练习：对偶

\(V\)上的线性泛函是从\(V\)到\(\mathbf{F}\)的线性映射，也就是说，线性泛函是\(\mathcal{L}(V, \mathbf{F})\)中的元素。因为\(\mathbf{F}\)中任何一个非零元素都是\(\mathbf{F}\)的基，所以对于任何\(\varphi\in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})\)都有\(\varphi(v)\)属于\(\mathbf{F}\)中的元素。由于\(v\)的任意性，当\(\varphi(v) = 0\)时，则有\(\varphi = 0\)，否则\(\varphi(v)\neq 0\)。

我们可以从维度的观点来解释这个问题。因为\(\dim \mathbf{F} = 1 \)。若\(\dim range(V) = 0\)，则\(\varphi = 0\)，若\(\dim rangeV = 1\)，则\(\dim range V = \dim \mathbf{F}\). 又因为\(\dim range(V) \leq \dim \mathbf{F} = 1\)，所以满射或者零映射是所有的场景。

1. \(\varphi: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\), \(\varphi(x) = x\)

理解题目，\(V^{'}= \mathcal{L}(V, \mathbf{F})\)。从第一题我们知道：线性泛函要么是满的要么是零映射。又因为\(v\neq 0\)，所以\(V^{'}\)中的元素都是满的。

特别的，我们把\(v\)扩展成\(V\)的对偶基\(v,v_{2},\ldots ,v_{n}\)，则有\(V^{'}\)中的对偶基\(\varphi_{1},\varphi_{2},\ldots ,\varphi_{n}\)，则有：

\begin{equation} \label{eq:1} \varphi_{k}(v) = \begin{cases} 1 & k = 1 \\ 0 & k\neq 1 \end{cases} \end{equation}

从一个非零向量扩展出一个基是一个总要的技巧。对偶基的定义也要牢牢掌握。

因为\(U\)是\(V\)的子空间且\(V\neq U\)，我们知道\(\dim V > \dim U\)，又因为\(\dim U + \dim U^{0} = \dim V\)，则有\(\dim U^{0} = \dim V - \dim U > 0\)，所以\(\dim U^{0} \neq {0}\) 所以在零化子空间中存在非零的线性泛函。

因为\[\dim (V_{1}\times \ldots \times V_{m})^{'} = \dim (V_{1}\times \ldots \times V_{m})\]而\[ \dim (V_{1}\times \ldots \times V_{m}) = \sum_{i=1}^{m}\dim V_{i}\]

另一方面\[\dim V_{1}^{'}\times \ldots \times V_{m}^{'} = \sum_{i=1}^{m}\dim V_{i}^{'}\] 又因为\[\dim V_{i}^{'} = \dim V_{i},\forall i\]

所以\[\dim (V_{1}\times \ldots \times V_{m})^{'} = \dim V_{1}^{'}\times \ldots \times V_{m}^{'}\]命题得证。

我们先证明第一个命题：

如果\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)张成\(V\)，那么\(\Gamma(\varphi) = 0\),即\(\varphi\in null \Gamma\)意味着：\[\varphi(v_{1}) = \ldots = \varphi(v_{m}) = 0\] 另外从\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)张成\(V\)，我们还可以推出，对于任何\(v\in V\)，都有\(\exists a_{i}\in \{1,\ldots ,m\}\)，使得：\[v= a_{1}v_{1}+\ldots + a_{m}v_{m}\]对上式两端进行\(\varphi\)映射，则有：

\begin{equation} \label{eq:2} \varphi(v) = a_{1}\varphi(v_{1}) + \ldots + a_{2}\varphi(v_{m}) = 0 \end{equation}

也就是说，对于\(V\)中的任何一个元素\(v\)，都有\(\varphi(v) = 0\)，这样的映射\(\varphi\)叫做零映射。所以有\(\Gamma\)的零空间中的任何一个元素都是\(0\)，即有\(null\Gamma = 0\)，所以\(\Gamma\)是单射。

另一方面：我们从\(\Gamma\)是单射推出\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)张成\(V\)。这里我们采用反证法：假设\(\Gamma\)是单射，但是\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)不张成\(V\)，则有\(U = span(v_{1},\ldots ,v_{m})\)是\(V\)的子集，并且\(U\neq V\)。我们知道\(\dim U + \dim U^{0} = \dim V\)，因为\(U\neq V \rightarrow \dim U \neq \dim V\)，所以\(\dim U^{0} > 0\)，所以\(\exists \varphi \in V^{'},\varphi\neq 0\)，满足\(\varphi(v_{1}) = \ldots =\varphi(v_{m}) = 0\)，所以\(\varphi \in null \Gamma\)这与\(\Gamma\)是单射矛盾。所以，必有\(\Gamma\)是单射推出\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)张成\(V\)。

接下来证明第二个命题：

如果\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性独立的，那么对于任何\(f_{1},\ldots ,f_{m}\in \mathbf{F}^{m}\)，存在一个映射\( \varphi \in V^{'}\) 满足： \[\varphi(v_{i}) = f_{i},i=1,\ldots ,m\] 那么根据\(\Gamma\)的定义有：\[\Gamma(\varphi) = (f_{1},\ldots ,f_{m})\] 说明\(\Gamma\)是满射。因为对于任意的\(f_{1},\ldots ,f_{m}\)都可以找到一个映射，说明\(range(\Gamma) = \mathbf{F}^{m}\)

对于任意的\(f_{1},\ldots ,f_{m}\)这个映射的存在是有依据的，我们之前就证明过一个命题。现在把这个命题重述如下：

设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是\(V\)的基，\(w_{1},\ldots ,w_{m}\in W\)，则存在唯一一个线性映射\(T:V\rightarrow W\)使得对于任意\(j=1,\ldots ,n\)都有：\[Tv_{j}= w_{j}\]这个定理的证明见 线性映射 一文。这个定理说明线性映射可以根据其在一个基上的取值来构造，而唯一性表明一个线性映射完全由其在基上的取值确定。时至今日，我对3.5的这个定理有了更深的理解。

接下来我们证明另一个方面，如果\(\Gamma\)是满射，我们要证明\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性独立的。假设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性相关的。注意我们在用反证法了，我们希望推出矛盾。存在不全为零的一组数\(k_{1},\ldots ,k_{m}\in \mathbf{F}\)满足：\[k_{1}v_{1} + ... + k_{m}v_{m} = 0\] 假设\(k_{i}\neq 0\)，那么\(v_{i}\)可以写成\(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{m}\)的线性组合。所以第\(i\)个元素为\(1\)，其他元素为\(0\)的向量\((0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\)不在\(range \Gamma\)中。所以\(\Gamma\)不是满射，所以\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性独立的。

为什么第\(i\)个元素为\(1\)，其他元素为\(0\)的向量\((0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\)不在\(range \Gamma\)中?我们这里做一下详细的说明。

假设第\(i\)个元素为\(1\)，其他元素为\(0\)的向量\((0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\)在\(\Gamma\)中，那么存在一个映射\(\varphi\in V^{'}\)，使得：\[\varphi(v_{j}) = 0, \varphi(v_{i}) = 1,j = 1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,m\] 这意味着\(\varphi(v) = 0\)，如果\(v\)是\(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{m}\)的线性组合。因为我们假设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性相关的并且\(v_{i}\)可以用其他向量的线性组合来表示，所以\(\varphi(v_{i}) = 0\)。但是我们有\(\varphi(v_{i}) = 1\)，矛盾。\(\Gamma\)不是满射。这意味着\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是不可能是线性相关的。

这个问题在证明的过程中，我有几个知识点没有掌握：

1. 线性映射可以通过这个线性映射在一个基上的取值来构造。
2. 反证法中寻找有利于结论的特例

根据对偶基的定义，假设\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是\(V\)的基，则其对偶基\(\varphi_{1},\ldots ,\varphi_{m}\in V^{'}\)满足：

\begin{equation} \label{eq:3} \varphi_{j}(v_{k}) = \begin{cases} 1 & k=j \\ 0 & k\neq j \end{cases} \end{equation}

对于题目中的对偶基，我们只需要按照定义来验证就可以，对于:

\begin{equation} \label{eq:4} \varphi_{j}(v_{k}) = \frac{(x^{k})^{(j)}}{j!} \begin{cases} 1 & k = j \\ 0 & k\neq j \end{cases} \end{equation}

结论是显然的。

关于第一个问题的证明我们可以看到\(\dim span(1,x-5,\ldots ,(x-5)^{m}) = \dim span(1,x,\ldots ,x^{m}) = m\) ,因为\(1,x,\ldots ,x^{m}\)是\(\mathcal{P}_{m}(\mathbf{R})\)的基，所以\(1,x-5,\ldots ,(x-5)^{m}\)也是\(\mathcal{P}_{m}(\mathbf{R})\)的基。

对于第2个问题，我们从第3.F.7 很容易得到，\(1,x-5,\ldots ,(x-5)^{m}\)的对偶基是\(\varphi_{0},\ldots ,\varphi_{m}\)满足：\[ \varphi_{j}(p) = \frac{p^{(j)}(5)}{j!}\] 这个映射满足对偶基的定义。

因为\(\psi\in V^{'}\)，则\(\exists \quad a_{1},\ldots ,a_{n}\)，使得：\[\psi = a_{1}\varphi_{1} + \ldots + a_{n}\varphi_{n}\].

又因为\(\psi(v_{i}) = (a_{1}\varphi_{1} + \ldots + a_{n}\varphi_{n})(v_{i}) = a_{i}\) ，显然：\[\psi = \psi(v_{1})\varphi_{1} + \ldots \psi(v_{n})\varphi_{n}\]

因为\(S,T\in \mathcal{L}(V,W)\)，\(S^{'},T^{'}\in \mathcal{L}(W^{'},V^{'})\)，对于\(\omega \in W^{'}\)有：\[ (S + T)^{'}(\omega) = \omega \circ (S +T) = \omega \circ S + \omega \circ T = S^{'}(\omega) + T^{'}(\omega) = (S^{'} + T^{'})(\omega)\] 即：\((S+T)^{'} = S^{'} + T^{'}\)

假设\(\varphi\in W^{'}\)，则\[(\lambda T)^{'}(\varphi) = \varphi \circ (\lambda T) = \lambda \varphi \circ T = \lambda T^{'}(\varphi) \]即：\((\lambda T)^{'} = \lambda T^{'}\)

这个问题的证明要结合行秩和列秩的定义，以及矩阵的行秩等于列秩这个结论。

矩阵\(A\)的行秩等于\(A\)的行在\(\mathbf{F}^{1,n}\)中的张成空间的维数。矩阵\(A\)的列秩等于\(A\)的列在\(\mathbf{F}^{m,1}\)中的张成空间的维数。

题中所述的矩阵的每一行都是\(d_{1},\ldots ,d_{n}\)的标量乘，标量的值来自于\(c_{1},\ldots ,c_{m}\)。同理\(A\)的每一列都是\(c_{1},\ldots ,c_{m}\)的标量乘，标量的值来自于\(d_{1},\ldots ,d_{n}\)。所以矩阵\(A\)的行空间等于\((d_{1},\ldots ,d_{n})\)张成的空间，矩阵\(A\)的列空间等于\((c_{1},\ldots ,c_{m})\)张成的空间。行秩和列秩都等于1.

\(V\)的恒等映射是将\(V\)映射为\(V\)的映射，即\(T\in \mathcal{L}(V,V)\)，有\(T(v) = v,\forall v\in V\)。假设\(T^{'}\in \mathcal{L}(V^{'},V^{'})\)，且对\(\varphi\in V^{'}\)，有\(T^{\varphi} = \varphi\circ T\)因为\(T\)是恒等映射，则有\(\varphi\circ T = \varphi\)，即\(T^{\varphi} = \varphi\)，显然\(T^{'}\)是恒等映射，它把\(V^{'}\)中的所有元素都映射为其本身，\(V^{'}\)中的所有元素都是\(V\)到\(\mathbf{F}\)的线性泛函。

在证明类似的题目的时候要始终记住\(V^{'}\)中的元素是线性泛函，即集合中的元素没有约束必须为单个的数，可以是任何东西。这个时候理解\(T^{'}(\varphi) = \varphi\)就会更自然。

1. 首先根据对偶映射的定义\(T^{'}(\varphi_{1}) = \varphi_{1}\circ T\) 所以：

\begin{equation} \label{eq:5} T^{'}(\varphi_{1})(v) = (\varphi \circ T)(v),\forall v\in \mathbf{R}^{3} \end{equation}

所以\(T^{'}(\varphi_{1})(x,y,z) = 4x+5y+6z\)，同理\(T^{'}(\varphi_{2})(x,y,z) = 7x+8y+9z\)

1. 对于\(v=(x,y,z)\in \mathbf{R}^{3}\)，因为\(\psi_{1},\psi_{2},\psi_{3}\)是\(\mathbf{R}^{3}\)的对偶基，则\(\psi_{1}(v) = x, \psi_{2}(v) = y,\psi_{3} (v) = z\)，显然：

\begin{eqnarray} \label{eq:6} T^{'}(\varphi_{1}) &=& 4\psi_{1} + 5\psi_{2} + 6\psi_{3} \\ T^{'}(\varphi_{2}) &=& 7\psi_{1} + 8\psi_{2} + 9\psi_{3} \\ \end{eqnarray}

这个问题还可以用矩阵来表示。易得针对\(T: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, T(x,y,z) = (4x+5y+6z, 7x+8y+9z)\)，以及\(\mathbf{R}^{3}\)和\(\mathbf{R}^{2}\)的标准基对应的矩阵是：

\begin{equation} \label{eq:7} A= \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \end{equation}

关于这个矩阵，我们回忆的更多一些：对于任意的\((x,y,z)\in \mathbf{R}^{3}\)都有

\begin{equation} \label{eq:8} (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) \end{equation}

所以\(T(x,y,z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1)\)

又因为:

\begin{eqnarray} \label{eq:9} T(1,0,0)&=&A_{1,1}(1,0) + T_{2,1}(0,1) \\ T(0,1,0)&=&A_{1,2}(1,0) + T_{2,2}(0,1) \\ T(0,0,1)&=&A_{1,3}(1,0) + T_{2,3}(0,1) \end{eqnarray}

根据线性映射的作用类似于矩阵乘，有\(T(v) = Av \)

另外，由于\(T\in \mathcal{L}(V,W)\)对应的矩阵和\(T^{'}\in \mathcal{L}(W^{'},V^{'})\)对应的矩阵之间存在转置关系，则有\(T^{'}\)对应的矩阵是：

\begin{equation} \label{eq:10} B=A^{t}= \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{bmatrix} \end{equation}

对于\(T^{'}\in \mathcal{L}(W^{'},V^{'})\),使用线性映射的作用类似于矩阵乘，则有： \(T^{'}(\varphi_{1}) = A(\mathbf{M}(\varphi_{1}))\) 因为\(\varphi_{1}\)对应的向量是\((1,0)\)所以有：

\begin{equation} \label{eq:11} \mathcal{M}(T^{'}(\varphi_{1})) = \mathcal{M}(T^{'}) \mathcal{M}(\varphi_{1}) = (4,5,6) \end{equation}

在\(\mathcal{R}^{3}\)的对偶空间中\((4,5,6)\)对应的元素是\(4\psi_{1} + 5\psi_{2} + 6\psi_{3}\)

同理：

\begin{equation} \label{eq:12} \mathcal{M}(T^{'}(\varphi_{2})) = \mathcal{M}(T^{'}) \mathcal{M}(\varphi_{2}) = (7,8,9) \end{equation}

在\(\mathbf{R}^{3}\)的对偶空间中\((7,8,9)\)对应的元素是\(7\psi_{1} + 8\psi_{2} + 9\psi_{3}\)

现在，已经把线性映射和矩阵结合起来了。