随机过程的定义

首先给出的是伯努利过程。以掷硬币为例。设想每单位时间丢一次硬币，观察结果。如果出现正面记为 1，如果出现反面记为 0。一直丢下去，便可得到一个无穷序列\(\{x_{1},x_{2},\ldots \}\)，则:

\begin{equation} \label{eq:1} \{x_{1},x_{2},\ldots \} = \{x_{n}:n=1,2,\ldots ;x_{n}=1 \quad or \quad x_{n} = 0\} \end{equation}

因为每次抛掷的结果\(x_{n}\)是一个随机变量\(1\)或者\(0\)，所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列。称随机变量的序列为随机序列，也可以说是随机过程。每次抛掷的结果与向后歌词抛掷的结果是统计独立的，并且\(x_{n}\)出现\(0\)或者\(1\)的概率与抛掷的时间\(n\)无关。设：

\begin{eqnarray} \label{eq:2} p\{x_{n} = 1\}&=& p \\ p\{x_{n} = 0\}&=&1- p \end{eqnarray}

其中\(p\{x_{n} = 1\} = p\) 与\(n\)无关，且\(x_{i},x_{k},i\neq k\)是相互统计独立的随机变量。称具有这种特性的随机过程为伯努利型随机过程。

有许多实际问题可以归类到伯努利概率模型。如在数字通信中所传送的信号是脉冲信号，在某一时刻\(t\)可能出现脉冲也可能不出现脉冲，出现脉冲记为\(1\)，不出现脉冲记为\(0\)，则在\(t\)时刻信号的值\(x\)是一个随机变量，\(x_{t}\)有两个取值。如果在\(t_{1},t_{2},t_{3},\ldots \)时观察信号，则所得结果\(\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\)。如果在\(t_{k}\)时刻出现\(1\)或者\(0\)的概率和观察的时刻\(t_{k}\)无关，在\(t_{i}\)时刻出现\(x_{i}\)和在\(t_{k}\)时刻出现\(x_{k}\)是相互独立的，并设\(P(x_{i} =1) = p,P(x_{i} = 0) = 1-p\)则\(p\)与\(i\)无关，且\(x_{i},x_{k}\)是相互独立的随机变量，这样形成的随机序列属于伯努利概型。

正弦波过程。在振荡器的大批生产过程中抽出一台振荡器，它的输出波形为：

\begin{equation} \label{eq:3} x(t) = v\sin(\omega t + \phi) \end{equation}

其中\(v\)是振幅，\(\omega\)是震荡角频率，\(\omega = 2\pi f\)，\(f\)是频率，\(\phi\)为振荡器的初始相位。由于生产工艺的偏差，每个振荡器的振幅和频率与额定值都会有一定的偏差，各台的偏差是不一致的，也就是说\(v,\omega\)是随机变量，每一台的\(v,\omega\)是样本空间\((V,\Omega)\)的一个样本点。而且把振荡器接上电源，初始相位\(\phi\)也是随机的，所以每次对一台振荡器做实验，其输出电压的\(v,\omega,\phi\)为随机变量。不同振荡器在各次试验中其输出电压的时间函数虽然是正弦波，但因为\(v,\omega,\phi\)为随机变量，不同台不同次的输出可能均不相同，如果固定一个观察时刻，观察各台振荡器在这一时刻的电压，则\(x(t) = v\sin (\omega t + \phi)\)也是随机变量。在\(t\)时，\(x(t)\)的分布决定于\(t\)以及\(v,\omega,\phi\)的分布。

称\(x(t) = v\sin (\omega t + \phi)\)为正弦波过程，在这个过程中，\(t\)是一个参量，它可取\([0,\infty)\) 内的任意值。

如果对晶体管的噪声进行测量，每隔单位时间去一个样本，则可在\(t=1,2,\ldots \)时刻测得一组无穷可列维随机矢量\(\{x_{1},x_{2},\ldots \}\)一次测量的结果为样本空间的一个点，每次测量的结果可能各不相同。我们每次测试的结果成为一个现实，或称为一个样本函数。另一方面，如果固定一个观测时刻，对噪声进行无穷次测量，则可以得到该时刻噪声的分布。如果固定第二个时刻，则测测该第二个时刻噪声的二维分布。如果固定\(n\)个时刻，则可测得\(n\)个时刻噪声的\(n\)维分布。