线性映射的对偶的零空间和值域
我们在 对偶空间与对偶映射 一节讨论了对偶空间和对偶映射的定义。对偶空间把线性泛函和一个特定的空间V联系起来，从对偶空间导出对偶基的概念。从一般的线性映射导出了对偶映射的概念，进而导出对偶映射的一些性质，这些性质和其对应的线性映射之间存在紧密的联系。
今天学习线性映射的对偶的零空间和值域。顾名思义，线性映射T的对偶T′指对偶空间L(W′,V′)中的映射，其零空间和值域按照零空间和值域的记号可以写为：nullT′,rangeT′。显然对偶映射与其对应的线性映射之间存在紧密的联系，则对偶空间的零空间和值域也必然与nullT和rangeT之间存在紧密的联系。
对于U⊂V，U的零化子(annihilator)U0定义如下：U0={φ∈V′:∀u∈U,φ(u)=0}
从定义可以解读，零化子是线性泛函的集合，这个线性泛函是针对V的对偶空间。属于零化子的线性泛函具有∀u∈U,φ(u)=0的特性。
设U是P(R)的用x2乘以所有多项式所得到的子空间，若φ是P(R)上由φ(p)=p′(0)定义的线性泛函，则φ∈U0
对于U⊂V，零化子U0是V′的子集。于是U0依赖于包含U的向量空间，所以记号U0V或许更准确，这个记号告诉我们U⊂V且零化子是属于V0的子集。
用e1,e2,e3,e4,e5表示R5的标准基，用φ1,φ2,φ3,φ4,φ5表示(R5)′的对偶基。设：
U=span(e1,e2)={(x1,x2,0,0,0)∈R5:x1,x2∈R}证明：U0=span(φ3,φ4,φ5)
因为φ1,φ2,φ3,φ4,φ5是(R5)′的对偶基，则这个对偶基是把R5中的向量x=(x1,x2,x3,x4,x5)变为对应坐标元素的基，即： φi(x)=xi,∀i∈{1,2,3,4,5}
设线性泛函φ∈span(φ3,φ4,φ5)，则∃c3,c4,c5，使得:φ=c3φ3+c4φ4+c5φ5，显然φ∈(R5)′，又因为U=span(e1,e2)，则对于x=(x1,x2,0,0,0)∈U，有： φ(x)=c3φ3(x)+c4φ4(x)+c5φ5(x)=0 所以φ∈U0，又由于φ的任意性，span(φ3,φ4,φ5)⊆U0
接下来我们证明另一方面：证明U0∈span(φ3,φ4,φ5)。
设φ∈U0，因为U0是(R5)′的子集，则φ可以表示成(R5)′的基的线性组合，即：∃c1,c2,c3,c4,c5使得： φ=c1φ1+c2φ2+…+c5φ5，因为φ∈U0，则对于u∈U，有φ(u)=0。因为U=span(e1,e2)，φ(e1)=0,φ(e2)=0，进而c1=0,c2=0，所以：φ=c3φ3+c4φ4+c5φ5 即：U0⊆span(φ3,φ4,φ5)
综上有：U0=span(φ3,φ4,φ5)
设U⊂V，则U0是V′的子空间。
证明这样的问题，我们可以从证明子空间的三点出发：1. 包含零元，2. 可加性，3. 齐次性。
U0中包含线性泛函0是显然的。接下来我们证明可加性和齐次性。
设φ,ϕ∈U0，则对于u∈U，有：
(φ+ϕ)(u)=φ(u)+ϕ(u)=0另外对于λ∈F,ϕ∈U0，则对于(λϕ)(u)=λ(ϕ(u))=λ0=0
所以零化子U0是V′的子空间。
对于零化子的维数有一个结论：
设V是有限维的，U是V的子空间，则：dimU+dimU0=dimV
证明之前，明确一下U0，U0是U零化子，零化子是线性泛函的集合，零化子里的线性泛函把∀u∈U映射为0。
设i∈L(U,V)是包含映射，定义如下：对u∈U有i(u)=u，则i′是V′到U′的线性映射。对i′应用线性映射基本定理有：
dimrangei′+dimnulli′=dimV′而nulli′=U0，且dimV′=dimV，故上式变为：
dimrangei′+dimU0=dimV若ϕ∈U′，则ϕ可以扩张为V上的线性泛函ψ，i′的定义表明i′(ψ)=ϕ.所以ϕ∈rangei′，这表明rangei′=U′。因此：dimrangei′=dimU′=dimU
综上原命题得证。
这个命题的证明过程综合了好多个知识点，现在我们慢慢消化它。首先：从定义i(u)=u和i′是从V′到U′的线性映射出发。我们知道i′(ϕ)=0,ϕ∈V′意味着ϕ∘i=0，又因为i是包含映射，所以有：ϕ∈U0
另外对于i′的定义，这个线性映射把一个线性泛函映射为另外一个线性泛函，要紧扣对偶映射的定义。
设V和W都是有限维，T∈L(V,W)，则：
- nullT′=(rangeT)0
- dimnullT′=dimnullT+dimW−dimV
- 首先假设φ∈nullT′，则0=T′(φ)=φ∘T，对于v∈V，有：0=(φ∘T)(v)=φ(Tv)于是φ∈(rangeT)0，即nullT′⊆(rangeT)0 为了证明另外一个方面,设φ∈(rangeT)0，我们知道(rangeT)0={ϕ∈W′:∀ω∈rangeT,ϕ(ω)=0}，假设φ∈(rangeT)0,我们要证明φ∈nullT′。因为φ∈(rangeT)0，则有：∀v∈rangeT,φ(Tv)=0=(φ∘T)v，显然有φ∘T=0=T′(φ)，即，φ∈nullT′，即(rangeT)0⊆nullT′
- 第二步的证明：
第一个等式直接利用第一步的结果，第二个等式利用零化子的维数公式，第三个等式利用了线性映射基本定理。
设V和W是有限维的，T∈L(V,W)，则T是满的当且仅当T′是单的。
我们之前有nullT′=(rangeT)0，所以rangeT=W当且仅当(rangeT)0={0}，当且仅当nullT′={0}，即T′是单的。
设V和W都是有限维的，T∈L(V,W)，则：
- dimrangeT′=dimrangeT
- rangeT′=(nullT)0
首先我们证明第一个问题：
dimrangeT′=dimW′−dimnullT′=dimW−dim(rangeT)0=dimrangeT第一个等式是线性应设定里的直接使用。第二个等式是dimW=dimW′和dimnullT′−dim(rangeT)0的实用。第三个等式是dimU+dimU0=dimV的直接使用。
然后我们证明第二个问题： 设φ∈rangeT′，由于rangeT′⊆V′,则φ∈V′。存在ψ∈W′，使得T′(ψ)=φ，设v∈nullT，则有v∈V，所以φ(v)=T′(ψ)(v)=ψ∘T(v)=0，所以φ∈(nullT)0，即rangeT′⊆(nullT)0
为了完成证明，我们需要证明dimrangeT′=dim(nullT)0，注意：
dimrangeT′=dimrangeT=dimV−dimnullT=dim(nullT)0T是单的等价于T′是满的。
映射T∈L(V,W)是单的当且仅当nullT={0}，当且仅当(nullT)0=V′ (因为当nullT={0}时，V′中的任意一个线性泛函都可以把nullT中的元素映射为0) ，当且仅当dimrangeT′=dimV′，即rangeT′=V′