均匀分布

如果一个随机变量\(X\)的密度函数为：

\begin{equation} \label{eq:1} f(x) = \begin{cases} 1 & 0 < x < 1 \\ 0 & \mathrm{others} \end{cases} \end{equation}

则称随机变量\(X\)在\((0,1)\)区间上均匀分布。因为\(f(x) \geq 0\)，且\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1 \)，所以\(f(x)\)是概率密度函数。因为仅当\(x\in (0,1)\)才有\(f(x) > 0\)，所以\(X\)必然取值在\(0,1\)之间。又因为在\((0,1)\)之间时，\(f(x)\)是常数，所以\(X\)等概的取\((0,1)\)的值。

一般来讲，我们称\(X\)为区间\((\alpha,\beta)\)上服从均匀分布的随机变量，如果它的密度函数为：

\begin{equation} \label{eq:2} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta - \alpha} & \alpha < x < \beta \\ 0 & \mathbf{others} \end{cases} \end{equation}

令\(X\)在\((\alpha,\beta)\)上服从均匀分布，求\(E[X]\)和\(\mathrm{Var}[X]\)。

按照期望公式：

\begin{equation} \label{eq:3} E[X] = \int_{\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{x}{\beta-\alpha}dx = \frac{\alpha + \beta}{2} \end{equation}

即某个区间上均匀分布随机变量的期望就等于该区间的中值。

\begin{eqnarray} \label{eq:4} E[X^{2}]&=&\int_{\alpha}^{\beta} \frac{x^{2}}{\beta-\alpha} dx = \frac{\beta^{2} + \alpha \beta + \alpha^{2}}{3} \\ \end{eqnarray}

利用：

\begin{equation} \label{eq:5} \mathrm{Var} = E[X^{2}] - (E[X])^{2} \end{equation}

则：

\begin{equation} \label{eq:6} \mathrm{Var}(X) = \frac{(\beta - \alpha)^{2}}{12} \end{equation}