练习:零空间和值域

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1 3.B.1

给出线性映射T使得dimnullT=3dimrangeT=2

根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT,有dimV=5.

所以我们可以定义一个维度为5的向量空间V=R5,并令这个空间的基为e1,,e5,其中ei是第i个元素为1,其他元素为零的向量。接下来我们定义线性映射T

T(e1)=0T(e2)=0T(e3)=0T(e4)=e5T(e5)=e4

根据线性映射的定义,我们可以证明T是线性映射,满足齐次可加性。另外根据定义,e1,e2,e3nullT,并且nullT=span(e1,e2,e3),所以dimnullT=3,根据线性映射基本定理dimrangeT=2

注意我们定义线性映射T的时候最好写成定义线性映射T:L(V,V),即T是自身到自身的映射。

2 3.B.2

V是向量空间,S,TL(V,V)使得rangeSnullT,证明(ST)2=0

因为rangeSnullT,所以对于任何srangeSTs=0,所以有TS=0,对于(ST)2,我们可以展开如下:

(ST)2=(ST)(ST)=S(TS)T=S0T=0

3 3.B.3

v1,,vmV中的向量组,定义TL(Fm,V),如下:T(z1,,zm)=z1v1++zmvm

  1. T的什么性质相当于v1,,vm张成V?
  2. T的什么性质相当于v1,,vm是线性无关的?
  1. 相当于T满足什么条件才有span(v1,,vm)=V?我们知道张成组的定义是指V中的任意向量都可以写成v1,,vm的线性组合。而对于:T(z1,,zm)=z1v1++zmvm
    说明T的值域是v1,,vm的线性组合。即rangeT={v:v=z1v1++zmvm},只要rangeT=Vspan(v1,,vm)=V是等效的。即T是满射。
  2. v1,,vm是线性无关的相当于z1v1++zmvm=0只有一种写法zi=0。这意味着(z1,,zm)=(0,,0)m,即对于T来说只有T0=0。显然T必须有nullT={0},即T是单射。

4 3.B.4

证明{TL(R5,R4):dimnullT>2}不是L(R5,R4)的子空间。

因为dimnullT=dimR5dimrangeT,且dimrangeT=dimR4=4,所以有dimnullT=1. 所以L(R5,R4)nullT=1,rangeT=4构成的线性映射组成的空间。{TL(R5,R4):dimnullT>2}{TL(R5,R4):dimnullT=1}是互斥的,证明完毕。

看了答案之后,发现答案中直接给出了一个特例。有时候举出一个反例会大大的简化证明。

后来仔细想想我的证明过程有一个地方出现了差错:我武断的认为dimrangeT=dimR4=4,其实题目并没有说T是满射。dimrangeT不一定等于dimR4=4. 所以还是给定一个反例比较好。

5 3.B.5

给出线性映射T:R4R4,使得rangeT=nullT

因为dimR4=4rangeT=nullT 根据线性映射基本定理,dimrangeT=dimnullT=2所以这个映射是存在的。

假设e1,e2,e3,e4R4的一个基,定义T:R4R4满足:

T(e1)=0T(e2)=0T(e3)=e1T(e4)=e2

则有 nullT=rangeT={e1,e2}

6 3.B.6

证明不存在线性映射T:R5R5,使得rangeT=nullT

假设存在这样的线性映射T,满足rangeT=nullT,即dimrangeT=dimnullT。根据线性映射基本定理dimR5=5,有dimrangeT=dimrangenullT=2.5,这是不可能的。矛盾。得证。

7 3.B.7

VW都是有限维的,且2dimVdimW。证明{TL(V,W):nullT0} 不是L(V,W)的子空间。

假设v1,,vnV的一个基,w1,wmW的一个基,因为 2dimVdimW 所以2nm

假设T1,T2{TL(V,W):nullT0},并且对于T1则有:

T1v1=0,T1vi=wi,i=2,,n

对于T2有:

T2v1=w1,T2v2=0,T2vi=wi,i=3,,n

但是我们有:

(T1+T2)v1=w1,(T1+T2)v2=v2,(T1+T2)vi=2wi,i=3,,n

因为w1,w2,2wi,i=3,,n是线性无关的,则有T1+T2是单射,nullT={0}。所以{TL(V,W):nullT0}不是L(V,W)的子空间。

8 3.B.8

VW都是有限维的,且dimVdimW2,证明{TL(V,W):rangeTW}不是L(V,W)的子空间。

假设v1,,vnV的一个基,w1,wmW的一个基,因为 2dimWdimV 所以2mn

假设T1,T2{TL(V,W):rangeTW},并且对于T1则有:

T1v1=0,T1vi=wi,i=2,,m

对于T2有:

T2v1=w1,T2v2=0,T2vi=wi,i=3,,m

但是我们有:

(T1+T2)v1=w1,(T1+T2)v2=v2,(T1+T2)vi=2wi,i=3,,m

因为w1,w2,2wi,i=3,,m是线性无关的,则有T1+T2是满射,rangeT=W。所以{TL(V,W):rangeTW}不是L(V,W)的子空间。

9 3.B.9

TL(V,W)是单的,v1,,vnV中线性无关。证明Tv1,,TvnW中线性无关。

按照线性组合的定义,假设存在ai使得a1Tv1++anTvn=0

根据线性映射的齐次可加性有: T(a1v1++anvn)=0

显然a1v1++anvnnullT。又因为T是单的,则必有nullT={0},所以: a1v1++anvn=0

又因为v1,,vn是线性无关的。根据线性无关的定义,必有ai=0,ai

所以有Tv1,,Tvn是线性无关的。

10 3.B.10

v1,,vn张成V,并设TV,W,证明Tv1,,Tvn张成rangeT

因为v1,,vn张成V,则有对于vV存在ai,,an使得a1v1++a1vn=v

对两边进行线性映射,有:

T(a1v1++a1vn)=Tva1Tv1++a1Tvn==Tv

我们知道TvrangeT,又因为v的任意性,所以Tv1,,Tvn张成了rangeT

11 3.B.11

S1,,Sn均为单的线性映射,且S1S2Sn有意义,证明S1S2Sn是单射。

对于这个题目的证明我想采用数学归纳法。 显然当n=1的时候,原命题成立。

假设当n=m时,S1S2Sm是单射,令S=S1S2Sm,则接下来证明SSm+1是单射。

因为Sm+1是单射所以nullSm+1={0},假设SSm+1不是单射,则必有v0,vnullSSm+1使得 SSm+10

SSm+1v=0S(Sm+1v)=0

因为S是单射,所以Sm+1v=0,又因为Sm+1也是单射所以v=0,矛盾。所以必有SSm+1也是单射。

这个题目说明,单射的组合任然是单射。

12 3.B.12

T是有限维的,TL(V,W).证明V有一个子空间U使得UnullT={0}rangeT={Tu:uU}.

这个题目采用了和2.43以及3.22相同的证明思路。刚开始,我想看答案。后来居然给想出来了。我发誓:以后一个题目不思考一个星期不看答案。必须改掉答案依赖症。更多的锻炼思考能力。闲话少说,接下来给出证明过程。

首先我们知道nullTV的子空间,假设v1,,vmnullT的一组基,则可以把这组基扩展为V的一组基:v1,,vm,w1,,wn,接下来我们考察U=span(w1,,wn),首先我们知道w1,,wnU的一组基(线性无关又张成U)。

uUnullT,则存在a1,,am,b1,,bnF使得:

u=a1v1++amvm=b1w1++bnwn

得:

a1v1++amvmb1w1bnwn=0

因为v1,,vm,w1,,wn线性相关,则有: ai=0,bj=0,i=1,,m,j=1,,n

所以u=0,即UnullT={0}.

我们知道rangeT={Tv:vV},对任意的vV都存在aiF,bjF,i=1,,m;j=1,,n使得:

v=a1v1++amvm+b1w1++bnwn

得:

Tv=T(b1w1++bnwn)

上式右边没有了系数为ai的项,是因为vinullT. 又因为u=b1w1++bnwnU,又因为v的任意性,所以:

{Tv:vV}={Tu:uU}

rangeT={Tu:uU}

综上U=span(w1,,wn)就是我们要找的V的子空间。

13 3.B.13

T是从F4F2的线性映射使得nullT={(x1,x2,x3,x4)F4:x1=5x2,x3=7x4},证明T是满的。

根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT,结合dimnullT=2我们有dimrangeT=2

14 3.B.14

UR8的一个3维子空间,TR8R5的一个线性映射使得nullT=U,证明T是满的。

根据线性映射基本定理,dimV=dimnullT+dimrangeT ,我们有dimrangeT=83=5.

线性映射基本定理用的非常广泛,要把其证明过程仔细掌握了。

15 3.B.15

证明不存在零空间等于{(x1,x2,x3,x4,x5)F5:x1=3x2,x3=x4=x5}F5F2的线性映射。

这个证明还是重点使用线性映射基本定理。易知,题目中所给零空间的维度是2,根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT。所以dimrangeT=3. 而F2的维度是2

F2中不可能存在维度是3的空间。

16 3.B.16

假设在V上存在一个线性映射,其零空间和值域都是有限维的,证明V是有限维的。

线性映射基本定理:dimV=dimnullT+dimrangeT

17 3.B.17

VW都是有限维的。证明存在一个VW的单的线性映射当且仅当dimVdimW

单射的等价条件是nullT={0},即dimnullT=0。根据线性映射基本定理:dimnullT=dimVdimrangeT

因为dimrangeTdimW,所以dimnullTdimVdimW0 所以存在dimnullT=0的线性映射。

18 3.B.18

VW都是有限维的。证明存在一个VW的满的线性映射当且仅当dimVdimW

根据线性映射基本定理:

dimW=dimrangeT=dimVdimnullTdimV

证明另外一个方向,当dimVdimW时,存在VW满射。设v1,,vmV的一个基,w1,,wnW的一个基。因为dimVdimW则有mn。定义线性映射使得: T(a1v1+amvm)=a1w1+anwn

因为mn,所以上式右边anwn是有意义的。又因为w1,,wnW的基。所以(range T = W)\

19 3.B.19

VW都是有限维的,且UV的子空间。证明存在TL(V,W)使得nullT=U当且仅当dimUdimVdimW

我们首先证明从TL(V,W)nullT=U可以推出dimUdimVdimW.

根据线性映射基本定理,有:

dimnullT=dimVdimrangeTdimVdimW

结合dimU=dimnullT,所以有dimUdimVdimW

然后我们从dimUdimVdimW推出存在TL(V,W)使得nullT=U.

假设u1,,umU的一个基,把这个基扩展为V的一个基u1,,um,v1,,vn,令w1,,wqW的一个基。定义线性映射:

T(a1u1++amum+b1v1+bnvn)=b1w1+bnwn

因为dimUdimVdimW所以有qn,所以上式bnwn是有意义的。所以有nullT=UTL(V,W)

20 3.B.20

W是有限维的,TL(V,W)。证明T是单的当且仅当存在SL(V,W)使得STV上的恒等映射