几何分布

考虑独立重复试验，每次成功的概率为p,0<p<1，重复试验直到试验首次成功为止。如果令X表示需要试验的次数，那么：

P{X=n}=(1−p)n−1p,n=1,2,…

由于：

∞∑n=1P{X=n}=p∞∑n=1(1−p)n−1=p1−(1−p)=1

这说明最终会成功的概率是1，若随机变量的分布列由 (1)给出，则称该随机变量是参数为p的几何随机变量。

首先我们计算几何随机变量的期望，令q=1−p，有：

E[X]=∞∑i=1iqi−1p=∞∑i=1(i−1+1)qi−1p=∞∑i=1(i−1)qi−1p+∞∑i=1qi−1p=q∞∑j=0jqj−1p+1=qE[X]+1

因此：E[X]=1p

一个成功概率为p的试验，如果独立重复进行直到饰演陈宫，那么需要进行的试验的期望次数邓毅1p。掷一枚均匀的骰子，直到出现一次点数为1，需要的期望次数为6.

然后我们计算几何随机变量的方差。首先计算E[X2]，有：

E[X2]=∞∑i=1i2qi−1p=∞∑i=1(i−1+1)2qi−1p=∞∑i=1(i−1)2qi−1p+∞∑i=12(i−1)qi−1p+∞∑i=1qi−1p=∞∑j=0j2qjp+2∞∑j=1jqjp+1=qE[X2]+2qE[X]+1

结合E[X]=1/p，我们可以得到：

pE[X2]=2qp+1

因此：

Var(X)=q+1p2−1p2=qp2=1−pp2

每一个概率分布都有其现实中的例子。接下来给出一个几何随机变量的例子。