对偶映射的矩阵以及矩阵的秩
我非常喜欢《linear algebra done right》这本书。其原因之一是这本书从头到尾都不是从矩阵到线性空间，而是从线性空间到矩阵。在 线性映射和矩阵的关系 一文中，我们从线性映射引出了矩阵， 这种自然的过渡不知道比从莫名其妙的行列式高明多少。说实话，大一的时候碰到行列式，然后进行各种稀奇古怪的计算时，我的内心是崩溃的，你现在还记得四阶行列式用伴随子计算的过程么？忘了最好！；好不容易从行列式出来，又突然进入了矩阵的泥潭，这完全是再次莫名其妙，等到线性映射出现的时候，已经“三而竭”了。尽管最后考了高分，那完全是填鸭式突击的结果。
在本文我们再次把矩阵和线性映射紧密联系。这次我们先给出矩阵转置的定义，然后论述矩阵的转置是如何和线性空间以及线性映射结合的。
1 对偶映射的矩阵
矩阵\(A\)的转置是通过互换\(A\)的行和列来完成的。确切的说，若\(A\)是\(m\times n\)的矩阵，则\(A^{t}\)是\(n\times m\)矩阵，其元素由下面的等式给出： \[(A^{t})_{k,j} = A_{j,k}\]
转置有一个特别好的性质：对所有的\(m\times n\)矩阵\(A,C\)和所有\(\lambda\in \mathbf{F}\)均有\((A+C)^{t} A^{t} + C^{t}\) 且\((\lambda A)^{t} = \lambda A^{t}\)。
若\(A\)是\(m\times n\)矩阵,\(C\)是\(n\times p\)矩阵，则：\[(AC)^{t} = C^{t}A^{t}\]
设\(1\leq k \leq m, 1\leq j\leq p\)，则：
\begin{eqnarray} \label{eq:1} (AC)^{t}_{j,k}&=& (AC)_{k,j} \\ &=&\sum_{r=1}^{n}A_{k,r}C_{r,j} \\ &=&\sum_{r=1}^{n}(A^{t})_{r,k}(C^{t})_{j,r} \\ &=&\sum_{r=1}^{n} (C^{t})_{j,r}(A^{t})_{r,k} \\ &=& (C^{t}A^{t})_{j,k} \end{eqnarray}即：\((AC)^{t} = C^{t}A^{t}\)
假设\(V\)有基\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)，\(V^{'}\)的对偶基\(\varphi_{1},\ldots ,\varphi_{n}\)，并假设\(W\)有基\(w_{1},\ldots ,w_{m}\)以及\(W^{'}\)的对偶基\(\psi_{1},\ldots ,\psi_{m}\)，于是\(\mathcal{M}(T)\)是按\(V\)和\(W\)的上述基对应的矩阵，\(\mathcal{M}(T^{'})\)时按照\(W^{'}\)和\(V^{'}\)对应的矩阵计算。
则有对于\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，有\(\mathcal{M}(T^{'}) = (\mathcal{M}(T))^{t}\)
这个命题的证明仅仅需要紧扣定义。
设\(A = \mathcal{M}(T)\),\(C = \mathcal{M}(T^{'})\)，再设\(1\leq j \leq m\),\(1\leq k \leq n\)，由\(\mathcal{M}(T^{'})\)的定义我们有：
\begin{eqnarray} \label{eq:2} T^{'}(\psi_{j})&=& \sum_{r=1}^{n}C_{r,j}\varphi_{r} \end{eqnarray}因为\(T^{'}(\psi_{j}) = \psi_{j} \circ T\) ,所以，将上式两端作用到\(v_{k}\)上，有：
\begin{eqnarray} \label{eq:3} (\psi_{j}\circ T)(v_{k})&=& \sum_{r=1}^{n}C_{r,j}\varphi_{r}(k) \\ &=&C_{k,j} \end{eqnarray}另外，根据\(T(v_{k})\)的定义我们有：
\begin{eqnarray} \label{eq:4} (\psi_{j}\circ T)(v_{k})&=& \psi_{j}(Tv_{k}) \\ &=& \psi_{j}(\sum_{r=1}^{m} A_{r,k}w_{r}) \\ &=&\sum_{r=1}^{m}A_{r,k}\psi_{j}(w_{r}) \\ &=&A_{j,k} \end{eqnarray}综上有：\(A_{j,k} = C_{k,j}\)，即\(A = C^{t}\)
2 矩阵的秩
设\(A\)是元素属于\(F\)的\(m\times n\)矩阵：
- \(A\)的行秩是\(A\)的诸行在\(\mathbf{F}^{1,n}\)中的张成空间的维数；
- \(A\)的列秩是\(A\)的诸列在\(\mathbf{F}^{m,1}\)中的张成空间的维数。
设\(V\)和\(W\)都是有限维的，\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)，则\(\dim range T\)等于\(\mathcal{M}(T)\)的列秩。
设\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)是\(V\)的基，\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(W\)的基。则将\(w\in span(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n})\)变为\(\mathcal{M}(w)\)的函数是从\(span(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n})\)到\(span(\mathcal{M}(Tv_{1}), \ldots ,\mathcal{M}(Tv_{n}))\)的同构。于是\(\dim span(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n}) = \dim span(\mathcal{M}(Tv_{1}), \mathcal{M}(Tv_{n}))\) 等式右边的维数等于\(\mathcal{M}(T)\)的列秩。
因为\(rangeT = span(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n})\)，所以\(\dim rangeT = \dim span(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n})\)
设\(A \in \mathbf{F}^{m,n}\)，则\(A\)的行秩等于\(A\)的列秩。