练习：零空间和值域

根据线性映射基本定理\(\dim V = \dim nullT + \dim rangeT\)，有\(\dim V = 5\).

所以我们可以定义一个维度为5的向量空间\(V= \mathbf{R}^{5}\)，并令这个空间的基为\(e_{1},\ldots ,e_{5}\)，其中\(e_{i}\)是第\(i\)个元素为\(1\)，其他元素为零的向量。接下来我们定义线性映射\(T\)：

\begin{eqnarray} \label{eq:1} T(e_{1}) &=& 0 \\ T(e_{2}) &=&0 \\ T(e_{3}) &=&0 \\ T(e_{4}) &=& e_{5}\\ T(e_{5}) &=& e_{4} \end{eqnarray}

根据线性映射的定义，我们可以证明\(T\)是线性映射，满足齐次可加性。另外根据定义，\(e_{1},e_{2},e_{3}\in nullT\)，并且\(nullT = span(e_{1},e_{2},e_{3})\)，所以\(\dim nullT = 3\)，根据线性映射基本定理\(\dim rangeT = 2\)

注意我们定义线性映射\(T\)的时候最好写成定义线性映射\(T: \mathcal{L}(V,V)\)，即\(T\)是自身到自身的映射。

因为\(range S \subset nullT\)，所以对于任何\(s\in rangeS\)有\(Ts = 0\)，所以有\(TS = 0\)，对于\((ST)^{2}\)，我们可以展开如下：

\begin{eqnarray*} (ST)^{2}&=&(ST)(ST) \\ &=&S(TS)T \\ &=&S0T \\ &=&0 \end{eqnarray*}

1. 相当于\(T\)满足什么条件才有\(span(v_{1},\ldots ,v_{m}) = V\)？我们知道张成组的定义是指\(V\)中的任意向量都可以写成\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)的线性组合。而对于:\[T(z_{1},\ldots ,z_{m}) = z_{1}v_{1} + \ldots + z_{m}v_{m}\] 说明\(T\)的值域是\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)的线性组合。即\(range T = \{v:v = z_{1}v_{1} + \ldots + z_{m}v_{m}\}\)，只要\(range T = V\)和\(span(v_{1},\ldots ,v_{m}) = V\)是等效的。即\(T\)是满射。
2. \(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性无关的相当于\(z_{1}v_{1} + \ldots + z_{m}v_{m}=0\)只有一种写法\(z_{i}=0\)。这意味着\((z_{1},\ldots ,z_{m}) = \underbrace{(0,\ldots ,0)}_{m}\)，即对于\(T\)来说只有\(T0 = 0\)。显然\(T\)必须有\(nullT = \{0\}\)，即\(T\)是单射。

因为\(\dim nullT = \dim \mathbf{R}^{5} - \dim rangeT\),且\(\dim range T = \dim \mathbf{R}^{4} = 4\)，所以有\(\dim nullT = 1\). 所以\(\mathcal{L}(\mathbf{R}^{5}, \mathbf{R}^{4})\)是\(nullT =1,rangeT=4\)构成的线性映射组成的空间。\(\{T\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^{5}, \mathbf{R}^{4}):\dim nullT >2\}\)和\(\{T\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^{5}, \mathbf{R}^{4}):\dim nullT =1\}\)是互斥的，证明完毕。

看了答案之后，发现答案中直接给出了一个特例。有时候举出一个反例会大大的简化证明。

后来仔细想想我的证明过程有一个地方出现了差错：我武断的认为\(\dim range T = \dim \mathbf{R}^{4} = 4\)，其实题目并没有说\(T\)是满射。\(\dim range T \)不一定等于\(\dim \mathbf{R}^{4} = 4\). 所以还是给定一个反例比较好。

因为\(\dim \mathbf{R}^{4} = 4\)，\(range T = null T\) 根据线性映射基本定理，\(\dim range T = \dim null T = 2\)所以这个映射是存在的。

假设\(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\)是\(\mathbf{R}^{4}\)的一个基，定义\(T: \mathbf{R}^{4} \rightarrow \mathbf{R}^{4}\)满足：

\begin{eqnarray*} T(e_{1})&=& 0\\ T(e_{2})&=& 0\\ T(e_{3})&=& e_{1}\\ T(e_{4})&=& e_{2}\\ \end{eqnarray*}

则有 \(nullT = range T = \{e_{1},e_{2}\}\)

假设存在这样的线性映射\(T\)，满足\(range T = nullT\)，即\(\dim range T = \dim null T\)。根据线性映射基本定理\(\dim \mathbf{R}^{5} =5\)，有\(\dim range T = \dim range null T = 2.5\)，这是不可能的。矛盾。得证。

假设\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)是\(V\)的一个基，\(w_{1},w_{m}\)是\(W\)的一个基，因为 \(2\leq \dim V \leq \dim W\) 所以\(2\leq n \leq m\)。

假设\(T_{1},T_{2}\in \{T\in \mathcal{L}(V,W): nullT \neq {0}\} \)，并且对于\(T_{1}\)则有：

\begin{equation} \label{eq:3} T_{1}v_{1} = 0, T_{1}v_{i} = w_{i}, i = 2,\ldots ,n \end{equation}

对于\(T_{2}\)有:

\begin{equation} \label{eq:4} T_{2}v_{1} = w_{1}, T_{2}v_{2} = 0, T_{2}v_{i}= w_{i}, i = 3,\ldots ,n \end{equation}

但是我们有：

\begin{equation} \label{eq:5} (T_{1} + T_{2}) v_{1} = w_{1}, (T_{1} + T_{2}) v_{2} = v_{2}, (T_{1} + T_{2})v_{i} = 2w_{i}, i = 3,\ldots ,n \end{equation}

因为\(w_{1},w_{2},2w_{i},i=3,\ldots ,n\)是线性无关的，则有\(T_{1}+T_{2}\)是单射,\(nullT = \{0\}\)。所以\( \{T\in \mathcal{L}(V,W): nullT \neq {0}\} \)不是\(\mathcal{L}(V,W)\)的子空间。

假设\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)是\(V\)的一个基，\(w_{1},w_{m}\)是\(W\)的一个基，因为 \(2\leq \dim W \leq \dim V\) 所以\(2\leq m \leq n\)。

假设\(T_{1},T_{2}\in \{T\in \mathcal{L}(V,W): range T \neq W\} \)，并且对于\(T_{1}\)则有：

\begin{equation} \label{eq:12} T_{1}v_{1} = 0, T_{1}v_{i} = w_{i}, i = 2,\ldots ,m \end{equation}

对于\(T_{2}\)有:

\begin{equation} \label{eq:13} T_{2}v_{1} = w_{1}, T_{2}v_{2} = 0, T_{2}v_{i}= w_{i}, i = 3,\ldots ,m \end{equation}

但是我们有：

\begin{equation} \label{eq:14} (T_{1} + T_{2}) v_{1} = w_{1}, (T_{1} + T_{2}) v_{2} = v_{2}, (T_{1} + T_{2})v_{i} = 2w_{i}, i = 3,\ldots ,m \end{equation}

因为\(w_{1},w_{2},2w_{i},i=3,\ldots ,m\)是线性无关的，则有\(T_{1}+T_{2}\)是满射,\(rangeT = W\)。所以\( \{T\in \mathcal{L}(V,W): range T \neq W\} \)不是\(\mathcal{L}(V,W)\)的子空间。

按照线性组合的定义，假设存在\(a_{i}\)使得\[a_{1}Tv_{1} + \ldots + a_{n}Tv_{n} = 0\]

根据线性映射的齐次可加性有： \[T(a_{1}v_{1} + \ldots + a_{n}v_{n}) = 0\]

显然\(a_{1}v_{1} + \ldots + a_{n}v_{n} \in nullT\)。又因为\(T\)是单的，则必有\(nullT = \{0\}\)，所以： \[a_{1}v_{1} + \ldots + a_{n}v_{n} = 0\]

又因为\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)是线性无关的。根据线性无关的定义，必有\(a_{i}=0, \forall a_{i}\)

所以有\(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n}\)是线性无关的。

因为\(v_{1},\ldots ,v_{n}\)张成\(V\)，则有对于\(v\in V\)存在\(a_{i},\ldots ,a_{n}\)使得\[a_{1}v_{1} + \ldots + a_{1}v_{n} = v\]

对两边进行线性映射，有：

\begin{eqnarray*} T(a_{1}v_{1} + \ldots + a_{1}v_{n})&=& Tv\\ a_{1}Tv_{1} + \ldots + a_{1}Tv_{n} &==&Tv \end{eqnarray*}

我们知道\(Tv \in rangeT\)，又因为\(v\)的任意性，所以\(Tv_{1},\ldots ,Tv_{n}\)张成了\(range T\)

对于这个题目的证明我想采用数学归纳法。 显然当\(n=1\)的时候，原命题成立。

假设当\(n=m\)时，\(S_{1}S_{2}\ldots S_{m}\)是单射，令\(S=S_{1}S_{2}\ldots S_{m}\)，则接下来证明\(SS_{m+1}\)是单射。

因为\(S_{m+1}\)是单射所以\(nullS_{m+1}=\{0\}\)，假设\(SS_{m+1}\)不是单射，则必有\(v\neq 0, v\in nullSS_{m+1}\)使得 \(SS_{m+1} \neq 0\)。

\begin{eqnarray} \label{eq:2} SS_{m+1}v &=& 0 \\ S(S_{m+1}v) &=& 0 \end{eqnarray}

因为\(S\)是单射,所以\(S_{m+1}v = 0\)，又因为\(S_{m+1}\)也是单射所以\(v=0\)，矛盾。所以必有\(SS_{m+1}\)也是单射。

这个题目说明，单射的组合任然是单射。

这个题目采用了和2.43以及3.22相同的证明思路。刚开始，我想看答案。后来居然给想出来了。我发誓：以后一个题目不思考一个星期不看答案。必须改掉答案依赖症。更多的锻炼思考能力。闲话少说，接下来给出证明过程。

首先我们知道\(nullT\)是\(V\)的子空间，假设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是\(nullT\)的一组基，则可以把这组基扩展为\(V\)的一组基：\(v_{1},\ldots ,v_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}\)，接下来我们考察\(U = span(w_{1},\ldots ,w_{n})\)，首先我们知道\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(U\)的一组基（线性无关又张成\(U\)）。

令\(u\in U\cap nullT\)，则存在\(a_{1},\ldots ,a_{m}, b_{1},\ldots ,b_{n}\in \mathbf{F}\)使得:

\begin{equation} \label{eq:6} u = a_{1}v_{1} + \ldots + a_{m}v_{m} = b_{1}w_{1} + \ldots + b_{n}w_{n} \end{equation}

得：

\begin{equation} \label{eq:7} a_{1}v_{1} + \ldots + a_{m}v_{m} - b_{1}w_{1} - \ldots - b_{n}w_{n} = 0 \end{equation}

因为\(v_{1},\ldots ,v_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}\)线性相关，则有： \[a_{i}=0,b_{j}=0,i=1,\ldots ,m,j= 1,\ldots ,n\] 所以\(u=0\)，即\(U\cap nullT = \{0\}\).

我们知道\(range T = \{Tv:v\in V\}\)，对任意的\(v\in V\)都存在\(a_{i}\in \mathbf{F},b_{j}\in \mathbf{F},i = 1,\ldots ,m;j=1,\ldots ,n\)使得：

\begin{equation} \label{eq:8} v = a_{1}v_{1} + \ldots + a_{m}v_{m} + b_{1}w_{1} + \ldots + b_{n}w_{n} \end{equation}

得：

\begin{equation} \label{eq:9} Tv = T(b_{1}w_{1} + \ldots + b_{n}w_{n}) \end{equation}

上式右边没有了系数为\(a_{i}\)的项，是因为\(v_{i}\in nullT\). 又因为\(u=b_{1}w_{1}+ \ldots + b_{n}w_{n} \in U\)，又因为\(v\)的任意性，所以：

\begin{equation} \label{eq:10} \{Tv:v\in V\} = \{Tu:u\in U\} \end{equation}

即\(rangeT = \{Tu:u\in U\}\)

综上\(U = span(w_{1},\ldots ,w_{n})\)就是我们要找的V的子空间。

根据线性映射基本定理\(\dim V = \dim nullT + \dim rangeT\)，结合\(\dim nullT = 2\)我们有\(\dim rangeT = 2\)。

根据线性映射基本定理，\(\dim V = \dim nullT + \dim rangeT\) ,我们有\(\dim rangeT = 8-3 = 5\).

线性映射基本定理用的非常广泛，要把其证明过程仔细掌握了。

这个证明还是重点使用线性映射基本定理。易知，题目中所给零空间的维度是\(2\)，根据线性映射基本定理\(\dim V = \dim nullT + \dim rangeT\)。所以\(\dim rangeT = 3\). 而\(\mathbf{F}^{2}\)的维度是\(2\)。

在\(\mathbf{F}^{2}\)中不可能存在维度是\(3\)的空间。

线性映射基本定理：\(\dim V = \dim nullT + \dim rangeT\)

单射的等价条件是\(nullT = \{0\}\)，即\(\dim nullT = 0\)。根据线性映射基本定理:\[\dim nullT = \dim V -\dim range T\] 因为\(\dim range T \leq \dim W\)，所以\(\dim nullT \geq \dim V - \dim W \leq 0\) 所以存在\(\dim nullT = 0\)的线性映射。

根据线性映射基本定理：

\begin{eqnarray*} \dim W = \dim range T&=&\dim V - \dim nullT \\ &\leq &\dim V \\ \end{eqnarray*}

证明另外一个方向，当\(\dim V \geq \dim W\)时，存在\(V\)到\(W\)满射。设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是\(V\)的一个基，\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(W\)的一个基。因为\(\dim V \geq \dim W\)则有\(m \geq n\)。定义线性映射使得： \[T(a_{1}v_{1} + \ldots a_{m}v_{m}) = a_{1}w_{1} + \ldots a_{n}w_{n}\]

因为\(m \geq n\)，所以上式右边\(a_{n}w_{n}\)是有意义的。又因为\(w_{1},\ldots ,w_{n}\)是\(W\)的基。所以(range T = W)\

我们首先证明从\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)和\(null T = U\)可以推出\(\dim U \geq \dim V -\dim W\).

根据线性映射基本定理，有:

\begin{eqnarray*} \dim nullT&=&\dim V -\dim rangeT \\ &\geq& \dim V - \dim W \\ \end{eqnarray*}

结合\(\dim U = \dim nullT\)，所以有\[\dim U \geq \dim V - \dim W\]

然后我们从\(\dim U \geq \dim V - \dim W\)推出存在\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)使得\(nullT = U\).

假设\(u_{1},\ldots ,u_{m}\)是\(U\)的一个基，把这个基扩展为\(V\)的一个基\(u_{1},\ldots ,u_{m},v_{1},\ldots ,v_{n}\)，令\(w_{1},\ldots ,w_q\)是\(W\)的一个基。定义线性映射：

\begin{equation} \label{eq:11} T(a_{1}u_{1} + \ldots + a_{m}u_{m} + b_{1}v_{1} + \ldots b_{n}v_{n}) = b_{1}w_{1} + \ldots b_{n}w_{n} \end{equation}

因为\(\dim U \geq \dim V - \dim W\)所以有\(q \geq n\)，所以上式\(b_{n}w_{n}\)是有意义的。所以有\(nullT = U\)且\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)