负二项随机变量分布

假定独立重复试验中，每次成功的概率为\(p\)，试验持续进行直到试验累积成功\(r\)次为止，如果我们令\(X\)表示试验的总次数，则：

\begin{equation} \label{eq:1} P\{X=n\} = \binom{n-1}{r-1} p^{r}(1-p)^{n-r}, \quad n= r,r+1,\ldots \end{equation}

分析：直到\(r\)次成功，意味着前面\(n-1\)次成功了\(r-1\)次，概率为：\[\binom{n-1}{r-1}p^{r-1}(1-p)^{n-r}\]最后一次成功的概率为\(p\)，所以式 (\ref{eq:1})成立。

我们接下来要证明一件事情：试验一直持续下去肯定会有\(r\)次成功，即：

\begin{equation} \label{eq:2} \sum_{n=r}^{\infty}P\{X=n\} = \sum_{n=r}^{\infty} \binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r} = 1 \end{equation}

上式可以从分析的角度来证明，当然我们不会这么傻，我们希望从概率的角度来证明，我们要赋予上式数学意义。考虑获得\(r\)次成功所需要的实验次数可以分解为\(Y_{1} +Y_{2} + \ldots + Y_{r}\)，其中\(Y_{1}\)表示第1次成功需要的实验次数，\(Y_{2}\)表示从第一次到第二次成功用的试验次数，\(Y_{r}\)表示从第\(r-1\)到第\(r\)次成功需要的实验次数。因为试验是相互独立的所以\(Y_{1},\ldots ,Y_{r}\)都是几何随机变量。而几何随机变量都是以概率1取有限值，也就是说对于几何随机变量来说总会成功的，对于负二项随机变量来说成功一次就肯定可以成功\(r\)次。

我们有：

\begin{eqnarray} \label{eq:3} E[X^{k}] &=& \sum_{n=r}^{\infty}n^{k}\binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r}\\ &=& \frac{r}{p}\sum_{n=r}^{\infty} n^{k-1}\binom{n}{r}p^{r+1}(1-p)^{n-r} \\ &=& \frac{r}{p} \sum_{n=r+1}^{\infty} (m-1)^{k-1} \binom{m-1}{r}p^{r+1}(1-p)^{m-(r+1)} \\ &=&\frac{r}{p}E[(Y-1)^{k-1}] \end{eqnarray}

其中\(Y\)是参数为\((r+1,p)\)的负二项随机变量。在上式中令\(k=1\)，则：

\begin{equation} \label{eq:4} E[X] = \frac{r}{p} \end{equation}

令\(E[X^{k}]\)中\(k=2\)，并利用负二项随机变量的期望公式有：

\begin{equation} \label{eq:5} E[X^{2}] = \frac{r}{p}E[Y-1] = \frac{r}{p}(\frac{r+1}{p} - 1) \end{equation}

因此：

\begin{equation} \label{eq:6} \mathrm{Var}(X) = \frac{r}{p}( \frac{r+1}{p} -1) - (\frac{r}{p})^{2} \end{equation}

在独立重复试验中，如果每次试验成功的概率为\(p\)，则累积\(r\)次成功的总试验次数的期望和方差分别为\(r/p\)和\(r(1-p)/p^{2}\)。注意这个结果和 几何随机变量 一文中的期望和方差的关系。