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练习:对偶

目录

1 3.F.1

解释为什么每个线性泛函或者是满的或者是零映射

V上的线性泛函是从VF的线性映射,也就是说,线性泛函是L(V,F)中的元素。因为F中任何一个非零元素都是F的基,所以对于任何φL(V,F)都有φ(v)属于F中的元素。由于v的任意性,当φ(v)=0时,则有φ=0,否则φ(v)0

我们可以从维度的观点来解释这个问题。因为dimF=1。若dimrange(V)=0,则φ=0,若dimrangeV=1,则dimrangeV=dimF. 又因为dimrange(V)dimF=1,所以满射或者零映射是所有的场景。

2 3.F.2

给出R[0,1]上三个不同的线性泛函的例子。

  1. φ:RR, φ(x)=x

3 3.F.3

V是有限维的,vVv0,证明存在φV使得φ(v)=1

理解题目,V=L(V,F)。从第一题我们知道:线性泛函要么是满的要么是零映射。又因为v0,所以V中的元素都是满的。

特别的,我们把v扩展成V的对偶基v,v2,,vn,则有V中的对偶基φ1,φ2,,φn,则有:

φk(v)={1k=10k1

从一个非零向量扩展出一个基是一个总要的技巧。对偶基的定义也要牢牢掌握。

4 3.F.4

V是有限维的,UV的子空间使得UV,证明存在φV使得对每个uUφ(u)=0φ0

因为UV的子空间且VU,我们知道dimV>dimU,又因为dimU+dimU0=dimV,则有dimU0=dimVdimU>0,所以dimU00 所以在零化子空间中存在非零的线性泛函。

5 3.F.5

V1,,Vm均为向量空间。证明(V1××Vm)V1××Vm是同构的向量空间。

因为dim(V1××Vm)=dim(V1××Vm)dim(V1××Vm)=mi=1dimVi

另一方面dimV1××Vm=mi=1dimVi 又因为dimVi=dimVi,i

所以dim(V1××Vm)=dimV1××Vm命题得证。

6 3.F.6

V是有限维的,v1,,vmV,定义线性映射Γ:VFm如下:Γ(φ)=(φ(v1),,φ(vm))

  1. 证明:v1,,vm张成V当且仅当Γ是单的。
  2. 证明v1,,vm线性无关当且仅当Γ是满的。

我们先证明第一个命题:

如果v1,,vm张成V,那么Γ(φ)=0,即φnullΓ意味着:φ(v1)==φ(vm)=0 另外从v1,,vm张成V,我们还可以推出,对于任何vV,都有ai{1,,m},使得:v=a1v1++amvm对上式两端进行φ映射,则有:

φ(v)=a1φ(v1)++a2φ(vm)=0

也就是说,对于V中的任何一个元素v,都有φ(v)=0,这样的映射φ叫做零映射。所以有Γ的零空间中的任何一个元素都是0,即有nullΓ=0,所以Γ是单射。

另一方面:我们从Γ是单射推出v1,,vm张成V。这里我们采用反证法:假设Γ是单射,但是v1,,vm不张成V,则有U=span(v1,,vm)V的子集,并且UV。我们知道dimU+dimU0=dimV,因为UVdimUdimV,所以dimU0>0,所以φV,φ0,满足φ(v1)==φ(vm)=0,所以φnullΓ这与Γ是单射矛盾。所以,必有Γ是单射推出v1,,vm张成V

接下来证明第二个命题:

如果v1,,vm是线性独立的,那么对于任何f1,,fmFm,存在一个映射φV 满足: φ(vi)=fi,i=1,,m 那么根据Γ的定义有:Γ(φ)=(f1,,fm) 说明Γ是满射。因为对于任意的f1,,fm都可以找到一个映射,说明range(Γ)=Fm

对于任意的f1,,fm这个映射的存在是有依据的,我们之前就证明过一个命题。现在把这个命题重述如下:

v1,,vmV的基,w1,,wmW,则存在唯一一个线性映射T:VW使得对于任意j=1,,n都有:Tvj=wj这个定理的证明见 线性映射 一文。这个定理说明线性映射可以根据其在一个基上的取值来构造,而唯一性表明一个线性映射完全由其在基上的取值确定。时至今日,我对3.5的这个定理有了更深的理解。

接下来我们证明另一个方面,如果Γ是满射,我们要证明v1,,vm是线性独立的。假设v1,,vm是线性相关的。注意我们在用反证法了,我们希望推出矛盾。存在不全为零的一组数k1,,kmF满足:k1v1+...+kmvm=0 假设ki0,那么vi可以写成v1,,vi1,vi+1,,vm的线性组合。所以第i个元素为1,其他元素为0的向量(0,,0,1,0,,0)不在rangeΓ中。所以Γ不是满射,所以v1,,vm是线性独立的。

为什么第i个元素为1,其他元素为0的向量(0,,0,1,0,,0)不在rangeΓ中?我们这里做一下详细的说明。

假设第i个元素为1,其他元素为0的向量(0,,0,1,0,,0)Γ中,那么存在一个映射φV,使得:φ(vj)=0,φ(vi)=1,j=1,,i1,i+1,,m 这意味着φ(v)=0,如果vv1,,vi1,vi+1,,vm的线性组合。因为我们假设v1,,vm是线性相关的并且vi可以用其他向量的线性组合来表示,所以φ(vi)=0。但是我们有φ(vi)=1,矛盾。Γ不是满射。这意味着v1,,vm是不可能是线性相关的。

这个问题在证明的过程中,我有几个知识点没有掌握:

  1. 线性映射可以通过这个线性映射在一个基上的取值来构造。
  2. 反证法中寻找有利于结论的特例

7 3.F.7

m是正整数。证明Pm(R)的基1,x,,xm的对偶基是φ0,,φm其中φj(p)=p(j)(0)j!,p(j)表示pj次导数,p0次导数规定p

根据对偶基的定义,假设v1,,vmV的基,则其对偶基φ1,,φmV满足:

φj(vk)={1k=j0kj

对于题目中的对偶基,我们只需要按照定义来验证就可以,对于:

φj(vk)=(xk)(j)j!{1k=j0kj

结论是显然的。

8 3.F.8

m是正整数。

  1. 证明1,x5,,(x5)mPm(R)
  2. 求1中的基的对偶基。

关于第一个问题的证明我们可以看到dimspan(1,x5,,(x5)m)=dimspan(1,x,,xm)=m ,因为1,x,,xmPm(R)的基,所以1,x5,,(x5)m也是Pm(R)的基。

对于第2个问题,我们从第3.F.7 很容易得到,1,x5,,(x5)m的对偶基是φ0,,φm满足:φj(p)=p(j)(5)j! 这个映射满足对偶基的定义。

9 3.F.9

v1,,vnV的基,φ1,,φnV的相应的对偶基。设ψV,证明:ψ=ψ(v1)φ1++ψ(vn)φn

因为ψV,则a1,,an,使得:ψ=a1φ1++anφn.

又因为ψ(vi)=(a1φ1++anφn)(vi)=ai ,显然:ψ=ψ(v1)φ1+ψ(vn)φn

10 3.F.10

证明对所有的S,TL(V,W)(S+T)=S+T

因为S,TL(V,W)S,TL(W,V),对于ωW有:(S+T)(ω)=ω(S+T)=ωS+ωT=S(ω)+T(ω)=(S+T)(ω) 即:(S+T)=S+T

对所有λF 和所有TL(V,W)(λT)=λT

假设φW,则(λT)(φ)=φ(λT)=λφT=λT(φ)即:(λT)=λT

11 3.F.11

Am×n矩阵且A0。证明A的秩是1,当且仅当存在c1,,cmFmd1,,dnFn使得对任意j=1,,mk=1,,nAj,k=cjdk

这个问题的证明要结合行秩和列秩的定义,以及矩阵的行秩等于列秩这个结论。

矩阵A的行秩等于A的行在F1,n中的张成空间的维数。矩阵A的列秩等于A的列在Fm,1中的张成空间的维数。

题中所述的矩阵的每一行都是d1,,dn的标量乘,标量的值来自于c1,,cm。同理A的每一列都是c1,,cm的标量乘,标量的值来自于d1,,dn。所以矩阵A的行空间等于(d1,,dn)张成的空间,矩阵A的列空间等于(c1,,cm)张成的空间。行秩和列秩都等于1.

12 3.F.12

证明V的恒等映射对应的对偶映射是V的恒等映射。

V的恒等映射是将V映射为V的映射,即TL(V,V),有T(v)=v,vV。假设TL(V,V),且对φV,有Tφ=φT因为T是恒等映射,则有φT=φ,即Tφ=φ,显然T是恒等映射,它把V中的所有元素都映射为其本身,V中的所有元素都是VF的线性泛函。

在证明类似的题目的时候要始终记住V中的元素是线性泛函,即集合中的元素没有约束必须为单个的数,可以是任何东西。这个时候理解T(φ)=φ就会更自然。

13 3.F.13

定义T:R3R2T(x,y,z)=(4x+5y+6z,7z+8y+9z)。设φ1,φ2R2的标准基的对偶基,ψ1,ψ2,ψ3R3的标准基的对偶基。

  1. 描述线性泛函T(φ1),T(φ2)
  2. T(φ1),T(φ2)写成ψ1,ψ2,ψ3的线性组合。
  1. 首先根据对偶映射的定义T(φ1)=φ1T 所以:
T(φ1)(v)=(φT)(v),vR3

所以T(φ1)(x,y,z)=4x+5y+6z,同理T(φ2)(x,y,z)=7x+8y+9z

  1. 对于v=(x,y,z)R3,因为ψ1,ψ2,ψ3R3的对偶基,则ψ1(v)=x,ψ2(v)=y,ψ3(v)=z,显然:
T(φ1)=4ψ1+5ψ2+6ψ3T(φ2)=7ψ1+8ψ2+9ψ3

这个问题还可以用矩阵来表示。易得针对T:R3R2,T(x,y,z)=(4x+5y+6z,7x+8y+9z),以及R3R2的标准基对应的矩阵是:

A=[456789]

关于这个矩阵,我们回忆的更多一些:对于任意的(x,y,z)R3都有

(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)

所以T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)

又因为:

T(1,0,0)=A1,1(1,0)+T2,1(0,1)T(0,1,0)=A1,2(1,0)+T2,2(0,1)T(0,0,1)=A1,3(1,0)+T2,3(0,1)

根据线性映射的作用类似于矩阵乘,有T(v)=Av

另外,由于TL(V,W)对应的矩阵和TL(W,V)对应的矩阵之间存在转置关系,则有T对应的矩阵是:

B=At=[475869]

对于TL(W,V),使用线性映射的作用类似于矩阵乘,则有: T(φ1)=A(M(φ1)) 因为φ1对应的向量是(1,0)所以有:

M(T(φ1))=M(T)M(φ1)=(4,5,6)

R3的对偶空间中(4,5,6)对应的元素是4ψ1+5ψ2+6ψ3

同理:

M(T(φ2))=M(T)M(φ2)=(7,8,9)

R3的对偶空间中(7,8,9)对应的元素是7ψ1+8ψ2+9ψ3

现在,已经把线性映射和矩阵结合起来了。