对偶映射的矩阵以及矩阵的秩
我非常喜欢《linear algebra done right》这本书。其原因之一是这本书从头到尾都不是从矩阵到线性空间，而是从线性空间到矩阵。在 线性映射和矩阵的关系 一文中，我们从线性映射引出了矩阵， 这种自然的过渡不知道比从莫名其妙的行列式高明多少。说实话，大一的时候碰到行列式，然后进行各种稀奇古怪的计算时，我的内心是崩溃的，你现在还记得四阶行列式用伴随子计算的过程么？忘了最好！；好不容易从行列式出来，又突然进入了矩阵的泥潭，这完全是再次莫名其妙，等到线性映射出现的时候，已经“三而竭”了。尽管最后考了高分，那完全是填鸭式突击的结果。
在本文我们再次把矩阵和线性映射紧密联系。这次我们先给出矩阵转置的定义，然后论述矩阵的转置是如何和线性空间以及线性映射结合的。
1 对偶映射的矩阵
矩阵A的转置是通过互换A的行和列来完成的。确切的说，若A是m×n的矩阵，则At是n×m矩阵，其元素由下面的等式给出： (At)k,j=Aj,k
转置有一个特别好的性质：对所有的m×n矩阵A,C和所有λ∈F均有(A+C)tAt+Ct 且(λA)t=λAt。
若A是m×n矩阵,C是n×p矩阵，则：(AC)t=CtAt
设1≤k≤m,1≤j≤p，则：
(AC)tj,k=(AC)k,j=n∑r=1Ak,rCr,j=n∑r=1(At)r,k(Ct)j,r=n∑r=1(Ct)j,r(At)r,k=(CtAt)j,k即：(AC)t=CtAt
假设V有基v1,…,vn，V′的对偶基φ1,…,φn，并假设W有基w1,…,wm以及W′的对偶基ψ1,…,ψm，于是M(T)是按V和W的上述基对应的矩阵，M(T′)时按照W′和V′对应的矩阵计算。
则有对于T∈L(V,W)，有M(T′)=(M(T))t
这个命题的证明仅仅需要紧扣定义。
设A=M(T),C=M(T′)，再设1≤j≤m,1≤k≤n，由M(T′)的定义我们有：
T′(ψj)=n∑r=1Cr,jφr因为T′(ψj)=ψj∘T ,所以，将上式两端作用到vk上，有：
(ψj∘T)(vk)=n∑r=1Cr,jφr(k)=Ck,j另外，根据T(vk)的定义我们有：
(ψj∘T)(vk)=ψj(Tvk)=ψj(m∑r=1Ar,kwr)=m∑r=1Ar,kψj(wr)=Aj,k综上有：Aj,k=Ck,j，即A=Ct
2 矩阵的秩
设A是元素属于F的m×n矩阵：
- A的行秩是A的诸行在F1,n中的张成空间的维数；
- A的列秩是A的诸列在Fm,1中的张成空间的维数。
设V和W都是有限维的，T∈L(V,W)，则dimrangeT等于M(T)的列秩。
设v1,…,vn是V的基，w1,…,wn是W的基。则将w∈span(Tv1,…,Tvn)变为M(w)的函数是从span(Tv1,…,Tvn)到span(M(Tv1),…,M(Tvn))的同构。于是dimspan(Tv1,…,Tvn)=dimspan(M(Tv1),M(Tvn)) 等式右边的维数等于M(T)的列秩。
因为rangeT=span(Tv1,…,Tvn)，所以dimrangeT=dimspan(Tv1,…,Tvn)
设A∈Fm,n，则A的行秩等于A的列秩。