均匀分布
1 定义
如果一个随机变量X的密度函数为:
f(x)={10<x<10others则称随机变量X在(0,1)区间上均匀分布。因为f(x)≥0,且∫∞−∞f(x)dx=1,所以f(x)是概率密度函数。因为仅当x∈(0,1)才有f(x)>0,所以X必然取值在0,1之间。又因为在(0,1)之间时,f(x)是常数,所以X等概的取(0,1)的值。
一般来讲,我们称X为区间(α,β)上服从均匀分布的随机变量,如果它的密度函数为:
f(x)={1β−αα<x<β0others2 期望和方差
令X在(α,β)上服从均匀分布,求E[X]和Var[X]。
按照期望公式:
E[X]=∫∞∞xf(x)dx=∫βαxβ−αdx=α+β2即某个区间上均匀分布随机变量的期望就等于该区间的中值。
E[X2]=∫βαx2β−αdx=β2+αβ+α23利用:
Var=E[X2]−(E[X])2则:
Var(X)=(β−α)212