r}(p)\)，令 \(q\)是 \(E\)中的任意一点，于是有一正实数 \(h\)使得 \[d(p,q) = r-h\] 对于一切 \(d(q,s) < h\) 的点 \(s\)，我们有 \[ d(p,s) \leq d(p,q) + d(q,s) < r-h + h = r \] 所以\(s\in E\)。 因此, \(q\)是\(E\)的内点。

这个证明相当简洁，在证明过程中，两次用到邻域概念，一次用到开集概念。巩固了对开集和邻域定义的理解。

定理 如果\(p\)是集\(E\)的一个极限点，那么\(p\)的每个邻域都含有\(E\)的无限多个点。

证明 ：假设 \(p\)的某个邻域\(N\)只含有 \(E\) 的有限多个极限点， 令 \(q_{1},\ldots, q_{n}\)是 \(N\cap E\) 中这有限个异于 \(p\) 的点。 又令 \[r = \min_{1\leq m \leq n} d(p,q_{m})\] 显然有 \(r>0\)。那么邻域 \(N_{r}(p)\)中不能再含有\(E\)的点\(q\)并且\(q\neq p\)。所以 \(p\)不是 \(E\)的极限点，矛盾。

定理 有限的点集没有极限点

定理 \(E\)是开集，当且仅当它的余集是闭集。

证明 ：首先假设 \(E^{c}\)是闭集，我们证明\(E\)是开集。假设\(x\in E\)，所以\(x\notin E^{c}\)。另外\(x\)也不可能是\(E^{c}\)的极限点（因为我们假设\(E^{c}\)是闭集，闭集所有的极限点都是该集合的点。）。于是\(x\)有一个邻域\(N\)，使得\(N\cap E=\emptyset\)，即：\(N\subset E\)。所以\(x\)是\(E\)的内点，所以\(E\)是开集。

反过来，假设\(E\)是开集，我们证明\(E^{c}\)是闭集。假设\(x\)是\(E^{c}\)的一个极限点，那么\(x\)的每个邻域都含有\(E^{c}\)的点，所以\(x\)不是\(E\)的内点。因为\(E\)是开集，所以\(x\in E^{c}\)，\(E^{c}\)是闭集。

这个定理的证明过程紧扣开集，闭集，极限点和内点的定义

定理 设 \(\{E_{\alpha}\}\)是若干（有限个或无限多个）集\(E_{\alpha}\)的一个组，那么\[(\underset{\alpha}{\cup}E_{\alpha})^{c} = \underset{\alpha}{\cap}(E_{\alpha}^{c})\]

证明 ：令 \(A = (\underset{\alpha}{\cup}E_{\alpha})^{c}\), \(B = \underset{\alpha}{\cap}(E_{\alpha}^{c})\)，若\(x\in A\)，则\(x\notin (\underset{\alpha}{\cup}E_{\alpha})\)，对于任意的\(\alpha\)，有\(x\notin E_{\alpha}\)，从而\(\forall \alpha, x\in E_{\alpha}^{c}\)，所以\(x\in E_{\alpha}^{c}\)，即 \(A\subset B\).

反过来，如果\(x\in B\)，那么对于每个\(\alpha\)，\(x\in E_{\alpha}^{c}\)。也即对于每个\(\alpha\)，\(x\notin E\)。因此 \(x\notin \underset{\alpha}{\cup} E_{\alpha}\)。即\(x\in (\underset{\alpha}{\cup}E_{\alpha})^{c}\)，于是\(B\subset A\)

定理 (a) 任意一组开集\(\{G_{\alpha}\}\)的并 \(\underset{\alpha}{\cup} G_{\alpha}\)是开集。 (b) 任意一组闭集\(\{F_{\alpha}\}\)的交 \(\underset{\alpha}{\cap} F_{\alpha}\)是闭集。(c) 任意一组有限个开集 \(G_{1},\ldots , G_{n}\)的交 \( \bigcup\limits_{i=1}^{n} G_{i}\)是开集。(d) 任意一组有限个闭集 \(F_{1},\ldots, F_{n}\)的并 \(\bigcap\limits_{i=1}^{n}F_{i}\)是闭集。

证明 ：令\(G=\underset{\alpha}{\cup} G_{\alpha}\)。如果\(x\in G\)，就有某个\(\alpha\)，使得 \(x\in G_{\alpha}\)。从开集的定义出发（如果集合中所有的点都是内点，则该集合为开集），我们知道 \(x\)是\(G_{\alpha}\)的内点，从而\(x\)也是\(G\)的内点。由于\(x\)的任意性，所以\(G\)是开集。 这样我们就证明了定理的(a)。

接下来我们证明(b)： \(F_{a}\)是闭集，闭集的余集是开集，意味着 \(F_{a}^{c}\)是开集，根据(a)，我们有 \(\underset{\alpha}{\cup}F_{\alpha}^{c}\)是开集。我们还知道 设 \(\{E_{\alpha}\}\)是若干（有限个或无限多个）集\(E_{\alpha}\)的一个组，那么\((\underset{\alpha}{\cup}E_{\alpha})^{c} = \underset{\alpha}{\cap}(E_{\alpha}^{c})\) 。 所以 \( (\underset{\alpha}{\cap})^{c}\)是开集。开集的余集是闭集，意味着 \( \underset{\alpha}{\cap}F_{\alpha}\)是闭集。

今天还不是很累，觉得应该可以把闭包和相关的定理给学习完毕。

闭包 设\(X\)是度量空间，如果 \(E\subset X\)， \(E^{'}\)表示 \(E\)在\(X\)中所有极限点组成的集，那么，把\( \overline{E} = E\cup E^{'}\)叫做 \(E\)的闭包。

解读：\(E^{'}\)中的点不一定属于\(E\)。\(E^{'}\)中的点是\(E\)在\(X\)中的极限点，根据极限点的定义，我们知道\(E\)的极限点不一定属于\(E\)。从而，\(E^{'}\)中的点也不一定属于\(E\)。\(E\)的闭包\(\bar{E}\)包含的点有属于\(E\)的点，也有不属于E的点。\(\bar{E}\)中属于\(E\)的那些点，或者是\(E\)的极限点，或者是\(E\)的孤立点。总之\(E\subset \bar{E}\)，但是\(\bar{E}\)不一定等于\(E\)。

定理 设\(X\)是度量空间，而\(E\subset X\)，那么 (a) \(\bar{E}闭\) ;(b) \(E=\bar{E}\)当前仅当\(E\)闭;(c) 如果闭集\(F\subset X\)且\(E\subset F\)，那么\(\bar{E}\subset F\)。 由(a)和(c)，\(\bar{E}\)是\(X\)中包含\(E\)的最小闭子集。

证明 如果\(p\in X\)而\(p\notin \bar{E}\)，根据闭包的定义，\(p\)既不是\(E\)的点，也不是\(E\)的极限点。因此，\(p\)有某个邻域与\(E\)不交。所以\(\bar{E}\)的余集是开集，因此\(\bar{E}\)是闭集。

证明(b)：如果\(E=\bar{E}\)，(a)表明\(E\)闭。如果\(E\)闭，那么\(E\)的极限点是\(E\)的点，那么\(E^{'}\subset E\)。所以\(\bar{E} = E\)。

证明(c)：如果\(F\)闭，且\(F\subset X\)，则\(F^{'}\subset F\)。根据闭集定义，\(F\)的所有极限点都属于\(F\)，即\(F^{'}\subset F\)，因此\(E^{'}\subset F\)，于是\(\bar{E}\subset F\)。

由(a)和(c)，我们知道 \(\bar{E}\)是\(X\)中包含\(E\)的最小闭子集。具体为，根据(c)，由于\(F\)的任意性，\(\bar{E}\)属于\(F\)。根据定义\(\bar{E} = E\cup E^{'}\)，我们知道\(E\subset \bar{E}\)。可以说，除了闭包\(\bar{E}\)外，任何包含\(E\)的闭集，都至少包含了闭包\(\bar{E}\)。这样说或许有些不严密，但是是一个理解过程。

解读 上面这个定理告诉我们，闭包是包含该集合的最小闭集。上述定理也提出了一种从一个集合构建包含该集合最小闭集的步骤。

定理 设\(E\)是一个非空实数集，上有界，令\(y=\sup E\)，那么\(y\in \bar{E}\)。特别的，如果\(E\)闭，那么，\(y\in E\)

证明 如果\(y\in E\)，那么\(y\in \bar{E}\)。接下来我们考虑\(y\notin E\)的情形，对于每个\(h>0\),存在\(x\in E\)，使得\(y-h < x < y\)。因为如果这样的\(h\)不存在的话，\(y-h\)就是\(E\)的上界了。所以\(y\)是\(E\)的极限点。

解读 这是根据极限点的定义来的。(点\(p\)叫做集\(E\)的极限点，如果点\(p\)的每个邻域都含有一点\(q\in E\)而\(q\neq p\))。鉴于\(h\)的任意性和\(x\)的任意性，在\(y\)的任意邻域内，总有一点属于\(E\)，所以\(y\)符合极限点的定义，故\(y\)是\(E\)的极限点。这个定理告诉我们：一个集合的上确界属于这个集合的闭包。几乎不假思索我们可以知道，一个集合的下确界也属于这个集合的闭包。

定义\(X\)是度量空间，设\(E\subset Y\subset X\)，我们说\(E\)是\(X\)的开子集，就是说给每个\(p\in E\)配备一个正数\(r\)，使得\(d(p,q) < r\) 和 \(q\in X\) 能保证\(q\in E\)。\(p\)是\(E\)的内点。特别的，如果能给每个\(p\in E\)配备一个\(r > 0\)， 当\(d(p,q) < r \)且\(q\in Y\)时，就有\(q\in E\)，我们就说\(E\)关于\(Y\)是开的。一个集合可以关于\(Y\)是开的，然而却不是\(X\)的开子集。

比如开区间\((a,b)\subset R^{1} \subset {R^{2}}\)。显然，对于每个\(p\in (a,b) \)，配备一个正数\(r\)，使得\(d(p,q) < r\)和\(q\in R^{2}\)，但是我们不能保证\(q\in E\)。因此\((a,b)\)不是\(R^{2}\)的开子集。但是对于每个\(p\in (a,b)\)，配备一个整数\(r\)，使得\(d(p,q) < r\)和\(q\in Y\)。即\((a,b)\)关于\(Y\)是开的。关于"一个集合可以关于\(Y\)是开的，然而却不是\(X\)的开子集。" 有如下定理：

定理 设\(Y\subset X\), \(Y\)的子集\(E\)关于\(Y\)是开的，当且仅当\(X\)有某个开子集\(G\)，使\(E = Y\cap G\)。

证明 设\(E\)关于\(Y\)是开集。那么对于每个\(p\in E\)，有正数\(r_{p}\)使得条件\(d(p,q) < r_{p}\)与 \(q\in Y\)保证\(q\in E\)。令\(V_{p}\)是一切合于\(d(p,q) < r_{p}\)的\(q\in X\)的集，并定义\(G=\cup_{p\in E} V_{p}\) 则\(G\)是\(X\)的开子集。因为一切\(p\in E\)都有\(p\in V_{p}\)，显然\(E\subset G\cap Y\)。根据\(V_{p}\)的构造过程，对于每个\(p\in E\)，我们有\(V_{p}\cap Y\subset E\)，从而\(G\cap Y\subset E\)。这样\(E=G\cap Y\)。

反过来，如果\(G\)是\(X\)的一个开集，而\(E=G\cap Y\)，那么每个\(p\in E\)有一个邻域\(V_{p}\subset G\)。于是\(V_{p}\cap Y\subset E\)，所以\(E\)关于\(Y\)是开集。