练习:对偶
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1 3.F.1
解释为什么每个线性泛函或者是满的或者是零映射
V上的线性泛函是从V到F的线性映射,也就是说,线性泛函是L(V,F)中的元素。因为F中任何一个非零元素都是F的基,所以对于任何φ∈L(V,F)都有φ(v)属于F中的元素。由于v的任意性,当φ(v)=0时,则有φ=0,否则φ(v)≠0。
我们可以从维度的观点来解释这个问题。因为dimF=1。若dimrange(V)=0,则φ=0,若dimrangeV=1,则dimrangeV=dimF. 又因为dimrange(V)≤dimF=1,所以满射或者零映射是所有的场景。
2 3.F.2
给出R[0,1]上三个不同的线性泛函的例子。
- φ:R→R, φ(x)=x
3 3.F.3
设V是有限维的,v∈V且v≠0,证明存在φ∈V′使得φ(v)=1
理解题目,V′=L(V,F)。从第一题我们知道:线性泛函要么是满的要么是零映射。又因为v≠0,所以V′中的元素都是满的。
特别的,我们把v扩展成V的对偶基v,v2,…,vn,则有V′中的对偶基φ1,φ2,…,φn,则有:
φk(v)={1k=10k≠1从一个非零向量扩展出一个基是一个总要的技巧。对偶基的定义也要牢牢掌握。
4 3.F.4
设V是有限维的,U是V的子空间使得U≠V,证明存在φ∈V′使得对每个u∈U有φ(u)=0但φ≠0
因为U是V的子空间且V≠U,我们知道dimV>dimU,又因为dimU+dimU0=dimV,则有dimU0=dimV−dimU>0,所以dimU0≠0 所以在零化子空间中存在非零的线性泛函。
5 3.F.5
设V1,…,Vm均为向量空间。证明(V1×…×Vm)′和V′1×…×V′m是同构的向量空间。
因为dim(V1×…×Vm)′=dim(V1×…×Vm)而dim(V1×…×Vm)=m∑i=1dimVi
另一方面dimV′1×…×V′m=m∑i=1dimV′i 又因为dimV′i=dimVi,∀i
所以dim(V1×…×Vm)′=dimV′1×…×V′m命题得证。
6 3.F.6
设V是有限维的,v1,…,vm∈V,定义线性映射Γ:V′→Fm如下:Γ(φ)=(φ(v1),…,φ(vm))
- 证明:v1,…,vm张成V当且仅当Γ是单的。
- 证明v1,…,vm线性无关当且仅当Γ是满的。
我们先证明第一个命题:
如果v1,…,vm张成V,那么Γ(φ)=0,即φ∈nullΓ意味着:φ(v1)=…=φ(vm)=0 另外从v1,…,vm张成V,我们还可以推出,对于任何v∈V,都有∃ai∈{1,…,m},使得:v=a1v1+…+amvm对上式两端进行φ映射,则有:
φ(v)=a1φ(v1)+…+a2φ(vm)=0也就是说,对于V中的任何一个元素v,都有φ(v)=0,这样的映射φ叫做零映射。所以有Γ的零空间中的任何一个元素都是0,即有nullΓ=0,所以Γ是单射。
另一方面:我们从Γ是单射推出v1,…,vm张成V。这里我们采用反证法:假设Γ是单射,但是v1,…,vm不张成V,则有U=span(v1,…,vm)是V的子集,并且U≠V。我们知道dimU+dimU0=dimV,因为U≠V→dimU≠dimV,所以dimU0>0,所以∃φ∈V′,φ≠0,满足φ(v1)=…=φ(vm)=0,所以φ∈nullΓ这与Γ是单射矛盾。所以,必有Γ是单射推出v1,…,vm张成V。
接下来证明第二个命题:
如果v1,…,vm是线性独立的,那么对于任何f1,…,fm∈Fm,存在一个映射φ∈V′ 满足: φ(vi)=fi,i=1,…,m 那么根据Γ的定义有:Γ(φ)=(f1,…,fm) 说明Γ是满射。因为对于任意的f1,…,fm都可以找到一个映射,说明range(Γ)=Fm
对于任意的f1,…,fm这个映射的存在是有依据的,我们之前就证明过一个命题。现在把这个命题重述如下:
设v1,…,vm是V的基,w1,…,wm∈W,则存在唯一一个线性映射T:V→W使得对于任意j=1,…,n都有:Tvj=wj这个定理的证明见 线性映射 一文。这个定理说明线性映射可以根据其在一个基上的取值来构造,而唯一性表明一个线性映射完全由其在基上的取值确定。时至今日,我对3.5的这个定理有了更深的理解。
接下来我们证明另一个方面,如果Γ是满射,我们要证明v1,…,vm是线性独立的。假设v1,…,vm是线性相关的。注意我们在用反证法了,我们希望推出矛盾。存在不全为零的一组数k1,…,km∈F满足:k1v1+...+kmvm=0 假设ki≠0,那么vi可以写成v1,…,vi−1,vi+1,…,vm的线性组合。所以第i个元素为1,其他元素为0的向量(0,…,0,1,0,…,0)不在rangeΓ中。所以Γ不是满射,所以v1,…,vm是线性独立的。
为什么第i个元素为1,其他元素为0的向量(0,…,0,1,0,…,0)不在rangeΓ中?我们这里做一下详细的说明。
假设第i个元素为1,其他元素为0的向量(0,…,0,1,0,…,0)在Γ中,那么存在一个映射φ∈V′,使得:φ(vj)=0,φ(vi)=1,j=1,…,i−1,i+1,…,m 这意味着φ(v)=0,如果v是v1,…,vi−1,vi+1,…,vm的线性组合。因为我们假设v1,…,vm是线性相关的并且vi可以用其他向量的线性组合来表示,所以φ(vi)=0。但是我们有φ(vi)=1,矛盾。Γ不是满射。这意味着v1,…,vm是不可能是线性相关的。
这个问题在证明的过程中,我有几个知识点没有掌握:
- 线性映射可以通过这个线性映射在一个基上的取值来构造。
- 反证法中寻找有利于结论的特例
7 3.F.7
设m是正整数。证明Pm(R)的基1,x,…,xm的对偶基是φ0,…,φm其中φj(p)=p(j)(0)j!,p(j)表示p的j次导数,p的0次导数规定p
根据对偶基的定义,假设v1,…,vm是V的基,则其对偶基φ1,…,φm∈V′满足:
φj(vk)={1k=j0k≠j对于题目中的对偶基,我们只需要按照定义来验证就可以,对于:
φj(vk)=(xk)(j)j!{1k=j0k≠j结论是显然的。
8 3.F.8
设m是正整数。
- 证明1,x−5,…,(x−5)m是Pm(R)
- 求1中的基的对偶基。
关于第一个问题的证明我们可以看到dimspan(1,x−5,…,(x−5)m)=dimspan(1,x,…,xm)=m ,因为1,x,…,xm是Pm(R)的基,所以1,x−5,…,(x−5)m也是Pm(R)的基。
对于第2个问题,我们从第3.F.7 很容易得到,1,x−5,…,(x−5)m的对偶基是φ0,…,φm满足:φj(p)=p(j)(5)j! 这个映射满足对偶基的定义。
9 3.F.9
设v1,…,vn是V的基,φ1,…,φn是V′的相应的对偶基。设ψ∈V′,证明:ψ=ψ(v1)φ1+…+ψ(vn)φn
因为ψ∈V′,则∃a1,…,an,使得:ψ=a1φ1+…+anφn.
又因为ψ(vi)=(a1φ1+…+anφn)(vi)=ai ,显然:ψ=ψ(v1)φ1+…ψ(vn)φn
10 3.F.10
证明对所有的S,T∈L(V,W)有(S+T)′=S′+T′
因为S,T∈L(V,W),S′,T′∈L(W′,V′),对于ω∈W′有:(S+T)′(ω)=ω∘(S+T)=ω∘S+ω∘T=S′(ω)+T′(ω)=(S′+T′)(ω) 即:(S+T)′=S′+T′
对所有λ∈F 和所有T∈L(V,W)有(λT)′=λT′
假设φ∈W′,则(λT)′(φ)=φ∘(λT)=λφ∘T=λT′(φ)即:(λT)′=λT′
11 3.F.11
设A是m×n矩阵且A≠0。证明A的秩是1,当且仅当存在c1,…,cm∈Fm和d1,…,dn∈Fn使得对任意j=1,…,m和k=1,…,n有Aj,k=cjdk
这个问题的证明要结合行秩和列秩的定义,以及矩阵的行秩等于列秩这个结论。
矩阵A的行秩等于A的行在F1,n中的张成空间的维数。矩阵A的列秩等于A的列在Fm,1中的张成空间的维数。
题中所述的矩阵的每一行都是d1,…,dn的标量乘,标量的值来自于c1,…,cm。同理A的每一列都是c1,…,cm的标量乘,标量的值来自于d1,…,dn。所以矩阵A的行空间等于(d1,…,dn)张成的空间,矩阵A的列空间等于(c1,…,cm)张成的空间。行秩和列秩都等于1.
12 3.F.12
证明V的恒等映射对应的对偶映射是V′的恒等映射。
V的恒等映射是将V映射为V的映射,即T∈L(V,V),有T(v)=v,∀v∈V。假设T′∈L(V′,V′),且对φ∈V′,有Tφ=φ∘T因为T是恒等映射,则有φ∘T=φ,即Tφ=φ,显然T′是恒等映射,它把V′中的所有元素都映射为其本身,V′中的所有元素都是V到F的线性泛函。
在证明类似的题目的时候要始终记住V′中的元素是线性泛函,即集合中的元素没有约束必须为单个的数,可以是任何东西。这个时候理解T′(φ)=φ就会更自然。
13 3.F.13
定义T:R3→R2 为T(x,y,z)=(4x+5y+6z,7z+8y+9z)。设φ1,φ2是R2的标准基的对偶基,ψ1,ψ2,ψ3是R3的标准基的对偶基。
- 描述线性泛函T′(φ1),T′(φ2)
- 将T′(φ1),T′(φ2)写成ψ1,ψ2,ψ3的线性组合。
- 首先根据对偶映射的定义T′(φ1)=φ1∘T 所以:
所以T′(φ1)(x,y,z)=4x+5y+6z,同理T′(φ2)(x,y,z)=7x+8y+9z
- 对于v=(x,y,z)∈R3,因为ψ1,ψ2,ψ3是R3的对偶基,则ψ1(v)=x,ψ2(v)=y,ψ3(v)=z,显然:
这个问题还可以用矩阵来表示。易得针对T:R3→R2,T(x,y,z)=(4x+5y+6z,7x+8y+9z),以及R3和R2的标准基对应的矩阵是:
A=[456789]关于这个矩阵,我们回忆的更多一些:对于任意的(x,y,z)∈R3都有
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)所以T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)
又因为:
T(1,0,0)=A1,1(1,0)+T2,1(0,1)T(0,1,0)=A1,2(1,0)+T2,2(0,1)T(0,0,1)=A1,3(1,0)+T2,3(0,1)根据线性映射的作用类似于矩阵乘,有T(v)=Av
另外,由于T∈L(V,W)对应的矩阵和T′∈L(W′,V′)对应的矩阵之间存在转置关系,则有T′对应的矩阵是:
B=At=[475869]对于T′∈L(W′,V′),使用线性映射的作用类似于矩阵乘,则有: T′(φ1)=A(M(φ1)) 因为φ1对应的向量是(1,0)所以有:
M(T′(φ1))=M(T′)M(φ1)=(4,5,6)在R3的对偶空间中(4,5,6)对应的元素是4ψ1+5ψ2+6ψ3
同理:
M(T′(φ2))=M(T′)M(φ2)=(7,8,9)在R3的对偶空间中(7,8,9)对应的元素是7ψ1+8ψ2+9ψ3
现在,已经把线性映射和矩阵结合起来了。