练习：本证向量与上三角阵
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1 5.B.1
设T∈L(V)且存在正整数n使得Tn=0:
- 证明I−T是可逆的，且其逆为(I−T)−1=I+T+…+Tn−1
- 解释一下如何想到上面公式。
2 5.B.2
设T∈L(V)且(T−2I)(T−3I)(T−4I)=0，设λ是T的本征值，证明λ=2 或者 λ=3，或者λ=4
见定理5.21的证明过程。
3 5.B.3
设T∈L(V),T2=I，且−1不是T的本征值。证明T=I
由T2=I得(T−I)(T+I)=0，则T有特征值1或者−1，又因为−1不是T的特征值，则1是T的唯一特征值，所以T=I
4 5.B.4
设P∈L(V),P2=P，证明V=nullP⊕rangeP
因为P2=P，则P=0或者P=I。
当P=0时，rangeP={0}，nullP=V，因此V=nullP⊕rangeP; 当P=I时，\mathrm{null}P = \{0}，rangeP=V，同样结论成立。
综上命题得证。
5 5.B.5
设S.T∈L(V)且S是可逆的。设p∈P(F)是多项式。证明p(STS−1)=Sp(T)S−1
根据多项式定义:
p(x)=a0+a1x+a2x2+…则有p(STS−1) 为：
p(STS−1)=a0I+a1STS−1+a2(STS−1STS)+…上式经过整理可以变为：
p(STS−1)=a0I+a1STS−1+a2(STS−1STS)+…=a0SIS−1+a1STS−1+a2ST2S−1+…=S(a0I+a1T+a2T2+…)S−1=Sp(T)S−16 5.B.6
设T∈L(V)且U是V的在T下不变的子空间，证明对每个多项式p∈P(F)都有U在p(T)下不变。
根据多项式定义，对多项式的每一项进行分析即可。
7 5.B.7
设T∈L(V)，证明9是T2的本征值当且仅当3或者−3是T的本征值。
假设λ是T的一个特征值，且对应的特征值向量是v，则Tv=λv
8 5.B.8
找出一个T∈L(R2)使得T4=−I
9 5.B.9
设V是有限维的，T∈L(V)，v∈V,v≠0。设p是使得p(T)v=0的次数最小的非零多项式。证明p的每个零点都是T的本征值。
10 5.B.10
设T∈L(V)，v是T的相应于本征值λ的本证向量。设p∈P(F)，证明p(T)v=p(λ)v
我们证明过Tnv=λnv，因此对于：p=k∑n=1anxn
11 5.B.11
设F=C,T∈L(V)，p∈P(C)是多项式，α∈C，证明α是p(T)的本征值当且仅当T有一个本征值λ使得α=p(λ)
首先假设α是p(T)的本征值，那么p(T)−αI不是单射，把多项式p(z)−α因式分解：
p(z)−α=c(z−α1)…(z−λm)上式意味着：
p(T)−αI=c(T−λ1I)…(T−λmI)因为p(T)−αI不是单射，所以对于某个j，T−λjI不是单射。换句话说λj是T的特征值。所以p(z)−α=0，即α=p(z)
另一方面，假设存在某个特征值λ使得α=p(λ),所以存在非零向量v∈V，满足：
Tv=λv重复对左侧进行T映射，所以：
p(T)v=p(λ)v=av即α是p(T)的一个特征值。
12 5.B.12
证明若将C换成R，上题的结论将不在成立。
定义T∈L(R2)为 T(x,y)=(−y,x),定义p∈P(R)为p(x)=x2，那么p(T)=T2=−I因此−1是p(T)的特征值，但是T没有实数域上的特征值。
13 5.B.13
设W是复向量空间，并设T∈L(W)没有本征值，证明：W在T下不变的子空间是{0}或者是无限维的。
反证法
14 5.B.14
给出一个算子，它关于某个基的矩阵的对角线上只有0，但这个算子是可逆的。
这个很容易，对于二维空间有基e1,e2 ，定义算子T∈L(R2)：
Te1=e2Te2=e1显然这个映射对应的矩阵对角线上全是0，但是它是可逆的。
15 5.B.15
给出一个算子，它关于某个基的矩阵的对角线上全是非零值，但是这个算子是不可逆的。
定义矩阵：
[1111]显然T(0,1)=T(1,0)=(1,1)
16 5.B.16
利用将p∈Pn(C)变为(p(T))v∈V的线性映射，证明:复向量空间上的算子都有本征值。
定义φ(p)=p(T)v：
φ:Pn(C)→V那么φ是一个线性映射，注意：dimPn(C)=n+1且dimV=n所以φ不是单射，所以存在非零元素p使得p(T)v=0.
剩下的和5.21的证明过程一样。