指数分布

如果一个连续性随机变量的密度函数如下：∀λ>0，有：

则称该随机变量是参数为λ的指数分布。指数随机变量的分布函数F(a)如下：

令X是一参数为λ的指数随机变量，则E[X]和Var[X]的计算如下：

利用分部积分我们可以得到：

令n=1则有：

令n=2则有：

因此：Var[X]=1λ2 即指数分布的期望恰好等于参数λ的倒数，而方差等于期望的平方。

在实际生活中，指数分布通常用来描述某个时间发生的等待时间的分布，例如地震发生的时间间隔；一场战争发生的时间间隔；从现在开始到你接到下一个误拨的电话的时间间隔。

我们称一个非负随机变量X是无记忆的，如果：

设X是某个设备的寿命，上式说明在已知该设备已经使用t小时的条件下寿命至少为s+t的概率与开始时寿命至少为s小时的概率是一样的。换句话说，如果该设备在使用t小时后还能使用，那么剩余的寿命同一开始时的寿命的分布是一样的。就好像该设备对已经使用了t小时是无记忆似的。

式 (7)等效于：

可以验证指数分布就是这样的无记忆分布。指数分布也叫作永远年轻的分布。