通信系统中的随机过程

首先，给出一个该脉冲数字通信数字信号的一个典型样本函数。如图1所示

在时间轴上固定两个时刻\(t_{1},t_{2}\)。首先要研究的问题时\(t_{1},t_{2}\)是否处于一个脉冲内。设事件\(c\)表示\(t_{1},t_{2}\)处于不同的脉冲，它的逆事件\(c^{c}\)表示\(t_{1},t_{2}\)处于同一脉冲周期内。

当\(|t_{1} - t_{2}| > T_{0}\)时，事件\(c\)是必然事件，此时，\(P(c) = 1,P(c^{c}) = 0\),;

当\(|t_{1} - t_{2}| \leq T_{0}\)时，\(t_{1},t_{2}\)有可能在同一脉冲内，也有可能处于两个不同的脉冲内。设\(\theta\)为\(t_{1}\)所在的脉冲的起始时刻。由于脉冲的起始时间相对于原点\(t=0\)的时间差\(u\)均匀分布于\((0,T_{0})\)内，而且该信号为等脉宽的脉冲信号，脉宽均匀为\(T_{0}\)。则\(\theta\)也是均匀分布的随机变量，\(\theta\)可视为均匀分布于\([t_{1}-T_{0},t_{1}]\)内的随机变量。图2给出了\(\theta\)的概率密度和\(t_{1},t_{2},\theta\)的关系图。

如果\(t_{1} < t_{2}\)，则：

\begin{eqnarray} \label{eq:1} P(c^{c})&=& P(t_{2} < \theta + T_{0}) = P( \theta > t_{2} - T_{0}) \\ &=& 1- P(\theta < t_{2} - T_{0}) \\ &=& 1- \frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1} - T_{0}}^{t_{2} - T_{0}} d\theta \\ &=& 1- \frac{t_{2} - t_{1}}{T_{0}} \end{eqnarray}

如果\(t_{2} < t_{1}\) ，则：

\begin{eqnarray} \label{eq:2} P(c^{c})&=& P(t_{2} > \theta) = \frac{1}{T_{0}} \int_{t_{1} - T_{0}}^{t_{2}}d\theta \\ &=& 1- \frac{t_{1}-t_{2}}{T_{0}} \end{eqnarray}

因此：

\begin{eqnarray} \label{eq:3} P(c^{c})&=& 1- \frac{|t_{1}-t_{2}|}{T_{0}} \\ P(c) &=&\frac{|t_{1}-t_{2}|}{T_{0}} \end{eqnarray}

根据全概率公式：

\begin{equation} \label{eq:4} f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}}}(x_{1},x_{2}) = f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}},c}(x_{1},x_{2}|c)P(c) + f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}},c^{c}}(x_{1},x_{2}|c^{c})P(c^{c}) \end{equation}

又因为不同周期内脉冲幅度是相互统计独立的随机变量，于是：

\begin{equation} \label{eq:5} f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}},c}(x_{1},x_{2}|c) = \sum_{i=\{-2,-1,1,2\}}\frac{1}{4}\delta(x_{1} - i) \sum_{k=\{-2,-1,1,2\}}\frac{1}{4}\delta(x_{2} - k) \end{equation}

如果\(t_{1},t_{2}\)处于同一周期，则\(\xi(t_{1} = \xi(t_{2}))\)，这时:

\begin{equation} \label{eq:6} f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}} |c^{c}} = \sum_{i=\{-2,-1,1,2\}} \frac{1}{4}\delta(x_{1} - i)\delta(x_{2} - i) \end{equation}

综上有： 当\(|t_{1} - t_{2}| \leq T_{0}\)时：

\begin{eqnarray} \label{eq:9} f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}}}(x_{1},x_{2}) &=& \sum_{i=\{-2,-1,1,2\}}\frac{1}{4}\delta(x_{1} - i) \sum_{k=\{-2,-1,1,2\}}\frac{1}{4}\delta(x_{2} - k) \frac{|t_{1} - t_{2}|}{T_{0}}\\ &+& \sum_{i=\{-2,-1,1,2\}} \frac{1}{4}\delta(x_{1} - i)\delta(x_{2} - i)(1- \frac{|t_{1} - t_{2}|}{T_{0}}) \end{eqnarray}

当\(|t_{1} - t_{2}| \geq T_{0}\)时：

\begin{equation} \label{eq:8} f_{\xi_{t_{1}},\xi_{t_{2}}}(x_{1},x_{2}) = \sum_{i=\{-2,-1,1,2\}}\frac{1}{4}\delta(x_{1} - i) \sum_{k=\{-2,-1,1,2\}}\frac{1}{4}\delta(x_{2} - k) \end{equation}