练习：对偶

V上的线性泛函是从V到F的线性映射，也就是说，线性泛函是L(V,F)中的元素。因为F中任何一个非零元素都是F的基，所以对于任何φ∈L(V,F)都有φ(v)属于F中的元素。由于v的任意性，当φ(v)=0时，则有φ=0，否则φ(v)≠0。

我们可以从维度的观点来解释这个问题。因为dimF=1。若dimrange(V)=0，则φ=0，若dimrangeV=1，则dimrangeV=dimF. 又因为dimrange(V)≤dimF=1，所以满射或者零映射是所有的场景。

1. φ:R→R, φ(x)=x

理解题目，V′=L(V,F)。从第一题我们知道：线性泛函要么是满的要么是零映射。又因为v≠0，所以V′中的元素都是满的。

特别的，我们把v扩展成V的对偶基v,v2,…,vn，则有V′中的对偶基φ1,φ2,…,φn，则有：

从一个非零向量扩展出一个基是一个总要的技巧。对偶基的定义也要牢牢掌握。

因为U是V的子空间且V≠U，我们知道dimV>dimU，又因为dimU+dimU0=dimV，则有dimU0=dimV−dimU>0，所以dimU0≠0 所以在零化子空间中存在非零的线性泛函。

因为dim(V1×…×Vm)′=dim(V1×…×Vm)而dim(V1×…×Vm)=m∑i=1dimVi

另一方面dimV′1×…×V′m=m∑i=1dimV′i 又因为dimV′i=dimVi,∀i

所以dim(V1×…×Vm)′=dimV′1×…×V′m命题得证。

我们先证明第一个命题：

如果v1,…,vm张成V，那么Γ(φ)=0,即φ∈nullΓ意味着：φ(v1)=…=φ(vm)=0 另外从v1,…,vm张成V，我们还可以推出，对于任何v∈V，都有∃ai∈{1,…,m}，使得：v=a1v1+…+amvm对上式两端进行φ映射，则有：

也就是说，对于V中的任何一个元素v，都有φ(v)=0，这样的映射φ叫做零映射。所以有Γ的零空间中的任何一个元素都是0，即有nullΓ=0，所以Γ是单射。

另一方面：我们从Γ是单射推出v1,…,vm张成V。这里我们采用反证法：假设Γ是单射，但是v1,…,vm不张成V，则有U=span(v1,…,vm)是V的子集，并且U≠V。我们知道dimU+dimU0=dimV，因为U≠V→dimU≠dimV，所以dimU0>0，所以∃φ∈V′,φ≠0，满足φ(v1)=…=φ(vm)=0，所以φ∈nullΓ这与Γ是单射矛盾。所以，必有Γ是单射推出v1,…,vm张成V。

接下来证明第二个命题：

如果v1,…,vm是线性独立的，那么对于任何f1,…,fm∈Fm，存在一个映射φ∈V′ 满足： φ(vi)=fi,i=1,…,m 那么根据Γ的定义有：Γ(φ)=(f1,…,fm) 说明Γ是满射。因为对于任意的f1,…,fm都可以找到一个映射，说明range(Γ)=Fm

对于任意的f1,…,fm这个映射的存在是有依据的，我们之前就证明过一个命题。现在把这个命题重述如下：

设v1,…,vm是V的基，w1,…,wm∈W，则存在唯一一个线性映射T:V→W使得对于任意j=1,…,n都有：Tvj=wj这个定理的证明见 线性映射 一文。这个定理说明线性映射可以根据其在一个基上的取值来构造，而唯一性表明一个线性映射完全由其在基上的取值确定。时至今日，我对3.5的这个定理有了更深的理解。

接下来我们证明另一个方面，如果Γ是满射，我们要证明v1,…,vm是线性独立的。假设v1,…,vm是线性相关的。注意我们在用反证法了，我们希望推出矛盾。存在不全为零的一组数k1,…,km∈F满足：k1v1+...+kmvm=0 假设ki≠0，那么vi可以写成v1,…,vi−1,vi+1,…,vm的线性组合。所以第i个元素为1，其他元素为0的向量(0,…,0,1,0,…,0)不在rangeΓ中。所以Γ不是满射，所以v1,…,vm是线性独立的。

为什么第i个元素为1，其他元素为0的向量(0,…,0,1,0,…,0)不在rangeΓ中?我们这里做一下详细的说明。

假设第i个元素为1，其他元素为0的向量(0,…,0,1,0,…,0)在Γ中，那么存在一个映射φ∈V′，使得：φ(vj)=0,φ(vi)=1,j=1,…,i−1,i+1,…,m 这意味着φ(v)=0，如果v是v1,…,vi−1,vi+1,…,vm的线性组合。因为我们假设v1,…,vm是线性相关的并且vi可以用其他向量的线性组合来表示，所以φ(vi)=0。但是我们有φ(vi)=1，矛盾。Γ不是满射。这意味着v1,…,vm是不可能是线性相关的。

这个问题在证明的过程中，我有几个知识点没有掌握：

1. 线性映射可以通过这个线性映射在一个基上的取值来构造。
2. 反证法中寻找有利于结论的特例

根据对偶基的定义，假设v1,…,vm是V的基，则其对偶基φ1,…,φm∈V′满足：

对于题目中的对偶基，我们只需要按照定义来验证就可以，对于:

结论是显然的。

关于第一个问题的证明我们可以看到dimspan(1,x−5,…,(x−5)m)=dimspan(1,x,…,xm)=m ,因为1,x,…,xm是Pm(R)的基，所以1,x−5,…,(x−5)m也是Pm(R)的基。

对于第2个问题，我们从第3.F.7 很容易得到，1,x−5,…,(x−5)m的对偶基是φ0,…,φm满足：φj(p)=p(j)(5)j! 这个映射满足对偶基的定义。

因为ψ∈V′，则∃a1,…,an，使得：ψ=a1φ1+…+anφn.

又因为ψ(vi)=(a1φ1+…+anφn)(vi)=ai ，显然：ψ=ψ(v1)φ1+…ψ(vn)φn

因为S,T∈L(V,W)，S′,T′∈L(W′,V′)，对于ω∈W′有：(S+T)′(ω)=ω∘(S+T)=ω∘S+ω∘T=S′(ω)+T′(ω)=(S′+T′)(ω) 即：(S+T)′=S′+T′

假设φ∈W′，则(λT)′(φ)=φ∘(λT)=λφ∘T=λT′(φ)即：(λT)′=λT′

这个问题的证明要结合行秩和列秩的定义，以及矩阵的行秩等于列秩这个结论。

矩阵A的行秩等于A的行在F1,n中的张成空间的维数。矩阵A的列秩等于A的列在Fm,1中的张成空间的维数。

题中所述的矩阵的每一行都是d1,…,dn的标量乘，标量的值来自于c1,…,cm。同理A的每一列都是c1,…,cm的标量乘，标量的值来自于d1,…,dn。所以矩阵A的行空间等于(d1,…,dn)张成的空间，矩阵A的列空间等于(c1,…,cm)张成的空间。行秩和列秩都等于1.

V的恒等映射是将V映射为V的映射，即T∈L(V,V)，有T(v)=v,∀v∈V。假设T′∈L(V′,V′)，且对φ∈V′，有Tφ=φ∘T因为T是恒等映射，则有φ∘T=φ，即Tφ=φ，显然T′是恒等映射，它把V′中的所有元素都映射为其本身，V′中的所有元素都是V到F的线性泛函。

在证明类似的题目的时候要始终记住V′中的元素是线性泛函，即集合中的元素没有约束必须为单个的数，可以是任何东西。这个时候理解T′(φ)=φ就会更自然。

1. 首先根据对偶映射的定义T′(φ1)=φ1∘T 所以：

所以T′(φ1)(x,y,z)=4x+5y+6z，同理T′(φ2)(x,y,z)=7x+8y+9z

1. 对于v=(x,y,z)∈R3，因为ψ1,ψ2,ψ3是R3的对偶基，则ψ1(v)=x,ψ2(v)=y,ψ3(v)=z，显然：

这个问题还可以用矩阵来表示。易得针对T:R3→R2,T(x,y,z)=(4x+5y+6z,7x+8y+9z)，以及R3和R2的标准基对应的矩阵是：

关于这个矩阵，我们回忆的更多一些：对于任意的(x,y,z)∈R3都有

所以T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)

又因为:

根据线性映射的作用类似于矩阵乘，有T(v)=Av

另外，由于T∈L(V,W)对应的矩阵和T′∈L(W′,V′)对应的矩阵之间存在转置关系，则有T′对应的矩阵是：

对于T′∈L(W′,V′),使用线性映射的作用类似于矩阵乘，则有： T′(φ1)=A(M(φ1)) 因为φ1对应的向量是(1,0)所以有：

在R3的对偶空间中(4,5,6)对应的元素是4ψ1+5ψ2+6ψ3

同理：

在R3的对偶空间中(7,8,9)对应的元素是7ψ1+8ψ2+9ψ3

现在，已经把线性映射和矩阵结合起来了。