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一维随机游动

随机过程的定义 一节中,我们定义了基于概率空间(Ω,F,P)的随机过程{ξ(ω,t),tT}。针对 参数Tξt(ω)的状态取值是连续的或者离散的,我们有四种随机过程。

今天,我准备讨论一种随机过程,这种随机过程的参数值是离散的,每个离散时刻的随机变量的可能状态也是离散的。我们称这样的随机过程为离散参数离散值的随机过程。今天的这个过程又叫做一维随机游动。具体描述为:

设有一质点在x轴上做随机游动,即在t=0时,质点位于x轴的原点0,在t=1,2,时质点可以在x轴上正向或反向移动一个单位距离。做正向移动一个单位距离的概率为p,做反向移动一个单位距离的概率为q=1p。经过时间n,质点偏离原点的距离为k,为处于k的概率是多少?

首先,我们画出一个可能的随机游动结果:

20170418stochastic-one-way-random-walk.png

Figure 1: 一个随机游动的样本函数

设质点每次移动的距离为ξiξi的取值有两种可能{+1,1},且有:

p(ξi=+1)=pp(ξi=1)=q=1p

设质点在t=n时远离原点的距离是ηn,则ηn也是一个随机变量。于是:

ηn=ni=1ξi,η0=0

又设质点每次游动与该质点所处的位置无关,当ik时,ξi,ξk是相互统计独立的随机变量。图1 给出了ηn的样本函数。

如果在n次游动中有m次是正向移动,则nm次是反向移动。则:

ηn=ni=1ξi=m(+1)+(nm)(1)=2mn=k

即,m=(n+k)/2n次游动中正向游动的次数。所以有:

\begin{eqnarray} \label{eq:3} P(\eta_{n} = k)&=&\binom{n}{m}p^{m}q^{n-m} \\ &=& \binom{n}{\frac{n+k}{2}}p^{\frac{n+k}{2}}q^{\frac{n-k}{2}} \end{eqnarray}

上式中m是正整数,说明n,k同奇偶。