练习：本证向量与上三角阵

\begin{eqnarray} \label{eq:1} (I-T)(I + T + \ldots T^{n-1})&=&(I + T + \ldots T^{n-1}) - (T +T^{2} + \ldots +T^{n-1} + T^{n} ) \\ &=& I \end{eqnarray}

见定理5.21的证明过程。

由\(T^{2} = I\)得\((T-I)(T+I) = 0\)，则\(T\)有特征值\(1\)或者\(-1\)，又因为\(-1\)不是\(T\)的特征值，则\(1\)是\(T\)的唯一特征值，所以\(T = I\)

因为\(P^{2} = P\)，则\(P= 0\)或者\(P=I\)。

当\(P=0\)时，\(\mathrm{range}P = \{0\}\)，\(\mathrm{null}P = V\)，因此\(V = \mathrm{null} P \oplus \mathrm{range}P\); 当\(P=I\)时，\(\mathrm{null}P = \{0}\)，\(\mathrm{range}P = V\)，同样结论成立。

综上命题得证。

根据多项式定义:

\begin{equation} \label{eq:3} p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots \end{equation}

则有\(p(STS^{-1})\) 为：

\begin{equation} \label{eq:4} p(STS^{-1}) = a_{0}I + a_{1}STS^{-1} + a_{2}(STS^{-1}STS) + \ldots \end{equation}

上式经过整理可以变为：

\begin{eqnarray} \label{eq:5} p(STS^{-1}) &=& a_{0}I + a_{1}STS^{-1} + a_{2}(STS^{-1}STS) + \ldots \\ &=& a_{0}SIS^{-1} + a_{1}STS^{-1} + a_{2}ST^{2}S^{-1} + \ldots \\ &=& S(a_{0}I + a_{1}T + a_{2}T^{2} + \ldots )S^{-1} \\ &=&Sp(T)S^{-1} \end{eqnarray}

根据多项式定义，对多项式的每一项进行分析即可。

假设\(\lambda\)是\(T\)的一个特征值，且对应的特征值向量是\(v\)，则\[Tv = \lambda v\]，所以：\[T^{2}v = T(\lambda v) = \lambda^{2}v\] 对此进行扩展有：\[p(T)v = p(\lambda)v\] 因此如果\(9\)是\(T^{2}\)的特征值则有：\[T^{2}v = 9v \]进而有：\[(T-3I)(T+3I)v = 0\]所以\(T-3I\)或者\(T+3I\)至少有一个不是单射，所以\(3\)或者\(-3\)是\(T\)的特征值。

\begin{equation} \label{eq:6} T(x,y) = (\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y, \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} y) \end{equation}

我们证明过\(T^{n}v = \lambda^{n}v\)，因此对于：\[p = \sum_{n=1}^{k}a_{n}x^{n}\]有：

\begin{equation} \label{eq:7} p(T)v = (\sum_{n=0}^{k}a_{n}T^{n})v = \sum_{n=0}^{k}a_{n}\lambda^{n}v = p(\lambda)v \end{equation}

首先假设\(\alpha\)是\(p(T)\)的本征值，那么\(p(T) - \alpha I\)不是单射，把多项式\(p(z) - \alpha\)因式分解：

\begin{equation} \label{eq:8} p(z) - \alpha = c(z-\alpha_{1})\ldots (z-\lambda_{m}) \end{equation}

上式意味着：

\begin{equation} \label{eq:9} p(T) - \alpha I = c(T-\lambda_{1} I) \ldots (T-\lambda_{m} I) \end{equation}

因为\(p(T) - \alpha I\)不是单射，所以对于某个\(j\)，\(T - \lambda_{j} I\)不是单射。换句话说\(\lambda_{j}\)是\(T\)的特征值。所以\(p(z) - \alpha = 0\)，即\(\alpha = p(z)\)

另一方面，假设存在某个特征值\(\lambda\)使得\(\alpha = p(\lambda)\),所以存在非零向量\(v\in V\)，满足：

\begin{equation} \label{eq:10} Tv= \lambda v \end{equation}

重复对左侧进行\(T\)映射，所以：

\begin{equation} \label{eq:11} p(T)v = p(\lambda)v = av \end{equation}

即\(\alpha\)是\(p(T)\)的一个特征值。

定义\(T\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^{2})\)为 \(T(x,y) = (-y,x)\),定义\(p\in \mathcal{P}(\mathbf{R})\)为\(p(x) = x^{2}\)，那么\(p(T) = T^{2} = -I\)因此\(-1\)是\(p(T)\)的特征值，但是\(T\)没有实数域上的特征值。

反证法

这个很容易，对于二维空间有基\(e_{1},e_{2}\) ，定义算子\(T\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^{2})\)：

\begin{eqnarray} \label{eq:12} Te_{1}&=&e_{2} \\ Te_{2}&=&e_{1} \end{eqnarray}

显然这个映射对应的矩阵对角线上全是\(0\)，但是它是可逆的。

定义矩阵：

\begin{equation} \label{eq:13} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}

显然\(T(0,1) = T(1,0) = (1,1)\)

定义\(\varphi(p) = p(T)v\)：

\begin{equation} \label{eq:14} \varphi: \mathcal{P}_{n}(\mathbf{C}) \rightarrow V \end{equation}

那么\(\varphi\)是一个线性映射，注意：\(\dim \mathcal{P}_{n}(\mathbf{C}) = n+1\)且\(\dim V = n\)所以\(\varphi\)不是单射，所以存在非零元素\(p\)使得\(p(T)v = 0\).

剩下的和5.21的证明过程一样。