几何分布

考虑独立重复试验，每次成功的概率为\(p,0 < p < 1\)，重复试验直到试验首次成功为止。如果令\(X\)表示需要试验的次数，那么：

\begin{equation} \label{eq:1} P\{X=n\} = (1-p)^{n-1}p,\qquad n = 1,2,\ldots \end{equation}

由于：

\begin{equation} \label{eq:2} \sum_{n=1}^{\infty} P\{X=n\} = p \sum_{n=1}^{\infty} ( 1-p)^{n-1} = \frac{p}{1-(1-p)} = 1 \end{equation}

这说明最终会成功的概率是\(1\)，若随机变量的分布列由 (\ref{eq:1})给出，则称该随机变量是参数为\(p\)的几何随机变量。

首先我们计算几何随机变量的期望，令\(q = 1-p\)，有：

\begin{eqnarray} \label{eq:3} E[X]&=& \sum_{i=1}^{\infty} iq^{i-1}p \\ &=& \sum_{i=1}^{\infty}(i-1+1)q^{i-1}p \\ &=&\sum_{i=1}^{\infty}(i-1)q^{i-1}p + \sum_{i=1}^{\infty} q^{i-1}p \\ &=& q\sum_{j=0}^{\infty}jq^{j-1}p + 1\\ &=&qE[X] + 1 \end{eqnarray}

因此：\[E[X] = \frac{1}{p}\] 一个成功概率为\(p\)的试验，如果独立重复进行直到饰演陈宫，那么需要进行的试验的期望次数邓毅\(\tfrac{1}{p}\)。掷一枚均匀的骰子，直到出现一次点数为\(1\)，需要的期望次数为\(6\).

然后我们计算几何随机变量的方差。首先计算\(E[X^{2}]\)，有：

\begin{eqnarray} \label{eq:4} E[X^{2}]&=& \sum_{i=1}^{\infty} i^{2}q^{i-1}p \\ &=&\sum_{i=1}^{\infty} (i-1+1)^{2}q^{i-1}p \\ &=&\sum_{i=1}^{\infty} (i-1)^{2}q^{i-1}p + \sum_{i=1}^{\infty} 2(i-1)q^{i-1}p + \sum_{i=1}^{\infty}q^{i-1}p \\ &=&\sum_{j=0}^{\infty}j^{2}q^{j}p + 2\sum_{j=1}^{\infty}jq^{j}p + 1 \\ &=&qE[X^{2}] + 2qE[X] +1 \end{eqnarray}

结合\(E[X]=1/p\)，我们可以得到：

\begin{equation} \label{eq:5} pE[X^{2}] = \frac{2q}{p} + 1 \end{equation}

因此：

\begin{equation} \label{eq:6} \mathrm{Var}(X) = \frac{q+1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} = \frac{q}{p^{2}} = \frac{1-p}{p^{2}} \end{equation}

每一个概率分布都有其现实中的例子。接下来给出一个几何随机变量的例子。