均匀分布

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1 定义

如果一个随机变量X的密度函数为:

f(x)={10<x<10others

则称随机变量X(0,1)区间上均匀分布。因为f(x)0,且f(x)dx=1,所以f(x)是概率密度函数。因为仅当x(0,1)才有f(x)>0,所以X必然取值在0,1之间。又因为在(0,1)之间时,f(x)是常数,所以X等概的取(0,1)的值。

一般来讲,我们称X为区间(α,β)上服从均匀分布的随机变量,如果它的密度函数为:

f(x)={1βαα<x<β0others

2 期望和方差

X(α,β)上服从均匀分布,求E[X]Var[X]

按照期望公式:

E[X]=xf(x)dx=βαxβαdx=α+β2

即某个区间上均匀分布随机变量的期望就等于该区间的中值。

E[X2]=βαx2βαdx=β2+αβ+α23

利用:

Var=E[X2](E[X])2

则:

Var(X)=(βα)212