均匀分布

如果一个随机变量X的密度函数为：

f(x)={10<x<10others

则称随机变量X在(0,1)区间上均匀分布。因为f(x)≥0，且∫∞−∞f(x)dx=1，所以f(x)是概率密度函数。因为仅当x∈(0,1)才有f(x)>0，所以X必然取值在0,1之间。又因为在(0,1)之间时，f(x)是常数，所以X等概的取(0,1)的值。

一般来讲，我们称X为区间(α,β)上服从均匀分布的随机变量，如果它的密度函数为：

f(x)={1β−αα<x<β0others

令X在(α,β)上服从均匀分布，求E[X]和Var[X]。

按照期望公式：

E[X]=∫∞∞xf(x)dx=∫βαxβ−αdx=α+β2

即某个区间上均匀分布随机变量的期望就等于该区间的中值。

E[X2]=∫βαx2β−αdx=β2+αβ+α23

利用：

Var=E[X2]−(E[X])2

则：

Var(X)=(β−α)212