一维随机游动
在随机过程的定义 一节中，我们定义了基于概率空间(Ω,F,P)的随机过程{ξ(ω,t),t∈T}。针对 参数T和ξt(ω)的状态取值是连续的或者离散的，我们有四种随机过程。
今天，我准备讨论一种随机过程，这种随机过程的参数值是离散的，每个离散时刻的随机变量的可能状态也是离散的。我们称这样的随机过程为离散参数离散值的随机过程。今天的这个过程又叫做一维随机游动。具体描述为：
设有一质点在x轴上做随机游动，即在t=0时，质点位于x轴的原点0，在t=1,2,…时质点可以在x轴上正向或反向移动一个单位距离。做正向移动一个单位距离的概率为p，做反向移动一个单位距离的概率为q=1−p。经过时间n，质点偏离原点的距离为k，为处于k的概率是多少？
首先，我们画出一个可能的随机游动结果：
Figure 1: 一个随机游动的样本函数
设质点每次移动的距离为ξi，ξi的取值有两种可能{+1,−1}，且有：
p(ξi=+1)=pp(ξi=−1)=q=1−p设质点在t=n时远离原点的距离是ηn，则ηn也是一个随机变量。于是：
ηn=n∑i=1ξi,η0=0又设质点每次游动与该质点所处的位置无关，当i≠k时，ξi,ξk是相互统计独立的随机变量。图1 给出了ηn的样本函数。
如果在n次游动中有m次是正向移动，则n−m次是反向移动。则:
ηn=n∑i=1ξi=m(+1)+(n−m)(−1)=2m−n=k即，m=(n+k)/2是n次游动中正向游动的次数。所以有：
\begin{eqnarray} \label{eq:3} P(\eta_{n} = k)&=&\binom{n}{m}p^{m}q^{n-m} \\ &=& \binom{n}{\frac{n+k}{2}}p^{\frac{n+k}{2}}q^{\frac{n-k}{2}} \end{eqnarray}上式中m是正整数，说明n,k同奇偶。