负二项随机变量分布

假定独立重复试验中，每次成功的概率为p，试验持续进行直到试验累积成功r次为止，如果我们令X表示试验的总次数，则：

P{X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r,n=r,r+1,…

分析：直到r次成功，意味着前面n−1次成功了r−1次，概率为：(n−1r−1)pr−1(1−p)n−r

最后一次成功的概率为p，所以式 (1)成立。

我们接下来要证明一件事情：试验一直持续下去肯定会有r次成功，即：

∞∑n=rP{X=n}=∞∑n=r(n−1r−1)pr(1−p)n−r=1

上式可以从分析的角度来证明，当然我们不会这么傻，我们希望从概率的角度来证明，我们要赋予上式数学意义。考虑获得r次成功所需要的实验次数可以分解为Y1+Y2+…+Yr，其中Y1表示第1次成功需要的实验次数，Y2表示从第一次到第二次成功用的试验次数，Yr表示从第r−1到第r次成功需要的实验次数。因为试验是相互独立的所以Y1,…,Yr都是几何随机变量。而几何随机变量都是以概率1取有限值，也就是说对于几何随机变量来说总会成功的，对于负二项随机变量来说成功一次就肯定可以成功r次。

我们有：

E[Xk]=∞∑n=rnk(n−1r−1)pr(1−p)n−r=rp∞∑n=rnk−1(nr)pr+1(1−p)n−r=rp∞∑n=r+1(m−1)k−1(m−1r)pr+1(1−p)m−(r+1)=rpE[(Y−1)k−1]

其中Y是参数为(r+1,p)的负二项随机变量。在上式中令k=1，则：

E[X]=rp

令E[Xk]中k=2，并利用负二项随机变量的期望公式有：

E[X2]=rpE[Y−1]=rp(r+1p−1)

因此：

Var(X)=rp(r+1p−1)−(rp)2

在独立重复试验中，如果每次试验成功的概率为p，则累积r次成功的总试验次数的期望和方差分别为r/p和r(1−p)/p2。注意这个结果和 几何随机变量 一文中的期望和方差的关系。