随机变量函数的分布
1 引子
我们经常遇到这样的情形：已知某个随机变量的分布，但我们感兴趣的是该随机变量的函数的分布。例如，设随机变量X的分布已知，欲求g(X)的分布。为求g(X)的分布，需要将事件g(X)≤y表示关于X的集合。
2 几个例子
设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，下面我们给出随机变量Y=Xn的分布。对于0≤y≤1有：
FY(y)=P{Y≤y}=P{Xn≤y}=P{X≤y1/n}=FX(y1/n)=y1/n则Y的密度函数为：
fY(y)={1ny1n−10≤y≤10others设X是一个连续性随机变量，密度函数为fX，则Y=X2的分布可以通过以下方法得到：对于y≥0，有：
FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{−√y≤X≤√y}=FX(√y)−Fx(−√y)求导可得：
fY(y)=12√y[fX(√y)+fX(−√y)]设X有密度函数fX，则Y=|X|的密度函数可以如下得到，对于y≥0，有：
FY(y)=P{Y≤y}=P{|X|≤y}=P{−y≤X≤y}=FX(y)−FX(−y)求导可得：
fY(y)=fX(y)+fX(−y),y≥03 一般性的定理
设X为连续随机变量，密度函数为fX，设g(x)为一严格单调（递增或递减）且可微的函数，那么随机变量Y=g(X)的密度函数为：
fY(y)={fX[g−1(y)]|ddyg−1(y)|if∃x,s.t.y=g(x)0∀x,y≠g(x)设对某些x，有y=g(x)，那么，若令Y=g(X)，则有：
FY(y)=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=FX(g−1(y))求导可得：
fY(y)=fX(g−1(y))ddyg−1(y)因为g−1(y)单调非降，所以导数非负。若g−1(y)单调非曾则导数为负值。
若对于任意x都有y≠g(x)，那么FY(y)要么是0要么是1.无论哪种情况都有fY(y)=0