随机变量函数的分布
1 引子
我们经常遇到这样的情形：已知某个随机变量的分布，但我们感兴趣的是该随机变量的函数的分布。例如，设随机变量\(X\)的分布已知，欲求\(g(X)\)的分布。为求\(g(X)\)的分布，需要将事件\(g(X) \leq y\)表示关于\(X\)的集合。
2 几个例子
设随机变量\(X\)服从\((0,1)\)上的均匀分布，下面我们给出随机变量\(Y = X^{n}\)的分布。对于\(0 \leq y \leq 1\)有：
\begin{eqnarray} \label{eq:1} F_{Y}(y) &=& P\{Y \leq y\} \\ &=& P\{X^{n} \leq y\} \\ &=& P\{X \leq y^{1/n}\} \\ &=& F_{X}(y^{1/n}) \\ &=& y^{1/n} \end{eqnarray}则\(Y\)的密度函数为：
\begin{equation} \label{eq:2} f_{Y}(y) = \begin{cases} \frac{1}{n}y^{\tfrac{1}{n}-1} & 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \mathrm{others} \end{cases} \end{equation}设\(X\)是一个连续性随机变量，密度函数为\(f_{X}\)，则\(Y = X^{2}\)的分布可以通过以下方法得到：对于\(y\geq 0\)，有：
\begin{equation} \label{eq:3} F_{Y}(y) = P\{Y\leq y\} = P\{X^{2} \leq y\} = P\{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y} \} = F_{X}(\sqrt{y}) - F_{x}(-\sqrt{y}) \end{equation}求导可得：
\begin{equation} \label{eq:4} f^{Y}(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} [f_{X}(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) ] \end{equation}设\(X\)有密度函数\(f_{X}\)，则\(Y=|X|\)的密度函数可以如下得到，对于\(y\geq 0\)，有：
\begin{equation} \label{eq:5} F_{Y}(y) = P\{Y \leq y\} = P\{ |X| \leq y\} = P\{ -y \leq X \leq y\} = F_{X}(y) - F_{X}(-y) \end{equation}求导可得：
\begin{equation} \label{eq:6} f_{Y}(y) = f_{X}(y) + f_{X}(-y) ,y\geq 0 \end{equation}3 一般性的定理
设\(X\)为连续随机变量，密度函数为\(f_{X}\)，设\(g(x)\)为一严格单调（递增或递减）且可微的函数，那么随机变量\(Y=g(X)\)的密度函数为：
\begin{equation} \label{eq:7} f_{Y}(y) = \begin{cases} f_{X}[g^{-1}(y)]|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g^{-1}(y)| & \mathrm{if}\exists x,s.t. y = g(x)\\ 0 & \forall x, y\neq g(x) \end{cases} \end{equation}设对某些\(x\)，有\(y=g(x)\)，那么，若令\(Y = g(X)\)，则有：
\begin{equation} \label{eq:9} F_{Y}(y) = P\{g(X)\leq y\} = P\{X \leq g^{-1}(y)\} = F_{X}(g^{-1}(y)) \end{equation}求导可得：
\begin{equation} \label{eq:10} f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g^{-1}(y) \end{equation}因为\(g^{-1}(y)\)单调非降，所以导数非负。若\(g^{-1}(y)\)单调非曾则导数为负值。
若对于任意\(x\)都有\(y\neq g(x)\)，那么\(F_{Y}(y)\)要么是0要么是1.无论哪种情况都有\(f_{Y}(y) = 0\)