练习:零空间和值域
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1 3.B.1
给出线性映射T使得dimnullT=3且dimrangeT=2
根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT,有dimV=5.
所以我们可以定义一个维度为5的向量空间V=R5,并令这个空间的基为e1,…,e5,其中ei是第i个元素为1,其他元素为零的向量。接下来我们定义线性映射T:
T(e1)=0T(e2)=0T(e3)=0T(e4)=e5T(e5)=e4根据线性映射的定义,我们可以证明T是线性映射,满足齐次可加性。另外根据定义,e1,e2,e3∈nullT,并且nullT=span(e1,e2,e3),所以dimnullT=3,根据线性映射基本定理dimrangeT=2
注意我们定义线性映射T的时候最好写成定义线性映射T:L(V,V),即T是自身到自身的映射。
2 3.B.2
设V是向量空间,S,T∈L(V,V)使得rangeS⊂nullT,证明(ST)2=0
因为rangeS⊂nullT,所以对于任何s∈rangeS有Ts=0,所以有TS=0,对于(ST)2,我们可以展开如下:
(ST)2=(ST)(ST)=S(TS)T=S0T=03 3.B.3
设v1,…,vm是V中的向量组,定义T∈L(Fm,V),如下:T(z1,…,zm)=z1v1+…+zmvm
- T的什么性质相当于v1,…,vm张成V?
- T的什么性质相当于v1,…,vm是线性无关的?
- 相当于T满足什么条件才有span(v1,…,vm)=V?我们知道张成组的定义是指V中的任意向量都可以写成v1,…,vm的线性组合。而对于:T(z1,…,zm)=z1v1+…+zmvm说明T的值域是v1,…,vm的线性组合。即rangeT={v:v=z1v1+…+zmvm},只要rangeT=V和span(v1,…,vm)=V是等效的。即T是满射。
- v1,…,vm是线性无关的相当于z1v1+…+zmvm=0只有一种写法zi=0。这意味着(z1,…,zm)=(0,…,0)⏟m,即对于T来说只有T0=0。显然T必须有nullT={0},即T是单射。
4 3.B.4
证明{T∈L(R5,R4):dimnullT>2}不是L(R5,R4)的子空间。
因为dimnullT=dimR5−dimrangeT,且dimrangeT=dimR4=4,所以有dimnullT=1. 所以L(R5,R4)是nullT=1,rangeT=4构成的线性映射组成的空间。{T∈L(R5,R4):dimnullT>2}和{T∈L(R5,R4):dimnullT=1}是互斥的,证明完毕。
看了答案之后,发现答案中直接给出了一个特例。有时候举出一个反例会大大的简化证明。
后来仔细想想我的证明过程有一个地方出现了差错:我武断的认为dimrangeT=dimR4=4,其实题目并没有说T是满射。dimrangeT不一定等于dimR4=4. 所以还是给定一个反例比较好。
5 3.B.5
给出线性映射T:R4→R4,使得rangeT=nullT
因为dimR4=4,rangeT=nullT 根据线性映射基本定理,dimrangeT=dimnullT=2所以这个映射是存在的。
假设e1,e2,e3,e4是R4的一个基,定义T:R4→R4满足:
T(e1)=0T(e2)=0T(e3)=e1T(e4)=e2则有 nullT=rangeT={e1,e2}
6 3.B.6
证明不存在线性映射T:R5→R5,使得rangeT=nullT
假设存在这样的线性映射T,满足rangeT=nullT,即dimrangeT=dimnullT。根据线性映射基本定理dimR5=5,有dimrangeT=dimrangenullT=2.5,这是不可能的。矛盾。得证。
7 3.B.7
设V和W都是有限维的,且2≤dimV≤dimW。证明{T∈L(V,W):nullT≠0} 不是L(V,W)的子空间。
假设v1,…,vn是V的一个基,w1,wm是W的一个基,因为 2≤dimV≤dimW 所以2≤n≤m。
假设T1,T2∈{T∈L(V,W):nullT≠0},并且对于T1则有:
T1v1=0,T1vi=wi,i=2,…,n对于T2有:
T2v1=w1,T2v2=0,T2vi=wi,i=3,…,n但是我们有:
(T1+T2)v1=w1,(T1+T2)v2=v2,(T1+T2)vi=2wi,i=3,…,n因为w1,w2,2wi,i=3,…,n是线性无关的,则有T1+T2是单射,nullT={0}。所以{T∈L(V,W):nullT≠0}不是L(V,W)的子空间。
8 3.B.8
设V和W都是有限维的,且dimV≥dimW≥2,证明{T∈L(V,W):rangeT≠W}不是L(V,W)的子空间。
假设v1,…,vn是V的一个基,w1,wm是W的一个基,因为 2≤dimW≤dimV 所以2≤m≤n。
假设T1,T2∈{T∈L(V,W):rangeT≠W},并且对于T1则有:
T1v1=0,T1vi=wi,i=2,…,m对于T2有:
T2v1=w1,T2v2=0,T2vi=wi,i=3,…,m但是我们有:
(T1+T2)v1=w1,(T1+T2)v2=v2,(T1+T2)vi=2wi,i=3,…,m因为w1,w2,2wi,i=3,…,m是线性无关的,则有T1+T2是满射,rangeT=W。所以{T∈L(V,W):rangeT≠W}不是L(V,W)的子空间。
9 3.B.9
设T∈L(V,W)是单的,v1,…,vn在V中线性无关。证明Tv1,…,Tvn在W中线性无关。
按照线性组合的定义,假设存在ai使得a1Tv1+…+anTvn=0
根据线性映射的齐次可加性有: T(a1v1+…+anvn)=0
显然a1v1+…+anvn∈nullT。又因为T是单的,则必有nullT={0},所以: a1v1+…+anvn=0
又因为v1,…,vn是线性无关的。根据线性无关的定义,必有ai=0,∀ai
所以有Tv1,…,Tvn是线性无关的。
10 3.B.10
设v1,…,vn张成V,并设T∈V,W,证明Tv1,…,Tvn张成rangeT。
因为v1,…,vn张成V,则有对于v∈V存在ai,…,an使得a1v1+…+a1vn=v
对两边进行线性映射,有:
T(a1v1+…+a1vn)=Tva1Tv1+…+a1Tvn==Tv我们知道Tv∈rangeT,又因为v的任意性,所以Tv1,…,Tvn张成了rangeT
11 3.B.11
设S1,…,Sn均为单的线性映射,且S1S2…Sn有意义,证明S1S2…Sn是单射。
对于这个题目的证明我想采用数学归纳法。 显然当n=1的时候,原命题成立。
假设当n=m时,S1S2…Sm是单射,令S=S1S2…Sm,则接下来证明SSm+1是单射。
因为Sm+1是单射所以nullSm+1={0},假设SSm+1不是单射,则必有v≠0,v∈nullSSm+1使得 SSm+1≠0。
SSm+1v=0S(Sm+1v)=0因为S是单射,所以Sm+1v=0,又因为Sm+1也是单射所以v=0,矛盾。所以必有SSm+1也是单射。
这个题目说明,单射的组合任然是单射。
12 3.B.12
设T是有限维的,T∈L(V,W).证明V有一个子空间U使得U∩nullT={0}且rangeT={Tu:u∈U}.
这个题目采用了和2.43以及3.22相同的证明思路。刚开始,我想看答案。后来居然给想出来了。我发誓:以后一个题目不思考一个星期不看答案。必须改掉答案依赖症。更多的锻炼思考能力。闲话少说,接下来给出证明过程。
首先我们知道nullT是V的子空间,假设v1,…,vm是nullT的一组基,则可以把这组基扩展为V的一组基:v1,…,vm,w1,…,wn,接下来我们考察U=span(w1,…,wn),首先我们知道w1,…,wn是U的一组基(线性无关又张成U)。
令u∈U∩nullT,则存在a1,…,am,b1,…,bn∈F使得:
u=a1v1+…+amvm=b1w1+…+bnwn得:
a1v1+…+amvm−b1w1−…−bnwn=0因为v1,…,vm,w1,…,wn线性相关,则有: ai=0,bj=0,i=1,…,m,j=1,…,n
我们知道rangeT={Tv:v∈V},对任意的v∈V都存在ai∈F,bj∈F,i=1,…,m;j=1,…,n使得:
v=a1v1+…+amvm+b1w1+…+bnwn得:
Tv=T(b1w1+…+bnwn)上式右边没有了系数为ai的项,是因为vi∈nullT. 又因为u=b1w1+…+bnwn∈U,又因为v的任意性,所以:
{Tv:v∈V}={Tu:u∈U}即rangeT={Tu:u∈U}
综上U=span(w1,…,wn)就是我们要找的V的子空间。
13 3.B.13
设T是从F4到F2的线性映射使得nullT={(x1,x2,x3,x4)∈F4:x1=5x2,x3=7x4},证明T是满的。
根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT,结合dimnullT=2我们有dimrangeT=2。
14 3.B.14
设U是R8的一个3维子空间,T是R8到R5的一个线性映射使得nullT=U,证明T是满的。
根据线性映射基本定理,dimV=dimnullT+dimrangeT ,我们有dimrangeT=8−3=5.
线性映射基本定理用的非常广泛,要把其证明过程仔细掌握了。
15 3.B.15
证明不存在零空间等于{(x1,x2,x3,x4,x5)∈F5:x1=3x2,x3=x4=x5}的F5到F2的线性映射。
这个证明还是重点使用线性映射基本定理。易知,题目中所给零空间的维度是2,根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT。所以dimrangeT=3. 而F2的维度是2。
在F2中不可能存在维度是3的空间。
16 3.B.16
假设在V上存在一个线性映射,其零空间和值域都是有限维的,证明V是有限维的。
线性映射基本定理:dimV=dimnullT+dimrangeT
17 3.B.17
设V和W都是有限维的。证明存在一个V到W的单的线性映射当且仅当dimV≤dimW。
单射的等价条件是nullT={0},即dimnullT=0。根据线性映射基本定理:dimnullT=dimV−dimrangeT
18 3.B.18
设V和W都是有限维的。证明存在一个V到W的满的线性映射当且仅当dimV≥dimW
根据线性映射基本定理:
dimW=dimrangeT=dimV−dimnullT≤dimV证明另外一个方向,当dimV≥dimW时,存在V到W满射。设v1,…,vm是V的一个基,w1,…,wn是W的一个基。因为dimV≥dimW则有m≥n。定义线性映射使得: T(a1v1+…amvm)=a1w1+…anwn
因为m≥n,所以上式右边anwn是有意义的。又因为w1,…,wn是W的基。所以(range T = W)\
19 3.B.19
设V和W都是有限维的,且U是V的子空间。证明存在T∈L(V,W)使得nullT=U当且仅当dimU≥dimV−dimW
我们首先证明从T∈L(V,W)和nullT=U可以推出dimU≥dimV−dimW.
根据线性映射基本定理,有:
dimnullT=dimV−dimrangeT≥dimV−dimW结合dimU=dimnullT,所以有dimU≥dimV−dimW
然后我们从dimU≥dimV−dimW推出存在T∈L(V,W)使得nullT=U.
假设u1,…,um是U的一个基,把这个基扩展为V的一个基u1,…,um,v1,…,vn,令w1,…,wq是W的一个基。定义线性映射:
T(a1u1+…+amum+b1v1+…bnvn)=b1w1+…bnwn因为dimU≥dimV−dimW所以有q≥n,所以上式bnwn是有意义的。所以有nullT=U且T∈L(V,W)
20 3.B.20
设W是有限维的,T∈L(V,W)。证明T是单的当且仅当存在S∈L(V,W)使得ST是V上的恒等映射