Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

泊松分布

目录

1 定义

在 二项分布 一文中，我们介绍了二项分布的定义和性质。在本文中，我们给出泊松分布，并分析泊松分布和二项分布之间的联系。

如果一个取值于0,1,2,…的随机变量对某一个λ，其分布如下：

p(i)=P{X=i}=e−λλii!,i=0,1,2,…

则称该随机变量未服从参数λ的泊松随机变量。

显然：

∞∑i=0p(i)=∞∑i=0e−λλii!=1

2 泊松分布与二项分布之间的关系

泊松分布在各个领域都有广泛应用，这是由于当n足够大，p充分小，np保持适当的大小时，参数为(n,p)的二项随机变量可以近似的看做参数为λ=np的泊松随机变量。

假设X是一个服从参数为(n,p)的二项随机变量，并记λ=np，那么：

P{X=i}=(ni)pi(1−p)n−i=n!(n−i)!i!(λn)i(1−λn)n−i=n(n−1)…(n−i+1)niλii!(1−λ/n)n(1−λ/n)i

当n→∞时，观察上式：

e−λ≈(1−λ/n)n1≈n(n−1)…(n−i+1)ni1≈(1−λn)i

因此有：

P{X=i}≈e−λλii!

独立重复n次试验，每次成功的概率为p，当n充分大，而p足够小，使得np保持适当的话，那么成功的次数近似的服从参数为λ=np的泊松分布，这个λ值通常凭经验确定。

以下的例子大都服从泊松分布：

  1. 一本书里一页或若干页中印刷错误的数量；
  2. 某地区居民活到100岁的人数；
  3. 一天中拨错电话号码的次数；
  4. 一家便利店里每天卖出狗粮饼干的盒数；
  5. 某一天进入一个邮局的顾客数；

3 泊松分布的期望和方差

回忆在上一章节中我们假设np=λ，而二项分布的期望是np，另外二项分布的方差是np(1−p)=λ(1−p) 当p很小时，λ(1−p)近似为λ。所以我们猜测泊松分布的均值和方差都是λ。接下来，证明这一点：

E[X]=∞∑i=0ie−λλii!=λ∞∑i=1e−λλi−1(i−1)!=λ

上面的推导过程中使用了哑元变量替换。接下来推倒泊松分布的方差：

E[X2]=∞∑i=0i2e−λλii!=e−λ∞∑i=0λii(i−1)!=e−λ∞∑i=0[λi(i−1)(i−1)!+λi(i−1)!]=e−λ∞∑i=0λλi−1(i−1)(i−1)!+e−λ∞∑i=0λi−1λ(i−1)!=λE[X]+λ=λ2+λ

根据方差公式：

Var(X)=E[X2]−(E[x])2=λ

4 计算泊松分布

如果X服从参数为λ的泊松分布，则：

P{X=i+1}P{X=i}=e−λλi+1/(i+1)!e−λλi/i!=λi+1

因此，我们有递推式：

P{X=i+1}=λi+1P{X=i}

5 使用python做试验

在scipy提供的众多科学计算程序中， stats 包含了众多对泊松分布的支持。

我们首先验证当二项分布的N和p满足一定条件时，可以用泊松分布来近似的这个结论。

假设(n,p)=(100,0.1)，另外假设λ=10，我们有： 

 1: from scipy.stats import binom
 2: import numpy as np
 3: import matplotlib.pyplot as plt
 4: from scipy import stats as S
 5: N,p = 100,0.1
 6: mu = 10
 7: x = np.arange(0,N+1,1)
 8: y_binomial = S.binom.pmf(x,N,p)
 9: y_poisson = S.poisson.pmf(x,mu)
10: fig,ax = plt.subplots()
11: ax.plot(x,y_binomial,'-bo',
12:         label='binomial distribution');
13: ax.plot(x,y_poisson,'-ro',
14:         label='poisson distribution');
15: 
16: legend = ax.legend(loc='best',
17:          shadow=True,
18:          fontsize='x-large')
19: legend.get_frame().set_facecolor('#00FFCC')
20: plt.show()
21:

结果如图1 所示：

20170701binomialvspoisson1.png

Figure 1: (100,0.1)的二项分布和λ=10的泊松分布

可以看到当np=λ时，泊松分布和二项分布近似的相当好。事实上当n=10,p=0.1,λ=np=1，或者n=10,p=0.2,λ=np=2时，泊松分布和二项分布近似的也相当好。图2 直观的展示了这一结论。

20170701binomialvspoisson2.png

Figure 2: np=λ的二项分布和λ=10的泊松分布

代码如下： 

 1: from scipy.stats import binom
 2: import numpy as np
 3: import matplotlib.pyplot as plt
 4: from scipy import stats as S
 5: N,p = 10,0.1
 6: mu = 1
 7: x = np.arange(0,N+1,1)
 8: y_binomial = S.binom.pmf(x,N,p)
 9: y_poisson = S.poisson.pmf(x,mu)
10: 
11: fig = plt.figure(1)
12: ax1 = plt.subplot(211)
13: ax2 = plt.subplot(212)
14: 
15: ax1.plot(x,y_binomial,'-bo',
16:          label='binomial distribution$(10,0.1)$');
17: ax1.plot(x,y_poisson,'-ro',
18:          label='poisson distribution$\lambda = 1$');
19: 
20: legend1 = ax1.legend(loc='best',
21:                     shadow=True,
22:                     fontsize='x-large')
23: legend1.get_frame().set_facecolor('#00FFCC')
24: 
25: N,p = 10,0.2
26: mu = 2
27: x = np.arange(0,N+1,1)
28: y_binomial = S.binom.pmf(x,N,p)
29: y_poisson = S.poisson.pmf(x,mu)
30: 
31: ax2.plot(x,y_binomial,'-bo',
32:          label='binomial distribution$(10,0.2)$');
33: ax2.plot(x,y_poisson,'-ro',
34:          label='poisson distribution$\lambda=2$');
35: 
36: legend2 = ax2.legend(loc='best',
37:                     shadow=True,
38:                     fontsize='x-large')
39: 
40: legend2.get_frame().set_facecolor('#00FFCC')
41: plt.show()

现在我们生成10000个λ=2的泊松分布样本。 

s = S.poisson.rvs(1,size= 1000)

然后求其均值和方差： 

np.mean(s)
np.var(s)

输出为1.04和1.1044。可以预见当我们对更多样本求均值时，会越来越接近于1. 因为泊松分布的均值和方差相等，随着更多样本的加入， np.mean(s) 和 np.var(s) 的值也会越来越靠近。