不变子空间

目录

1 回忆

算子 是从一个向量空间到自身的线性映射。V上的算子集合记为L(V)。为了更好的理解算子，假设T∈L(V)，如果V有直和分解：V=U1⊕…⊕Um

其中Uj,j∈{1,…,m}是V的真子空间，那么，如果想要了解T的特性，我们只需要了解每个T|Uj的特性就可以了。这里T|Uj表示把T限制到更小的定义域Uj上。因为Uj是比V更小的向量空间，所以处理T|Uj应该比T更容易。

但是这里有个问题：T|Uj是Uj上的算子么？显然，不一定的。那么为了进一步简化分析，我们只考虑那些T能够把Uj映射到Uj的直和分解，即在这样的直和分解结果中T|Uj依然是Uj上的算子。

2 被算子映射到自身的子空间

被算子映射到自身的子空间非常重要。因此我们赋予它一个名字：

设T∈L(V)，称V的子空间U在T下不变，如果对于每个u∈U都有Tu∈U

设T∈L(V)，证明V的下列子空间在T下不变：

  1. {0}
  2. V
  3. nullT
  4. rangeT
  1. 对于{0}中的元素0,T(0)=0∈{0}
  2. 对于V, ∀v∈V,T(v)∈V，因为T是V上的算子。
  3. 对于nullT, ∀u∈nullT， Tu=0∈nullT
  4. 对于rangeT，∀u∈rangeT，Tu∈rangeT

这四个空间是V的固有的四个不变子空间。

3 本征值与本证向量

不变子空间的研究可以非常深入，泛函分析中，最终名的尚未解决的问题叫做 不变子空间问题 ， 它研究无限维向量空间上算子的不变子空间。现在我们先研究最简单的非平凡不变子空间：一维不变子空间。

∀v∈V,v≠0，并设U是v的标量倍构成的集合：U={λv:λ∈F}=span(v)

则，U是V的一维子空间。若U在算子T∈L(V)下不变，则Tv∈U，因此必有标量λ∈F使得Tv=λv

另一方面，若有某个λ∈F使得Tv=λv，则span(v)是V的在T下不变的一维子空间。终于，我们现在见到了本征值和本证向量。这种引入方式不同于生硬的定义，深入浅出的谆谆善诱。在使用《linear algebra done right》这本书的时候，恨不得把自己的大脑格式化一遍，从新学习线性代数。之前学的东西忘不掉，又不成体系，只发挥了扰乱心智的作用。

设T∈L(V)，称数λ∈F为T的本征值，若存在v∈V,v≠0，使得Tv=λv

小插曲： eigenvalue 这个词一半是德文，一半是英文。德文形容词 eigen 的意思是 “特有的”。有些数学家使用特征值而不是本征值。我学线性代数的时候使用特征值这种说法。

本征值的等价条件：设V是有限维的，T∈L(V)，且λ∈F，I是恒等映射，则以下条件等价：

  1. λ是T的本征值；
  2. T−λI不是单的；
  3. T−λI不是满的；
  4. T−λI不是可逆的。

我们之前就证明过一个命题：对于有限维空间，现行算子的单性，满性和可逆性是等价的, 见这里 。

设T∈L(V)，并设λ∈F是T的本征值，称向量v∈V为T的相应于λ的本徵向量，如果v≠0且Tv=λv

因为Tv=λv当且仅当(T−λI)v=0，说明v∈null(T−λI)

设T∈L(V)，设λ1,…,λm是T的互不相同的本征值，并设v1,…,vm是相应的本证向量，则v1,…,vm是线性无关的。

采用反证法。设v1,…,vm是线性相关的，我们希望能够推出矛盾。假设k是满足k∈span(v1,…,vk−1)成立的最小正整数。根据线性相关引理，这个正整数是存在的，并且v1,…,vk−1是线性无关的（因为任何小于k的数都不能是vk∈span(v1,…,vk−1)，根据线性无关的定义，我们知道v1,…,vk−1是线性无关的）。

因为vk∈span(v1,…,vk−1)，所以∃a1,…,ak−1,vk=a1v1+…+ak−1vk−1

我们对上式分别做两个操作：

  1. 乘以λk
  2. 执行T映射

我们会得到两个式子：

λkvk=λka1v1+…+λkak−1vk−1λkvk=λ1a1v1+…+λk−1ak−1vk−1

两式相减则有：

0=a1(λk−λ1)v1+…+ak−1(λk−λk−1)vk−1

因为v1,…,vk−1是线性无关的，所以：

a1(λk−λ1)=0⋮=⋮a1(λk−λk−1)=0

因为λk不与λ1,…,λk−1中的任何一个相等，所以aj=0,∀j。所以vk=0这与vk是本证向量的假设矛盾。

所以v1,…,vm都是线性无关的。

这个定理的证明依赖于线性相关性引理，现在把这个引理复数如下：

设v1,…,vm是V中的一个线性相关的向量组，则有j∈{1,…,m}使得：

  1. vj∈span(v1,…,vj−1)
  2. 若从v1,…,vm中去掉第j项，则剩余组的张成空间等于span(v1,…,vm)

结合线性相关性引理的两个步骤，我们可以迭代的找到那个使得v1,…,vj线性无关的k，即v1,…,vk是线性无关的，但是v1,…,vk+1是线性相关的，且vk+1∈span(v1,…,vk)。

设V是有限维的，则V上的每个算子最多有dimV个互不相同的本征值。

设T∈L(V)，设λ1,…,λm是T的互不相同的本征值，v1,…,vm是相应的本证向量。由于v1,…,vm是线性无关的，所以m≤dimV。一个向量空间中的线性无关组的长度小于这个向量的基中向量组的长度。

4 限制算子与商算子

若T∈L(V)且U是V的在T下不变的子空间，则U默认定了另外两个算子T|U∈L(U)，和T/U∈L(V/U)，其定义为：

设T∈L(V)，且U是V的在T下不变的子空间。

  1. 限制算子 T|U∈L(U)的定义为：∀u∈U,T|U(u)=Tu
  2. 商算子T/U∈L(V/U)定义为：∀v∈V,(T/U)(v+U)=Tv+U

首先考虑限制算子T|U∈L(U)这个算子之所以叫限制算子，是因为这个算子把映射的定义域限制在U上。并且T|U是把U上的元素映射到U上而不是V上。

对于商算子，我们需要验证v+U=w+U，则Tv+U=Tw+U。现在设v+U=w+U，则v−w∈U。由于U在T下不变，则T(v−w)∈U，即Tv−Tw∈U，所以Tv+U=Tw+U。

设T是有限维向量空间V上的算子，且U是V在T不变的子空间使得U≠{0}且U≠V。在某种意义下，可以通过研究算子T|U和T/U来了解算子T，而T|U和T/U都是维数小于V维数的向量空间上的算子。但是，有时候T|U和T/U并没有给出关于T的足够信息。在下面的例子中，T|U和T/U都是0，即便T不是0算子。

定义算子T∈L(F2)为T(x,y)=(y,0)，设U={(x,0):x∈F}。证明：

  1. U在T下不变。且T|U是U上的0算子。
  2. 不存在F2的在T下不变的子空间W使得F2=U⊕W
  3. T/U是F2/U上的0算子
  1. 对于(x,0)∈U，我们有T(x,0)=(0,0)∈U,所以T|U在U下不变，且T|U是U的0算子。
  2. 设W是V的子空间使得F2=U⊕W，由于dimF2=2且dimU=1,我们有dimW=1。若W在T下不变，则W的每个非零向量都是T的本证向量。然而T的唯一本征值是0，且T的所有本证向量都在U中。于是W并非在T下不变。
  3. 对于(x,y)∈F2，我们有：

(T/U)((x,y)+U)=T(x,y)+U=(y,0)+U=U

因为U∈V/U，且是V/U里的单位元，所以T/U是0算子。