练习：零空间和值域

根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT，有dimV=5.

所以我们可以定义一个维度为5的向量空间V=R5，并令这个空间的基为e1,…,e5，其中ei是第i个元素为1，其他元素为零的向量。接下来我们定义线性映射T：

根据线性映射的定义，我们可以证明T是线性映射，满足齐次可加性。另外根据定义，e1,e2,e3∈nullT，并且nullT=span(e1,e2,e3)，所以dimnullT=3，根据线性映射基本定理dimrangeT=2

注意我们定义线性映射T的时候最好写成定义线性映射T:L(V,V)，即T是自身到自身的映射。

因为rangeS⊂nullT，所以对于任何s∈rangeS有Ts=0，所以有TS=0，对于(ST)2，我们可以展开如下：

1. 相当于T满足什么条件才有span(v1,…,vm)=V？我们知道张成组的定义是指V中的任意向量都可以写成v1,…,vm的线性组合。而对于:T(z1,…,zm)=z1v1+…+zmvm
   说明T的值域是v1,…,vm的线性组合。即rangeT={v:v=z1v1+…+zmvm}，只要rangeT=V和span(v1,…,vm)=V是等效的。即T是满射。
2. v1,…,vm是线性无关的相当于z1v1+…+zmvm=0只有一种写法zi=0。这意味着(z1,…,zm)=(0,…,0)⏟m，即对于T来说只有T0=0。显然T必须有nullT={0}，即T是单射。

因为dimnullT=dimR5−dimrangeT,且dimrangeT=dimR4=4，所以有dimnullT=1. 所以L(R5,R4)是nullT=1,rangeT=4构成的线性映射组成的空间。{T∈L(R5,R4):dimnullT>2}和{T∈L(R5,R4):dimnullT=1}是互斥的，证明完毕。

看了答案之后，发现答案中直接给出了一个特例。有时候举出一个反例会大大的简化证明。

后来仔细想想我的证明过程有一个地方出现了差错：我武断的认为dimrangeT=dimR4=4，其实题目并没有说T是满射。dimrangeT不一定等于dimR4=4. 所以还是给定一个反例比较好。

因为dimR4=4，rangeT=nullT 根据线性映射基本定理，dimrangeT=dimnullT=2所以这个映射是存在的。

假设e1,e2,e3,e4是R4的一个基，定义T:R4→R4满足：

则有 nullT=rangeT={e1,e2}

假设存在这样的线性映射T，满足rangeT=nullT，即dimrangeT=dimnullT。根据线性映射基本定理dimR5=5，有dimrangeT=dimrangenullT=2.5，这是不可能的。矛盾。得证。

假设v1,…,vn是V的一个基，w1,wm是W的一个基，因为 2≤dimV≤dimW 所以2≤n≤m。

假设T1,T2∈{T∈L(V,W):nullT≠0}，并且对于T1则有：

对于T2有:

但是我们有：

因为w1,w2,2wi,i=3,…,n是线性无关的，则有T1+T2是单射,nullT={0}。所以{T∈L(V,W):nullT≠0}不是L(V,W)的子空间。

假设v1,…,vn是V的一个基，w1,wm是W的一个基，因为 2≤dimW≤dimV 所以2≤m≤n。

假设T1,T2∈{T∈L(V,W):rangeT≠W}，并且对于T1则有：

对于T2有:

但是我们有：

因为w1,w2,2wi,i=3,…,m是线性无关的，则有T1+T2是满射,rangeT=W。所以{T∈L(V,W):rangeT≠W}不是L(V,W)的子空间。

按照线性组合的定义，假设存在ai使得a1Tv1+…+anTvn=0

根据线性映射的齐次可加性有： T(a1v1+…+anvn)=0

显然a1v1+…+anvn∈nullT。又因为T是单的，则必有nullT={0}，所以： a1v1+…+anvn=0

又因为v1,…,vn是线性无关的。根据线性无关的定义，必有ai=0,∀ai

所以有Tv1,…,Tvn是线性无关的。

因为v1,…,vn张成V，则有对于v∈V存在ai,…,an使得a1v1+…+a1vn=v

对两边进行线性映射，有：

我们知道Tv∈rangeT，又因为v的任意性，所以Tv1,…,Tvn张成了rangeT

对于这个题目的证明我想采用数学归纳法。 显然当n=1的时候，原命题成立。

假设当n=m时，S1S2…Sm是单射，令S=S1S2…Sm，则接下来证明SSm+1是单射。

因为Sm+1是单射所以nullSm+1={0}，假设SSm+1不是单射，则必有v≠0,v∈nullSSm+1使得 SSm+1≠0。

因为S是单射,所以Sm+1v=0，又因为Sm+1也是单射所以v=0，矛盾。所以必有SSm+1也是单射。

这个题目说明，单射的组合任然是单射。

这个题目采用了和2.43以及3.22相同的证明思路。刚开始，我想看答案。后来居然给想出来了。我发誓：以后一个题目不思考一个星期不看答案。必须改掉答案依赖症。更多的锻炼思考能力。闲话少说，接下来给出证明过程。

首先我们知道nullT是V的子空间，假设v1,…,vm是nullT的一组基，则可以把这组基扩展为V的一组基：v1,…,vm,w1,…,wn，接下来我们考察U=span(w1,…,wn)，首先我们知道w1,…,wn是U的一组基（线性无关又张成U）。

令u∈U∩nullT，则存在a1,…,am,b1,…,bn∈F使得:

得：

因为v1,…,vm,w1,…,wn线性相关，则有： ai=0,bj=0,i=1,…,m,j=1,…,n

我们知道rangeT={Tv:v∈V}，对任意的v∈V都存在ai∈F,bj∈F,i=1,…,m;j=1,…,n使得：

得：

上式右边没有了系数为ai的项，是因为vi∈nullT. 又因为u=b1w1+…+bnwn∈U，又因为v的任意性，所以：

即rangeT={Tu:u∈U}

综上U=span(w1,…,wn)就是我们要找的V的子空间。

根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT，结合dimnullT=2我们有dimrangeT=2。

根据线性映射基本定理，dimV=dimnullT+dimrangeT ,我们有dimrangeT=8−3=5.

线性映射基本定理用的非常广泛，要把其证明过程仔细掌握了。

这个证明还是重点使用线性映射基本定理。易知，题目中所给零空间的维度是2，根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeT。所以dimrangeT=3. 而F2的维度是2。

在F2中不可能存在维度是3的空间。

线性映射基本定理：dimV=dimnullT+dimrangeT

单射的等价条件是nullT={0}，即dimnullT=0。根据线性映射基本定理:dimnullT=dimV−dimrangeT

根据线性映射基本定理：

证明另外一个方向，当dimV≥dimW时，存在V到W满射。设v1,…,vm是V的一个基，w1,…,wn是W的一个基。因为dimV≥dimW则有m≥n。定义线性映射使得： T(a1v1+…amvm)=a1w1+…anwn

因为m≥n，所以上式右边anwn是有意义的。又因为w1,…,wn是W的基。所以(range T = W)\

我们首先证明从T∈L(V,W)和nullT=U可以推出dimU≥dimV−dimW.

根据线性映射基本定理，有:

结合dimU=dimnullT，所以有dimU≥dimV−dimW

然后我们从dimU≥dimV−dimW推出存在T∈L(V,W)使得nullT=U.

假设u1,…,um是U的一个基，把这个基扩展为V的一个基u1,…,um,v1,…,vn，令w1,…,wq是W的一个基。定义线性映射：

因为dimU≥dimV−dimW所以有q≥n，所以上式bnwn是有意义的。所以有nullT=U且T∈L(V,W)